必修四23平面向量的基本定理及坐标表示教案

2.3平面对量的基本定理及坐标表示

教案A

第1课时

教学目标

一、学问及技能

1.通过探究活动，理解平面对量基本定理.

2.驾驭平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来

表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法.能够在

详细问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.

3.了解向量的夹角及垂直的概念，并能应用于平面对量的正

交分解中，会把向量的正交分解用于坐标表示，会用坐标表示向

量.

二、过程及方法

1.首先通过“思索”，让学生思索对于平面内给定的随意两

个向量进行加减的线性运算时所表示的新向量有什么特点，反过

来，对平面内的随意向量是否都可以用形如入©+乙色的向量表

示.

2.通过老师提出问题，多让学生自己动手作图来发觉规律，

通过解题来总结方法，引导学生理解“化归”思想对解题的帮助,

也要让学生擅长用“数形结合”的思想来解决这部分的题.

3.假如条件允许，借助多媒体进行教学会有意想不到的效

果.整节课的教学主线应以学生练习为主，老师赐予引导和提

示.充分让学生经验分析、探究并解决实际问题的过程，这也是

学习数学，领悟思想方法的最好载体.学生经验的这种实践活动

越多，解决实际问题的方法就越恰当而简捷.

三、情感、看法及价值观

1.在探究过程中，让学生自己动手作图来发觉规律，通过解

题来总结方法，培育学生对“化归”、“数形结合”等数学思想

的应用.

2.在让学生经验分析、探究并解决实际问题的过程中，培育

学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习看法和勇于创新的精

神.

教学重点、难点

教学重点：平面对量基本定理、向量的夹角及垂直的定义、

平面对量的正交分解.、平面对量的坐标表示.

教学难点：平面对量基本定理的理解及应用.

教学关键：平面对量基本定理的理解.

教学突破方法：通过问题设置，让学生充分练习，发觉规律方

法，体现学生的主体地位.

教法及学法导航

教学方法：启发诱导.

学习方法：在老师问题的引导下，学生要充分作图，及小组成

员合作探究，发觉规律.

教学打算.

老师打算：多媒体、尺规.

学生打算：练习本、尺规.

教学过程

一、创设情境，导入新课

在物理学中我们知道，力是一个向量，力的合成就是向量的加

法运算.而且力是可以分解的，任何一个大小不为零的力，都可

以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量

中来，会产生什么样的结论呢？

二、主题探究，合作沟通

提出问题

①给定平面内随意两个不共线的非零向量自、包，请你作出向

量3ei+2a、e「2a.平面内的任一向量是否都可以用形如3&+九包

的向量表示呢？

（3）由定理可将任一向量H在给出基底8、a的条件下进行

分解；

（4）基底给定时，，分解形式唯一.

提出问题：

①平面内的随意两个向量之间存在夹角吗？若存在，向量的夹

角及直线的夹角一样吗？

②对平面内的随意一个向量能否用两个相互垂直的向量来表

示？

师生互动：引导学生结合向量的定义和性质，思索平面内的随

意两个向量之间的关系是什么样的，结合图形来总结规律.老师

通过提问来了解学生总结的状况，对回答正确的学生进行表扬，

对回答不全面的学生赐予提示和激励.然后老师给出总结性的结

论：不共线向量存在夹角，关于向量的夹角，我们规定：

己矢口两个非零向量a和力（如图），作了二搐贝ijN/吠（）

（0°W9W180。）叫做向量a及b的夹角.明显，当。二0°时,

&及6同向；当0=180。时，&及8反向.因此，两非零向量的夹

角在区间［0°,180°］内.

假如a及6的夹角是90°,我们说"及6垂直，记作

由平面对量的基本定理，对平面上的随意向量2均可以分解

为不共线的两个向量41al和九员，使SF41a卜九昆.

在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形.把一个向

量分解为两个相互垂直的向量，叫做把向量正交分解.如上，重

力G沿相互垂直的两个方向分解就是正交分解，正交分解是向量

分解中常见的一种情形.

在平面上，假如选取相互垂直的向量作为基底时，会为我们

探讨问题带来便利.

提出问题

①我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序

实数（即它的坐标）表示.对直角坐标平面内的每一个向量，如

何表示呢？

②在平面直角坐标系中，一个向量和坐标是否是一一对应的？

师生互动：如图，在平面直角坐标系中，分别取及x轴、y轴

方向相同的两个单位向量i、j作为基底.对于平面内的一个向量

a,由平面对量基本定理可知，有且只有一对实数小片使得

a二直+力

①

这样，平面内的任一向量a都可由小y唯一确定，我们把有序数

对（x,y）叫做向量H的坐标，记作

8F（%,y）

②

其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，②

式叫做向量的坐标表示.明显，i=（1,0）,r（0,1）,0二（0,

0）.老师应引导学生特殊留意以下几点：

（1）向量a及有序实数对（％y）---对应.

（2）向量a的坐标及表示该向量的有向线段的起点、终点的

详细位置没有关系，只及其相对位置有关系.如图所示，D是

表示a的有向线段，4、5的坐标分别为（为，必）、（也，出），则

向量a的坐标为尸吊-汨，尸%-必，即a的坐标为（王-X,打~必）.

（3）为简化处理问题的过程，把坐标原点作为表示向量a的有向

线段的起点，这时向量a的坐标就由表示向量a的有向线段的终

点唯一确定了，即点力的坐标就是向量a的坐标，流程表示如下:

三、拓展创新，应用提高

例1已知向量8、彷（如右图），求，二A

作向量

一2.5e+3e」.

作法：(1)如图，任取一点0,作c------B

3

0/\=-2.5e,OB=3e2.,z

A~~-2.5«1O

(2)作口如6B.

故了就是求作的向量.

例2如下图，分别用基底i、j表示向量a、b、c、d,并求出

它们的坐标.

活动：本例要求用基底i、j表示a、6、

c、d,其关键是把a、b、c、d表示为基底

i、j的线性组合.一种方法是把a正交分

解，看a在x轴、y轴上的分向量的大小.把

向量a用i、j表示出来，进而得到向量a

的坐标.另一种方法是把1可量a移到坐标原点，则I可量a终点的

坐标就是向量a的坐标.同样的方法，可以得到向量从c、d的

坐标.另外，本例还可以通过四个向量之间位置的几何关系：a

及力关于P轴对称，a及。关于坐标原点中心对称，a及d关于x

轴对称等.由一个向量的坐标推导出其他三个向量的坐标.

解：由图可知，3=直+嬴=2i+3j,

・••才(2,3).

同理,b=-2i+3j=(-2,3)；

c=-2i-3j=(-2,-3)；

rf=2i-3j=（2,-3）.

点评：本例还可以得到启示，要充分运用图形之间的几何关系,

求向量的坐标.

四、小结

1.先由学生回顾本节学习的数学学问：平面对量的基本定理,

向量的夹角及垂直的定义，平面对量的正交分解，平面对量的坐

标表示.

2.老师及学生一起总结本节学习的数学方法，如待定系数法、

定义法、归纳及类比、数形结合.

五、课堂作业

1.如图所示，已知而二士前，AQ=-M"月冰丽表示0P,

33

则而等于（）

1•4

A-0A+-（

33

0

B.-L1O—A+-4O--B

33

1—.414

C.--OA--OBD.-0A---OB

3333

2.已知e,,e是两非零向量,且|ej二勿,e>=n,若c=/Iie,+42包

（小，^2eR）,则|c|的最大值为（)

A.九研九〃B.AI/T+AjnC.|41研|121〃

D.|411/?+|九|m

3.已知Gi、&分别为△46K及用C的重心，且而二e,

4B；=S”c©=a,则G«2等于（）

A.—（§+G+自）B.-（日+含+自）

23

C.-（e+&+eJD.--（a+e」+&）

33

4.。是平面上确定点，/、B、C是平面上不共线的三个点，动

点P满意加二丽+-*+£）,[0,+8）,则尸的轨迹

\AB\|AC|

确定通过△力理的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

5.已知向量a、b且A方二K28,BC=-5a+6A,CD=7a~2b,则

确定共线的三点是（）

A.A.B、DB./、B、CC.C、B、DD./、

C、D

6.如右图，平面内有三个向量次、历、OC,其中及京及历

的夹角为120°,而及历的夹角为30°,S.\OA\=\OB|=1,

|1|二26，若加二4夜+u丽（A,uER）,

则4+U的值为________.

参考答案：

1.B2.C3.B4.B5.A6.6

第2课时

教学目标

一、学问及技能

1.理解平面对量的坐标的概念；

2.驾驭平面对量的坐标运算；

3.会依据向量的坐标，推断向量是否共线.

二、过程及方法

老师在引导学生探究时，始终抓住向量具有几何及代数的双

重属性这一特征和向量具有数及形紧密结合的特点.让学生在了

解向量学问网络结构基础上，进一步熟识向量的坐标表示以及运

算法则、运算律，能娴熟向量代数化的重要作用和实际生活中的

应用，并加强数学应用意识，提高分析问题、解决问题的实力.

三、情感、看法及价值观

在解决问题过程中使学生形成见数思形、以形助数的思维习

惯，以加深理解学问要点，增加应用意识.

教学重点、难点

教学重点：平面对量的坐标运算.

教学难点：对平面对量共线的坐标表示的理解.

教学关键：平面对量坐标运算的探究.

教学突破方法：结合向量坐标表示的定义及运算律，引导学生

探究发觉，最终得到结论.

教法及学法导航

教学方法：问题式教学，启发诱导

学习方法：在熟识向量的坐标表示以及运算法则、运算律的基

础上，在老师的引导下，通过及同学合作探究，得到结论.

教学打算

老师打算：多媒体、尺规.

学生打算：练习本、尺规.

教学过程

一、创设情境，导入新课

前一节课我们学习了向量的坐标表示，引入向量的坐标表示

后，可使向量运算完全代数化，将数及形紧密结合起来，这就可

以使许多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.引进向量

的坐标表示后，向量的线性运算可以通过坐标运算来实现，那么

向量的平行、垂直，是否也能通过坐标来探讨呢？

二、主题探究，合作沟通

提出问题：

①我们探讨了平面对量的坐标表示，现在已知无（乂，力），ZF

（松先），你能得出a+8,arb,Xa的坐标表示吗？

②如图，己知/1小，/1）,3（如%），怎样表示赢的坐标？

你能在图中标出坐标为（在-小，1M）的户点吗?标出点P后,

你能总结出什么结论？

师生互动：老师让学生通过向量的坐标表示来进行两个向量的

加、减运算，老师可以让学生到黑板去板书步骤.可得：

a+/p（xii+yj）+（及i+%j）=（乂+后）i+（y+%）j,

即

a卜乐（x+必，必+为）.

同理

a~b=（乂-在，

又XgpX（xii+yj）=4*i+

••X8F~（X\i4）.

老师和学生一起总结，把上述结论用文字叙述分别为：

两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和

（差）：实数及向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应

坐标.老师再引导学生找出点及向量的关系：将向量而平移，使

得点/I及坐标原点。重合，则平移后的6点位置就是P点.向量而

的坐标及以原点为始点，点〃为终点的向量坐标是相同的，这样

就建立了向量的坐标及点的坐标之间的联系.

学生通过平移也可以发觉：向量薪的模及向量而的模是相等

的.

由此，我们可以得出平面内两点间的距离公式：

老师对总结完全的同学进行表扬，并激励学生，只要擅长开动

脑筋，勇于创新，绽开思维的翅膀，就确定能获得意想不到的收

获.

探讨结果：①能.

@~AB=OB-0A=（x2f%）-（Xi,/i）=（＞2-Xi,72-71）.

结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐

标减去始点的坐标.

提出问题

①如何用坐标表示两个共线向量？

②若a二（小，必），ZF（生，%），那么‘■二比是向量a、力共线

mx2

的什么条件？

师生互动：老师引导学生类比直线平行的特点来推导向量共

线时的关系.此处老师要对探究困难的学生给以必要的点拨：设

ap（岗，乂），b=Cxz，必），其中6W0.我们知道，a、8共线，当

且仅当存在实数，使年假如用坐标表示，可写为（小，M）

二4（吊，%）,

即*=*'消去A后得小斤必斤0.

71="•

这就是说，当且仅当小斤也必二0时向量a、b（A^O）共线.

我们知道由现-在丁尸0及乂必二尼必是等价的，但这及'=正是不

为看

等价的.因为当为二及二0时，为斤即产0成立，但人=之■均无意义.因

此五=也是向量A5共线的充分不必要条件.由此也看出向量的

$X?

应用更具一般性，更简捷、好用，让学生细致体会这点.

探讨结果：

①*%-照必=0时，向量8、bQb芯0）共线.

②充分不必要条件.

提出问题：a及非零向量方为共线向量的充要条件是有且只有

一个实数1使得a=Ab,那么这个充要条件如何用坐标来表示

呢？

师生互动：老师引导推证：设炉（为，y），b=（也，%）,其中

b#a,

由年46,（小，必）二八（尼，必）=『一山，消去入，得小小如『0.

»=仪.

探讨结果：a〃bkb半0）的充要条件是x’kx2M=0.

老师应向学生特殊提示感悟：

I.消去4时不能两式相除，・・・切、必有可能为0,而6W0,

，必、必中至少有一个不为0.

2.充要条件不能写成"=丛(•.工、也有可能为0).

3.从而向量共线的充要条件有两种形式：a//b(6^0)

(u=Ab

0k)，2=工2%

三、拓展创新，应用提高

例1已知ap(2,1),bp(-3,4),求a+b,a~b,3寸4。的

坐标.

活动：本例是向量代数运算的简洁应用，让学生依据向量的线

性运算进行向量的和、差及数乘的坐标运算，再依据向量的线性

运算律和向量的坐标概念得出结论.若已知表示向量的有向线段

的始点和终点坐标，那么终点的坐标减去始点的坐标就是此向量

的坐标，从而使得向量的坐标及点的坐标可以相互转化.可由学

生自己完成.

解：a^b=(2,1)+(-3,4)=(-1,5)；

ark(2,1)-(-3,4)=(5,-3)；

3a+4炉3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,

19).

点评：本例是平面对量坐标运算的常规题，目的是熟识平面对

量的坐标运算公式.

例2如图.已知以皿的三个顶点从瓜。的坐标分别是(-2,

1)、(-1,3)、(3,4),试求顶点D的坐标.

活动：本例的目的仍旧是让学生熟识平面对量的坐标运算.这

里给出了两种解法：解法一利用“两个向量相等，则它们的坐标

相等”，解题过程中应用了方程思想；解法二利用向量加法的平

行四边形法则求得向量而的坐标，进而得到点D的坐标.解题过

程中，关键是充分利用图形中各线段的位置关系(主要是平行关

系)，数形结合地思索，将顶点D的坐标表示为已知点的坐标.

解:方法一：如上图，设顶点D的坐标为(%y).

V75=(-1-(-2)?3-1)=(1,2),5C=(3-^,4-y).由赢二皮，

得(1,2)二(3-才，4-y).

・・・顶点D的坐标为(2,2).

方法二：如上图，由向量加法的平行四边形法则，可知

=(-2-(-1),1-3)+(3-(-1),4-3)=(3,-1),

而丽二丽+丽二"1,3)+(3,-1)=(2,2),

工顶点D的坐标为(2,2).

点评：本例的目的仍旧是让学生熟识平面对量的坐标运算.

例3已知于(4,2),ZF(6,y),且a〃b,求y.

解：'：a//b..・・4厂2X6=0.・••产3.

例4已知力(-1,-1),B(1,3),C(2,5),试推断4B、

。三点之间的位置关系.

活动：老师引导学生利用向量的共线来推断.首先要探究三

个点组合成两个向量，然后依据两个向量共线的充要条件来推断

这两个向量是否共线从而来推断这三点是否共线.老师引导学生

进一步理解并娴熟地运用向量共线的坐标形式来推断向量之间的

关系.让学生通过视察图象领悟先猜后证的思维方式.

解：在平面直角坐标系中作出力、B、C

三点，视察图形，我们猜想力、B、。三点

共线.下面给出证明.

VAB=(I-(-1),3-(-1))=(2>4),

AC=(2-(-1),5-(-1))=(3,6),

又2X6-3X4=0,

：.AB//AC,旦直线/从直线4C有公共点儿

・•"、B、C三点共线.

点评：本例的解答给出了推断三点共线的一种常用方法，其

实质是从同一点动身的两个向量共线，则这两个向量的三个顶点

共线.这是从平面几何中推断三点共线的方法移植过来的.

例5设点P是线段片巴上的一点，R、K的坐标分别是（为，

M）、（地，必）.

（1）当点/，是线段/，心的中点时，求点〃的坐标；

（2）当点月是线段衣2的一个三等分点时，求点P的坐标.

活动：老师充分让学生思索，并提出这一结论可以推广吗？即

当4£二4时，点刀的坐标是什么？师生共同浜讨，一起探究，可

pp2

依据求中点坐标的解题思路类比推广，有学生可能提出如下推理

方法:

由［尸二义尸乙，知（x-x\,尸必）二入（必一x,%一y）,

_X|+Zr2

A-1+A'

=K+狗2

1+2,

这就是线段的定比分点公式，老师要赐

予充分确定，激励学生的这种主动探究，这

是学习数学的重要品质.时间允许的话，可

以探究久的取值符号对尸点位置的影响，

也可激励学生课后探究.

解：（1）如图，由向量的线性运算可知

-4（而，+内=（二’号）

所以点尸的坐标是（上上

22

（2）如图（1）、（2）,当点/）是线段的一个三等分点时,

有两种状况，即

或立=2.

PP,2PP2

假如错=;'如图⑴,那么

即点"的坐标是（中,第3

同理，假如在=2图（2）,那么点〃的坐标是也*,壮生）.

PP233

点评：本例事实上给出了线段的中点坐标公式和线段的三等分

点坐标公式.

四、小结

1.先由学生回顾本节都学习了哪些数学学问：平面对量的和、

差、数乘的坐标运算，两个向量共线的坐标表示.

2.老师及学生一起总结本节学习的数学方法，定义法、归纳、

整理、概括的思想，强调在今后的学习中，要擅长培育自己不断

探究、擅长发觉、勇于创新的科学看法和求实开拓的精神，为将

来的发展打下良好基础.

五、课堂作业

1.已知京(3,-1),j(-1,2),则-3十26等于()

A.(7,1)B.(-7,-1)C.(-7,1)D.(7,

-1)

2.已知力(1,1),5(—1,0),C(0,1),D(x,y),若靠和

而是相反向量，则D点的坐标是()

A.(-2,0)B.(2,2)C.(2,0)D.(-2,

-2)

3.若点4(-1,-1),BC,3),C(x,5)共线，则使而二久左

的实数4的值为()

A.1B.-2C.0D.2

4.设年(2,sina),ZF(COSCI,-),且6,贝ija的值

23

是()

A.”24冗(A£Z)B.”20QkGZ)

44

C.+1(AGZ)D.a=kJi-^(AeZ)

44

5.向量正二(*,12),oS=(4,5),OC-(10,k),当k为

何值时，A.B、。三点共线？

参考答案：

1.B2.B3.D4.C

5.V0A=(k,12),OB-(4,5),0C=(10,k),

：,UB=OB-OA-(4-A,-7),BC=OC-OB=(6,h5).

•：AB//BC,：.14一幻(A—5)+7X6=0.・,・/一94一22二0.

解得公M或F-2.

教案B

第1课时

教学目标

一、学问及技能

1.理解平面对量基本定理，明确任何一个平面对量都可以用

两个不共线的向量来表示，在详细问题中能够适当选取基底.

2.了解向量的夹角及垂直的概念，以及向量正交分解的含义,

理解用坐标表示向量的理论依据，知道向量的坐标的几何意义.

二、过程及方法

领悟数形结合的数学思想，感受探究及创建的学习过程，培育

逻辑推理实力，优化理性思维.

三、情感、看法及价值观

通过类比物理学中的相关问题，培育学生.擅长思索、勇于探究

的科研精神，以及坚忍不拔的意志.

教学重点

平面对量基本定理和向量的坐标表示.

教学难点

平面对量的合成及分解.

教学设想

一、情境设置

1.向量加法及减法有哪儿种儿何运算法则？

2.怎样理解向量的数乘运算Aa?

(1)IAa\=\A||a|；

(2)4>0时，及a方向相同；4〈0时，及a方向相

反；4二0时，4斫0.

3.平面对量共线定理是什么？

非零向量a及向量b共线U存在唯一实数3使b=4a

4.如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为G,下滑力为用

木块对斜面的压力为£,这三个力的方向分别如何？三者有何相

互关系？

5.在物理中，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算.力

也可以分解，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同

方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来，就会形成一

个新的数学理论.

二、新知探究

探究（一）平面对量基本定理

思索1.给定平面内随意两个向量8,巳，如何求作向量38

+2a,和比?

2.如图磐疡、0B、%为三条兵去射嬖।/为“上一点，能

否在勿、加上分别找一点KN,使四边形麻小为平行四边形？

3.在下列两图中，向堇%、“丽共线，能否在直线3、

他上分别找一点"、N,及讲砺

4.在上图中，吟濯4”而出a,0C=a,“踊：曲、而分

别及8、8的少砌通城及8

OM—41=/I*;,H=X》

nAif/f4*/

5.若上述向量a、包、a都为定向量，且良、侥不共线，则

实数小、九是否存在？是否唯一?

6.若向量a及&或包共线，a还能用3a+乜。表示吗？

7.依据上述分析，平面内任一向量”都可以由这个平面内两

个不共线的向量8、侥表示出来，从而可形成一个定理.你能完

整地描述这个定理的内容吗？

假如8、色是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平

面内的随意向量/有且只有一对实数九、九，使3=九良十九员.

8.上述定理称为平面对量基本定理，不共线向量8、8叫做

表示这一平面内全部向量的一组基底.那么同一平面内可以作基

底的向量有多少组？不同基底对应向量a的表示式是否相同？

9.两个向量和及差的坐标等于两个向量坐标的和及差；数乘

向量的坐标等于该数及向量相应坐标的乘积.即：

假如8F（小，必），Zr（也，%），那么a±b=（为±照，M土%），

X年（4汨，A71）

a〃6的充要条件是乂必二必必（须要证明）

10.随意给定平面中两个不平行的向量仪、色,那么平面中全

部向量a都可以用这两个向量表示.即年xei+ye?.这里x、y是唯

一确定的一对有序实数.｛e〃e2｝叫做这一平面内全部向量的一

组基底；xe/+"2叫做a关于基底｛&,e2）的分解式.

探究（二）平面对量的正交分解及坐标表示

思索1.不共线的向量有不同的方向，对于两个非零向量a和

5,作凉=&OB=b,如图.为了反映这两个向量的位置关系，称

N/仍为向量a及b的夹角•你认为向量的夹角的取值范围应如何

约定为宜？

[0°

2.假如向量a及6的夹角是90°,

则称向量，及6垂直，记作相互

垂直的两个向量能否作为平面内全部向

量的一组基底？

3.把一个向量分解为两个相互垂直的

向量，叫做把向量正交分解.如图，向量/、

J是两个相互垂直的单位向量，向量a及？

的夹角是30。，且|a|二4,以向量八j为

基底，向量a如何表示？

a=2>5i+2J

4.在平面直角坐标系中，分别取及x轴、y轴方向相同的两个

单位向量八J作为基底，对于平面内的一个向量&由平面对量

基本定理知，有且只有一对实数X、K使得a=xi+yj.我们把

有序数对（x,y）叫做向量a的坐标，记

作a=（x,y）.

其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做

a在y轴上的坐标，上式叫做向量的坐标表示.那么心〃的几何

意义如何？

5.相等向量的坐标必定相等，作向量次二小则次二（x,y）,

此时点力的坐标是什么？

三、例题解析

例1已知直角坐标平面内的两个向量a=（1,3）,b=（瑶,

2/zr3）,使平面内的随意一个向量c都可以唯一的表示成c=Aa

+Pbf则/〃的取值范围是_______.

解：可唯一表示成c—Aa+ub,

・，.a及6不共线,即2/zr3W3勿,

・••加#一3.

例2如图，.犷是△然，内一点,旦满意条件而+2丽+3屈=6,

延长CM交力8于N,令丽=8试用a表示丽.

解：I•病=京+砺，加=丽+丽

，由而+2BM+3CM=0,得

又・・F、N、8三点共线，。、以N三点共线,

由平行向量基本定理,设丽=/1丽，萌=〃丽?,

(-1+2)BN+(3+3U)NM=6.

由于丽和而不共线,

CM=-NM=MN.：・CN=CM+MN=2CM=2a.

例3设&及e2是两个不共线向量,a=3ei+4e2,b=~2e^e2f若实

数4、u满意4uZr5e「e2,求力、u的值.

=

解：由题设4aHik(3©i+44e：i)+(-2uQI+5H©2)(34-2u)

ei+(44+5u)e2.

又4出口於5e「e」.

由平面对量基本定理，知户：-2〃=5,

42+5«=-1.

解之，得丈=1,u=-l.

四、小结

1.平面对量基本定理是建立在向量加法和数乘运算基础上的

向量分解原理，同时又是向量坐标表示的理论依据，是一个承前

起后的重要学问点.

2.向量的夹角是反映两个向量相对位置关系的一个几何量，

平行向量的夹角是0°或180°,垂直向量的夹角是90°.

3.向量的坐标表示是一种向量及坐标的对应关系，它使得向

量具有代数意义.将向量的起点平移到坐标原点，则平移后向量

的终点坐标就是向量的坐标.

第2课时

教学目标

一、学问及技能

1.驾驭平面对量的和、差和数乘向量的坐标运算，以及向量

共线的坐标表示，会依据这些原理求向量的坐标.

2.深化对向量概念的理解，提高对向量运算的相识，优化数

形结合的思想意识，培育逻辑思维实力和思维素养.

二、过程及方法

1.通过体验直角坐标系中平面对量的坐标表示的实现过程，激

发学生的探究精神，增加学生学问的应用意识；

2.通过详细问题的分析解决，渗透数形结合的数学思想，提高

学生的化归实力.

三、情感及价值

在数学中体会学问的形成过程，感受数及形的和谐统一.

教学重点

平面对量的坐标运算和向量共线的坐标表示.

教学难点

向量的坐标运算原理的构建.

教学设想：

一、情境设置

1.平面对量的基本定理是什•么？

假如8、。是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平

面内的随意向量/有且只有一对实数九、九，使3=九8+九。.

2.用坐标表示向量的基本原理是什么？

设i、j是及★轴、〃轴同向的两个单位向量，若a="+j5

则a=（x,y）.

3.用坐标表示向量，使得向量具有代数特征，并且可以将向

量的几何运算转化为坐标运算，为向量的运算拓展一条新的途

径.我们须要探讨的问题是，向量的和、差、数乘运算，如何转

化为坐标运算，对于共线向量如何通过坐标来反映等.

二、新知探究

探究（一）平面对量的坐标运算

思索1.设人J是分别及x轴、y轴同向的两个单位向量，若

a-（由，yi）,ZF（如先），则

a=Xxi+yJ,b=x2i+y2j9

依据向量的线性运算性质，向量a+4arb,4a（XeR）如

何分别用基底i、J表示？

a+b=（为+用）i+（y+%）j,

arb=（乂一%）i+（y-yz}j,

^a=Ayj.

2.依据向量的坐标表示，向量a+6,arb,Ha的坐标分别如

何？

a+b=（x+至，州+%），

3~h,—（X\~Xzfj。—J。），

（4为，4%）.

3.如何用数学语言描述上述向量的坐标运算？

两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和

（差）.

实数及向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐

标.

4.如图,已知点B（x2ty2）,那么向量XS的坐标如何?

一般地，一个向量的坐标如何计算？

AB=（也一为，必一必）.

一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去

始点坐标.

5.在上图中，如何确定坐标为（%-汨，%-必）的点尸的位置？

6.若向量a=（必y）,则|a|如何计算？若点力（内,y）,B0M

则IABI如何计算?

Ia=y]x2+y2,IAB|=J（.一电）2+（%-必产.

探究（二）平面对量共线的坐标表示

思索1.假如向量a、6共线（其中bWO）,那么a、力满意什

么关系？

a=Ab.

2.设不（小，刀），ZF（小，y2）»若向量a、8共线（其中b

WO）,则这两个向量的坐标应满意什么关系？反之成立吗？

向量a、b（5W0）共线。司必=—

3.如何用解析几何观点得出上述结论？

4.已知点R（私弘）,冏（尼，必），若点P分别是线段PE

的中点、三等分点，如何用向量方法求点，的坐标？

5.一般地，若点R（用，7l）,P?（如用，点尸是直线P\P?

上一点，且肝=九质，那么点尸的坐标有何计算公式？

三、例题讲解

例1若。、£是一组基底，向量y=x*a+y•B（x,y

£R）,则称（x,y）为向量y在基底a、£下的坐标，现已知

向量a在基底夕=(1,T)、q=(2,1