高考数学一轮复习试题第3节 平面向量的数量积及其应用

第3节平面向量的数量积及其应用

考试要求1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量

积与投影向量的长度的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积

的运算4能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂

直关系5会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简

单的力学问题与其他一些实际问题.

口知识诊断,基础夯实

知识梳理

1.平面向量数量积的有关概念

(1)向量的夹角：已知两个非零向量。和儿。是平面上的任意一点，作为二m

OB=b,则叫做向量a与b的夹角.

⑵数量积的定义：已知两个非零向量。与从它们的夹角为仇我们把数量

㈤而cos8叫做向量。与b的数量积(或内积),记作“6,即〃力=|。|固cos6.规

定：零向量与任一向量的数量积为0，即0«=0.

(3)投影向量

如图，在平面内任取一点。，作0M=a,ON=b,过点历作直线

ON的垂线，垂足为Mi,则通就是向量a在向量力上的投影向obN

量.

设与方方向相同的单位向量为e,。与力的夹角为仇贝!丽1与e,a,。之间的关

系为。=|a|cos6e.

2.平面向量数量积的性质及其坐标表示

设向量。=(xi,yi)»b=(x2,yi),6为向量a,〃的夹角.

(1)数量积：a-b=\a\\b\cos^=xix2+yiy2.

(2)模：\a\=y[a^a=yjxi-}-yi

山缶公"b川行+也，2

(3)夹角：36=丽=丁+,彳也+贯.

(4)两非零向量aA-h的充要条件：ah=0<=>xi.r2+yip=0.

(5)1〃•臼W|G||力|(当且仅当a//b时等号成立)=|xiX2+yiy2|W

3.平面向量数量积的运算律

(1)。仍=加。(交换律).

(2)函。=，0必=0(昉)(结合律)

(3)(a+〃>c=0c+和c(分配律).

4.平面几何中的向量方法

二步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题：

(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；

⑶把运算结果“翻译”成几何关系.

|常用结论，

1.两个向量。，b的夹角为锐角<=>°6>()且a,b不共线；两个向量a,b的夹角为

钝角u>a•力<0且a,b不共线.

2.平面向量数量积运算的常用公式

(i)(a+b)(a—b)=a12—b2；

(2)(々+力)2=02+2。力+〃2.

(3)(〃一》)2=4—2/r力+配.

3.数量积运算律要准确理解、应用，例如，。6=0c(aWO),不能得出力=c,两边

不能约去同一个向量.

诊断自测

1.思考辨析(在括号内打“J”或“*”)

⑴两个向量的夹角的范围是［。，称|.()

(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.()

⑶两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向

量.()

(4)若aS=℃(aWO),则力=c.()

答案(1)X(2)7(3)V(4)X

解析(1)两个向量夹角的范围是［0,兀］.

(4)由3H=0)得|a||b|cos〈a,b)=|a||c|-cos(a,c),所以向量〃和c不一

定相等.

2.(2021・湖州二模)在边长为3的等边三角形ABC中，丽=夕花,则丽•丽=()

A坐B.|C.|D.1

答案B

解析V^A/=|MC,.*.BA/=|BC,

・•・茂丽=；丽抚二；|丽|阮|cos守=JX3X3Xg=9.

3.(多选)(2021.青岛统检)已知向量o+4=(l,1),a-b=(-3f1),c=(l,1),设

a,力的夹角为仇则()

A.|a|=|〃|B.aLc

C.h//cD.0=135。

答案BD

解析由a+6=(l,1),a-b=(­3t1),得a=(—1,1),b=(2,0),则⑷=也,

|回=2,故A不正确；

ac=-lXl+lXl=0,故B正确；

不存在4WR,使5=〃成立，故C不正确；

cos0=]^^i=9；o=-率所以。=135。，故D正确.综上知选BD.

jr

4.(2021•衡阳一模)非零向量。，b,c满足。力=oc,。与力的夹角为不|例=4,则

。在。上的投影向量的长度为()

A.2B.2/C.3D.4

答案B

解析由ab=ac,

可得同网cos〈。，b)=|a||e|cos(a,c〉，

因为|a|W0,

所以|c|cos(a,c)=|b|cos(a,b)=4Xcos[=2小,

所以c在。上的投影向量的长度为

||c|cos(a,c〉[=2#.

=15-10-12+6=-1.

⑵(2020・北京卷)已知正方形ABCD的边长为2,点P满足协=*荏+病)，则

\PD\=；PBPD=.

答案小一1

解析法一•・•乔=；(检+病)，

:・P为AC的中点.

以4为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意知40,0),8(2,0),C(2,

2),。(0,2),P(2,1),

：.\PD\=7(2-0)?+(1-2)2=小.

易得丽=((),-1),用=(—2,1).

：.PBPD=(0t-1X-2,1)=-1.

D(O,2)r,C(2.2)

P(2,l)

A(O.O)B(2,0)*

1DQ

法二如图，在正方形A8CO中，由"=$(油+病)得点P为8c

的中点，

_____ArH

.\|ZY)|=A/12+22=V5.

两•历=曲•(无+丽尸丽•无+两•⑦=一两2+。=一[

感悟提升平面向量数量双的两种运笄方法

(1)基底法：当已知向量的模和夹角。时，可利用定义法求解，适用于平面图形

中的向量数量积的有关计笄问题；(2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标

时，可利用坐标法求解.

训练1(1)(2020・新高考全国I卷)已知产是边长为2的正六边形ABCQE/内的一

点,则而•油的取值范围是()

A.(—2,6)B.(~6,2)

C.(-2,4)D.(-4,6)

答案A

解析如图，取A为坐标原点，A8所在直线为x轴建二平面直角

坐标系，则4(0,0),仇2,0),C(3,小),?(一1,表).设P(x,y),F《/P)C

则成=(x,y),筋=(2,0),且一1VXV3.d启

所以力•诵=(x,j)-(2,0)

=2xG(-2,6).

(2)(2022•石家庄调研)己知丽_1危，I丽=:，\AC\=l,若点P是△ABC所在平面

AB4AC

内的一点，且能=t,则丽•无的最大值为

\AB\\AC\

答案13

解析建立如图所示的平面直角坐标系,

则吗,0),C(0,/),

前二(1,。)，Ac=(o,/),

AP=—ol+y(O,1)=(1,4),・，・P(1,4),

丽辰=(}

—1,—4-(-1,L4)

=17-(：+4冰17-2隹4=13,

当且仅当时等号成立.

，丽.比的最大值等于13.

考点二数量积的应用

角度1夹角与垂直

例2(1)(2020・全国HI卷)已知向量a,〃满足闷=5,网=6,a力=-6,则cos(a

a+b>=()

人31B.-gn19

A-35D35

答案D

解析・・・|。+肝=(。+力)2=。2+2。协+从=25—12+36=49,，|。+臼=7,

25—619

・・・cos〈a,a+b)==-^^=-^-=-

(2)(2021・宜昌二模)已知△ABC中，乙4=120。，且A8=3,AC=4,若份=屈+

AC,且能J_求，则实数的值为()

22n10c,「12

AA.y^B.9C.6D.—

答案A

解析因为协=9+病，且能J_胫，

所以有份阮=q前+病)(公一检)=).检/一2通2+/2一油.公=@一

1)A及公一)割2+加2=(),整理可得«—])x3X4Xcos120。一9丈+16=0,解得2

_22

一I?

角度2平面向量的模

例3(1)如果同=2,|b|=3,ab=4,则|。一明的值是()

A.24B.2^6C.-24D.-2#

答案B

解析由⑷=2,步|=3,。仍=4,

得_2b\=yj(a—2b)2

=y]a2-1-4b2-4at)

=、4+36—4X4=2\[b.

(2)(2021•衡水联考)若向量a,(满足a=(cos(),sin0)(06R),步|=2,贝lj|2a—6|

的取值范围为.

答案[0,4]

解析设。与力的夹角为a,则(2a—b)2=4/+b2—4a>=8-8cosa,因为a£[0,

TT],所以()W8—8cosaW16.所以0W|2a—b|W4.

(3)已知a,b是单位向量，。力=0.若向量c满足匕一。一臼=1,则|c|的最大值是

答案6+1

解析法一由ab=O,得a±b.

如图所示，分别作为=〃，OB=b,作次7=。+8,则四边形

Q4CB是边长为1的正方形，所以|沆|=也.

作办=c,则Ie—“一臼=|成一沆|=|勘|=1.

所以点P在以C为圆心，1为半径的圆上.

由图可知，当点。，C,P三点共线且点尸在点Pi处时，|5回取得最大值也+1.

故|c|的最大值是啦+1.

法二由。仍=0,得。_1_方.

建立如图所示的平面直角坐标系，则/=4=(1,0),OB=b=(Oi1).

设c=&7=(x,)')»由|c一。一加=1,

得1)2+()，-1)2=1,

所以点C在以(1,1)为圆心，1为半径的圆上.

所以匕|皿=也+1.

法三易知|。+方|二啦，|c—"一例=|c—(a+〃)|2||c|—|a+b||二||c|一啦|,

由已知得||c|一啦|W1,

所以|c|Wl+啦，故同皿=0+1.

感悟提升(1)根据平面向量数量积的性质：若。，6为非零向量，则8$。=高£

(夹角公式)，。_1_b046=0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、

垂直问题.

(2)计算向量的模：①当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式；②

利用|a|=gG及(a±》)2=|aF±2a-b+|bF,把向量的模的运算转化为数量积运算；

③几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形

法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.

训练2(1)(多选)(2022・湖南三校联考)已知a,8是单位向量,且。+6=(1,—1),

则()

A.|a+力|=2B.a与力垂直

C.a与a一力的夹角为:D.\a-b\=\

答案BC

解析\a-\-b\=yj\2+(—1)2=^2,故A错误；

因为。，〃是单位向量，/以|aF+|肝+2。•力=1+1+2。•力=2,得a心=0,a与b

垂直，故B正确；

\a-b\1=a2-\-b2—2ab=2,\a—b\=y[2,故D错误；

..a-(a—b)a2—ab-\/2n..〜

cos〈a,a~b)=~T7,1=〜质=)，所以。与a—b的夹角u为故C正

\a\\a-b\1Xy]2，4

确.

(2)如图，在△ABC中，M为8C的中点，若AB=1,AC=3,上一

一一一Z>^

48与人。的夹角为60。，则|M4|=_______.AC

答案挈

解析为BC的中点，

・,•屈/=)(筋+届，

.•.|M4|2=1(AS+Ac)2

，丽21m2+2ABAC}

113

=W(1+9+2X1X3cos60。)=才，

・・・|丽=隼

(3)在平面直角坐标系中，。为原点，A(—1,0),B(0,@),C(3,0),动点。满

足|彷|=1,则|昌+/+丽|的最大值是.

答案1+巾

解析设。(x,)，)，由|诙|=1,得(x—3)2+)2=1,

向量醇+为+历=。-1,），+小）,

故|〃+丽+而|=、（X-1）2+（），+小）2的最大值为圆（1-3）2+产=1上的

动点到点（1,一小）距离的最大值，其最大值为圆（x—3产+.俨=1的圆心（3,0）到

点（1,一5）的距离加上圆的半径，则（3-1）2+（0+小）2+1=1+#.

考点三平面向量的综合应用

例4⑴若。为所在平面内任一点,且满足（浦—诙）.（为+无—2以）=0,

则△ABC的形状为（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.正三角形D.等腰直角三角形

答案A

解析因为（协一浣）•（份+沆-2法）=0,所以油•（磊+公）=0,即赤_L（筋+

AC）.所以△ABC的中线和底边垂直,所以△ABC是等腰三角形.

（2）（2020•天津卷）如图，在四边形ABCD中，ZB=60°,<8=3,

BC=6,且崩=流，ADAB=-|,则实数2的值为：

若M,N是线段BC上的动点，且|丽=1,则说.瓦的最小值BMN'

为.

答案t竽

解析因为而=/1比，/以AO〃8C,则N/MO=120。,

所以屐）•油=|屐）卜|/访卜cos120。=一之解得|屐）|=1.

因为病，反?同向，且8。=6,

所以彳》=4病，即7=4.

oo

3

在四边形A8CO中，作A0_18c于点0,则BO=ABcos60°=^,AO=ABs\n60°

3小

—2,

以0为坐标原点，以8c和A。所在直线分别为x,），轴建立平面直角坐标系.

如图，设M3,0),不妨设点N在点M右侧,

37

则M〃+l，0),且一

又挈)，所以方法=(4一1，一半］

丽=(a,一鸣，

所以届•质=/-〃+孑

=(。_§+号

所以当时，方法•丽取得最小值竽.

⑶已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为小b,c，向量m=(sin4sin8),

n=(cosB,cosA),mn=s\n2C.

①求角C的大小；

②若sinA,sinC,sin8成等差数列，且Q•(检一左7)=18,求c.

解①〃z〃=sinAcos8+sinficosA=sin(A+B),

在△ABC中，A+B=TT—C,()<C<K,

所以sin(A+B)=sinC,

所以7/r/i=sinC,又mn=sin2C,

所以sin2C'=sinC,cosC=1

又因为C£(0,Jr),故C号

②由sinA,sinC,sin8成等差数列，可得2sinC=sinA+sin&

由正弦定理得2c、=a+力.

因为©A•(油一危)=18,

所以可・访=18,

即abcosC=18,ab=36.

由余弦定理得

(r=cr-\-lr—2abcosC=(a-\-b)2—3ab,

所以/=4/—3X36,c2=36,所以c=6.

感悟提升向量数量积综合应用的方法和思想

(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐

标，这样就能进行相应的弋数运算和向量运算，从而使问题得到解决.

(2)基向量法：适当选取一组基底，写出向量之间的联系，利用向量共线构造关

于设定未知量的方程来进行求解.

(3)利用向量运算进行转化，化归为三角函数的问题或三角恒等变换问题是常规

的解题思路和方法，以向量为载体考查三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定

理等知识的应用.

训练3(1)已知〃，〃是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a-c>S

-c)=0,则|c|的最大值是()

A.lB.2C.^2D.当

答案C

解析因为⑷=|例=1,ab=O,

(a—c)0—c)=-c(a+b)+|c|2=一|c||a+b卜cos6+|c|2=0,其中夕为c与a~\~b的

夹角，

所以|c|=|〃+b|cos6=y[2cos9W6，

所以|c|的最大值是血.

⑵己知4r是边长为2的等边三角形,。为平面A8C内一点，则成(两+两

的最小值是()

34

A.-2B.—2C.—D.-1

答案B

解析以8c中点为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，

・・・A(0,小),B(-l,0),C(l,0).

设P(x,y)fB4=(—X,y/3—y),

PB=(—\—x,_y),PC=(1—x,—y)»

.•.B4(PB+PC)=2r-2/)，+2y2

=*+(广当用，

则其最小值为2X(—§=一W，此时x=0,y=堂.

(3)已知向量a,6满足同=1,|力|=2,则|。+例+|。一"的最小值是，最

大值是.

答案42小

解析由题意，不妨设b=(2,0),

a=(cosasin0),

则a+》=(2+cosOysin0),

a—b=(cos()—2,sin0).

令y=\a+b\^-\a-b\

=yj(2+cos0)2+sin26>

+4(cos<9-2)2+sin2^

=<5+4cos夕+小一4cos6,

则）2=10+2,25-16COS2®£[16,20].

由此可得（|。+例+|。一力|%皿=亚=2小，

（|。+方|+|。-b|）niin=g16=4,

即|a+b|+|a—"的最小值是4,最大值是2小.

拓展视野/极化恒等式

极化恒等式的证明过程与几何意义

证明过程：如图，设施=〃，AD=b,则公=a+b,DB=a,/\a^b

|Aq2=(a+b)2=|aF+2a.b+|b|2,

|协F=(a-b)2=laF—2a•力+向2,

两式相减得。6=4［（。+6）2—（。―6）2］，此即极化恒等式.

几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角

线长”与“差对角线长”平方差的京

例（D如图，在三角形A8C中，。是8c的中点，E,尸是AQ上的两个三等分

点，^ACA=4,BFCF=-1,则旗•在值为.

答案I

1122

解析设皮DF=b,BACA=\AD\-\Bb\=9b-a=4t

22222

BF&-\FD\-\Bb\-b-a--1,解得房一看，a-t

・••巫.摩=|两2一|的2

“227

=4b~一。~=和

（2）己知点A,B,C均在半径为色的圆上，若|人用=2,则庆•反?的最大值为（）

A.3+2rB.2+2加

C.4D.^2

答案B

解析设A,B,C三点所在圆的圆心为0,取AB中点。，

故启拓=近•西=诙2―；油2=诙2一］

因为A,B,C三点在圆上，所以CZ）长度最大为,•+4

其中d为圆心。到弦A8的距离，

故最大值为1+港，所以。方一1的最大值为（1+6）2—1=2+2寸1

I分层训练,巩固提升

A级基础巩固

1.已知向量。=（h3）,力=（1,4）,c=（2,1）,且（2。-3b）J_c,则实数攵=（）

915

A.-5B.OC.3D.方

答案C

解析因为2〃-3万=（2攵-3,-6）,（2a—3b）_Lc,所以（2。-3勿・c=2（2攵-3）—6

—0,解得k=3.

2.（2021・盐城二模）已知a,b是相互垂直的单位向量，与力共面的向量c满足

ac=bc=2,则c的模为（）

A.IBSC.2D.2啦

答案D

解析由题意知〃是相互垂直的单位向量，不妨设。=（1,0）,Z>=（0,1）,设

c=（x,y）,由a-c="c=2,可得x=y=2,即c=（2,2）,则匕|=严”=2啦.

3.（多选）（2022•南京一模）下列关于向量a,b,c的运算，一定成立的是（）

A.（a+b）c=ac+/>c

B.（（ib）c=a（bc）

C.ab^\a\\b\

D.|a-b|W|a|+步|

答案ACD

解析根据数量积的分配律可知A正确；

B中，左边为c的共线向量，右边为a的共线向量，故B不正确；

根据数量积的定义可知。4=|。仙|cos〈*b）W同悯,故C正确；

|0一杆一（⑷+步|）2=—2。•万一2同步|W0,故|a一例2<（同+|例）2,即|a一例W|a|十|M，

故D正确.

4.若两个非零向量a,。满足1〃十旬一|0一加一2|回，则向量a+b与a的夹角为（）

，兀c2兀-5兀r兀

A.TB.TC.~7"D.T

3366

答案D

解析设网=1,则|a+b|=|a-1=2.

由|。+例=|。一"，得。6=0,

故以G,方为邻边的平行匹边形是矩形，且⑷=小,

设向量a+b与。的夹角为0,

_a-(a+b)__(r-\-ab_\g\_

He。，“一|a|.|a+例—同心+例一|a+4—2，

7T

又owe，，所以。弋.

5.(多选)(2021・武汉调研)如图，点4,B在圆C上，则筋•恁的值

()

A.与圆C的半径有关

B.与圆C的半径无关

C.与弦A8的长度有关

D.与点A,8的位置有关

答案BC

解析如图，连接A8,过C作COJ_A8交A8于。，则。是A8

力丽］

的中点，故印方•危=1卷|•^^£l•cosNCAO=|油HAa•---=51崩F，

|AC|

故篇•危的值与圆C的半径无关，只与弦A8的长度有关，故选BC.

6.(2021•德州二模)在平行四边形A8CO中，已知无反BF=|FC,|丽=啦,

I而=#,则启协=()

97

--

B.22

答案B

解析VDE=|EC,BF=\FC,

乙乙

：.AE=AD-\-DE=Ab^Ab,赤=&+阱=崩+；位

又|丽=啦，|而=疵，

A|AD+|AB|=V2,I领）+&卜,，

AD*2+-jAD-AB+-^AB2=2,^Ab2+^ADAB+AB2=6,

两式相减得加）2—枳为2=—4,

.••比励=（检+病）（病—检）=而2一筋2=一故选B.

7.（2021•全国甲卷）若向量a,〃满足同=3,|.一切=5,ab=\,则固=.

答案3啦

解析由|0一例=5得（。一方尸=25,即，一勿力+从=25,结合同=3,ab=\,得

32—2义1+|那=25,所以步产二18,步|=3啦.

8.（2021・新高考H卷）已知向量a+b+c=0,间=1,步|=|c|=2,ab+bc+ca

-

9

答

案-

-2

解析由已知可得（。+力+。）~=。2+/+。~+232+力（+。4）=9+2（〃力+"c+

9

c・a）=O,因此。•A+bf+can-5・

9.（2022・湖州质检）在RlZVlB。中，ZC=90°,CB=2,CA=4,P在边4c的中

线BD上，则丽•济的最小值为.

答案一

解析依题意，以C为坐标原点，分别以AC,BC所在的

直线为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

则8（0,2）,。（2,0）,所以直线8。的方程为y=-x+2,」和1二"

因为P点在边AC的中线BO上，所以可设P",2-/）（0WfW2）,所以0=（1,2

T）,BP=（t,-/）,

2

所以丽•昨=/一/・（2一/）=2-一2/=2卜一当/=］时，行•济取得最小值一

1

2,

1（）.已知向量。=（cosx,sinA）,b=（3,一小），［0,Jil.

(1)若。〃力，求工的值；

(2)记./(幻=〃6,求_/W的最大值和最小值以及时应的x的值.

解(1)因为。=(cosx,sinx),

力=(3,一小)，a//b,

所以一小cosx=3sinx.

若cosx=0,则sinx=0,与sin2x+cos2x=1矛盾，

故cosx#0,于是lanx=一乎.

又x£[0,7l],所以X=知.

(2)/(x)=«­/>=(cosx,sinx)-(3,一小)

=3cosx—V5sinx=2^/3cos^r+^.

因为咐0,7t],所以工+熊,普],

从而一1Wcos(x+能坐

于是，当x+5=2，即x=0时，段)取得最大值3；

当x+,=兀，即％=需时，於)取得最小值一2小.

11.在中，角4,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(V%—c)旗•旗

(1)求角B的大小；

(2)若I丽—两=#,求△ABC面积的最大值.

解(1)由题意得c)cosB=bcosC.

根据正弦定理得(msinA—sinQcos8=sin8cosC,

所以6sinAcos8=sin(C+8),

即啦sinAcosB=sinA,因为A£(0,n),

所以sinA>0,

所以8sB=勺,又B£(0,71),所以5=去

(2)因为|法一反1=%,所以|8|=,，即〃=%,

根据余弦定理及基本不等式得6=〃+/—g〃c、=(2—g)ac、(当且

仅当a=c时取等号)，

即acW3Q+&).

故△48C的面积S=；«csinBJ1),

因此△