初中九年级数学下全册必考知识点总结

初中九年级数学下全册必考知识点总结

第二十广;章二次函数

1、二次函数定义：

一般地，如果y=ax?+bx+c（a,b,c是常数，awO）,那么y叫做x的二次函数。自

变量的取值范围是全体实数。

★易错点：

二次函数和一元二次方程类似，二次项系数aW0,而b,c可以为零.二次函数的定义

域是全体实数.

2、二次函数y=ax?+bx+c的结构特征：

⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.

（2）a,b,c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.

3、二次函数各种形式之间的变换

二次函数y=a/+bx+c用配方法可化成：y=a（x-hf+k的形式，其中

b,4ac-b2

h=-,k=

2a4a

二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

①y=ax2；②y=a（x-hf+k;③y=ax2+bx+c

二次函数解析式的表示方法

一般式：y=ax2+bx+c（a,b,c为常数,a=0）;

2

顶点式：y=a（x-h）+k（arh,k为常数，a*0）;

4、二次函数y=ax?+bx+c图象的画法

五点绘图法：利用配方法将二次函数y=ax?+bx+c化为顶点式y=a（x-h1+k,确定

其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们

选取的五点为：顶点、与y轴的交点（0,c）、以及（0,c）关于对称轴对称的点（2h,c卜

与x轴的交点（x,,0）,（%,0）（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.

★重难点：画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的

交点.

二次函数y=ax?的性质

a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质

x>o时，y随x的增大而增大；x<o时，y随

a>0向上（0，。）y轴

x的增大而减小；x=o时，y有最小值o.

x>o时，y随x的增大而减小；*<0时，丫随

a<0向下(0.0)y轴

x的增大而增大；x=o时，y有最大值o.

二次函数y=a（x-hj+k的性质

a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质

x>h时，y随x的增大而增大；x<h时，y

a>0向上(2)X=h

随x的增大而减小；x=h时，y有最小值k.

x>h时，y随x的增大而减小；x<h时，y

a<0向下(h，k)X=h

随x的增大而增大；x=h时，y有最大值k.

5、抛物线y=ax'+bx+c的三要素：开口方向、对称轴、顶点

a的符号决定抛物线的开口方向：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下；

a相等，抛物线的开口大小、形状相同.

对称轴：平行于y轴（或重合）的直线记作x=-R.特别地，y轴记作直线x=0.

2a

...2

e上心/b4ac-b、

顶点坐标•（——,）

2a4a

6、求抛物线的顶点、对称轴的方法

八“+2」上b'Q4ac-b2-“，b4ac-b?、

公式法：y=ax+bx+c=ax+—।+------------，，顶点是（—-;----------）,

、2a；4a2a4a

对称轴是直线x=>-.

2a

配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y=a（x-hf+k的形式，得到顶

点为（h,k）,对称轴是直线x=h.

运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线

的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点

用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行猿证，才能做到万无一欠

7、用待定系数法求二次函数的解析式

一般式：y=ax?+bx+c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.

顶点式：y=a（x-hf+k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

交点式：已知图像与x轴的交点坐标X1、X2,通常选用交点式：y=a（x-x1lx-x2>

8、直线与抛物线的交点

y轴与抛物线y=ax*+bx+c得交点为（。，c）.

与y轴平行的直线x=h与抛物线y=ax2+bx+c有且只有一个交点

（h,ah2+bh+c）.

9、抛物线与x轴的交点

二次函数y=ax?+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标X1.x2,是对应一元二

次方程ax?+bx+c=0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方

程的根的判别式判定：

①有两个交点uA>0u抛物线与x轴相交；

②有一个交点（顶点在x轴上）uA=0«抛物线与x轴相切；

③没有交点uA<0=抛物线与X轴相离.

10、一次函数与二次函数的交点

一次函数y=kx+n(k=0见图像I与二次函数y=ax2+bx+c(aw0)的图像G的交

'V=kx+n

点，由方程组\2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时uI与G

j=ax+bx+c

有两个交点；②方程组只有一组解时uI与G只有一个交点；③方程组无解时uI与G没

有交点.

11、抛物线与x轴两交点之间的距离

若抛物线y=ax?+bx+c与x轴两交点为A(%。)，B(x20),由于x1、x2是方程

ax2+bx+c=0的两个根,故

bc

x,+x=—,X1x=-

2a2a

b'4cVb2-4ac芯

a；a忖忖

12、二次函数图象的平移

平移步骤：

⑴将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-hj+k,确定其顶点坐标(h,k);

⑶保持抛物线y=ax?的形状不变，将其顶点平移到(h,k双，具体平移方法如下：

向上(k>0)【或向下(k<o)］平移|k|个单位

y=aW卜||y=ax2+k

向右(h>0)【或左(M0)】

向右(h>0)［或左(h<0)］

向右(忸0)【或左(限0)】平移KI个单位

平移用个单位平移用个单位

向上(k>0)【或下(kvO)

平移|k1个单位

卜=*划2v=a(x-M+k

向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k价单位

★重难点：平移规律

在原有函数的基础上Vh值正右移，负左移；k值正上移，负下移”.

概括成八个字“左加右减，上加下减”.

13、实际问题与二次函数

在日常生活、生产和科研中，求使材料最省、时间最少、效率最高等问题，有些可归结

为求二次函数的最大值或最小值。

先用配方法或公式法将一元二次函数变形，然后求最值。

★中考常考题型：

1、用二次函数求最值、销售的最大利泗、图形的最大面积问题。

2、给出一条直线的解析式与二次函数的解析式求交点、判断有几个交点情况、判断交

点的取值范围。

第二十七章相似

27.1图形的相似

1、相似的定义

如果两个图形形状相同，但大小不一定相等，那么这两个图形相似。

(相似的符号：S)

2、相似的判定

如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似。

3、相似比

相似多边形的对应边的比叫相似比。相似比为1时，相似的两个图形全等

相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。

相似多边形的周长比等于相似比。

相似多边形的面积比等于相似比的平方。

27.2相似三角形

1、相似三角形的判定(★重难点)

(1).平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形

与原三角形相似

(2)三边对应成比例

(3)两边对应成比例，且夹角相等

(4)两个三角形的两个角对应相等

★常考题型：

利用三角形的相似测量塔高、河宽

2、相似三角形判定的常用模型

A字型、8字型、三等角模型

3、相似的性质

1.相似三角形的一切时应线段(对应高、时应中线、对应角平分线、外接圆半径、

内切圆半径等)的比等于相似比。

2.相似三角形周长的比等于相似比。

3.相似三角形面积的比等于相似比的平方

4.多边形的面积的比等于相似比的平方，周长比等于相似比。

27.3位似

1、定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边

互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称

为位似比。

2、位似的相关性质

(1)位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比

等于相似比。

(2)位似多边形的对应边平行或共线。

(3)位似可以将一个图形放大或缩小。

(4)位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位

变而位变。

(5)根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形，这两个

图形分布在位似中心的两侧，并且关于位似中心对称。

★易错点

1、位似是一种具白位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图

形，而相似图形不一定是位似图形；

2、两个位似图形的位似中心只有一个；

3、两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；

4、位似比就是相似比.利用位似图形的定义可判断两个图形是否位假；

5、平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形位似。

第二十八章锐角三角函数

28.1锐角三角函数

1、定义：锐角角A的正弦(sin)，余弦(cos)和正切(tan).都叫做角A的锐角

三角函数。

正弦(sin)等于对边比斜边

余弦(cos)等于邻边比斜边

正切（tan）等于对边比邻边

2、互余角的三角函数间的关系。

sin（900-a）=cosa,cos（900-a）=sina,

3、同角三角函数间的关系

平方关系：sin2(a)+cos2(a)=1

4、特殊角三角函数值

asinacosatana

；错误！未找到

30°金亚

•123

引用源。

.2

45°苴更1

.322

1

60°更

22小

28.2解直

角三角形

1、勾股定理（只适用于直角三角形）

直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，

即：在RMAB3，若4C=90。，则a2+b2=c2;

2、勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，则这个

三角形是直角三角形，即：在乙AB8,若a2+b2=c2,则乙C=90°。

3、解直角三角形（RMABC/C=90。）

⑴三边之间的关系：a+b2=c.

（2）两锐角之间的关系：4A+L6=90°..

缶一门岫¥7.ANA的对边_aANA的邻边-b

⑶边角之间的关系：sinA=------------------------,cosA=--------------------------.

斜龙c斜边c

ANA的对边a

tanA=------------------=—.

NA的邻边b

利用这些关系，知道其中的2个元素（至少有一个是边），就可以求出其余的3个未知

元素.

⑷解直角三角形中常见类型：

①已知一边一锐角.

②已知两边.

③解直角三角形的应用

★中考常考题型

解直角三角形的实际应用，如求旗杆的高度、塔的高度、求斜坡的长度，利用仰角、俯

角求楼高等

第二十九章投影与视图

29.1投影

1、投影相关的定义：

(1)一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫

做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。

(2)有时光线是一组互相平行的射线，例如太阳光的一束光中的光线。由平行

光线形成的投影是