3.1 认识反比例函数2026-2027学年鲁教版九年级数学上册

第三章

反比例函数1认识反比例函数1.掌握反比例函数的概念和三种表示方法2.会用待定系数法确定反比例函数表达式3.能用反比例函数解决简单的实际问题4.掌握类比归纳的学习方法和感受模型思想学习目标重点难点理解反比例函数的概念抽象得出反比例变化规律的数学模型学习重难点1.函数：一般的，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的

,变量y都有

与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量.

每一个值唯一的值2.一次函数：若两个变量x,y之间的对应关系可以表示成

的形式，则称y是x的一次函数.特别地，当

时，称y是x的正比例函数

y=kx+b(k,b是常数，k≠0)y=kx(k是常数，k≠0)知识回顾

1.亮度可以调节的台灯，其灯光亮度的改变可以通过调节电阻来控制电流的变化实现。其中，导体中的电流I（单位：A）与导体的电阻R（单位：Ω）、导体两端的电压U（单位：V）之间满足关系式U=IR。当U=220V时：

情景导入（1）请完成下表，并思考随着R的变化I是怎样变化的。

R/Ω20406080100

I/A

115.52.752.23.67I随着R的增大而变小,随着R的减小而变大.（2）变量I是R的函数吗？为什么？是。在U值一定的条件下，当R变化时，变量I随之发生变化，并且有一个唯一的值与之一一对应，符合函数的定义，故变量I是R的函数。2.一种交通工具行驶的路程s（单位：km），与它行驶的平均速度v（单位：km/h)、行驶的时间t（单位：h)之间满足关系式s=VT。当s=100km时：（1）请完成下表，并思考随着v的变化t是怎样变化的。

v/(km/h)4050607080

t/h

2.52

1.25

（2）变量t是v的函数吗？为什么？是。在s一定的条件下，当v变化时，变量t随之发生变化，并且有一个唯一的值与之一一对应，符合函数的定义，故变量t是h的函数。

尝试·思考

一般地，如果两个变量

x,

y之间的关系式可以表示成

（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数，其中x是自变量，y是因变量．其中x是自变量，常数k（k≠0）称为反比例函数的反比例系数.其他表达形式

总结（1）判定一个函数为反比例函数的条件：①所给等式是形如y＝

或

y＝kx-1或

xy＝k的等式；②比例系数k是常数，且k≠0.（2）y是x的反比例函数⇔函数解析式为y＝

或y＝kx－1或xy＝k(k为常数，k≠0)．下列函数是不是反比例函数？若是,请写出它的比例系数.是，k=3不是，它是正比例函数不是是，k=1是，试一试思考以下问题，并与同伴进行交流。1.一个矩形的面积为20cm²，相邻的两条边长分别为xcm和ycm，你认为变量y是变量x的函数吗？如果是函数，那么y是x的反比例函数吗？为什么？2.某村有耕地346.2公顷，人口数量逐年发生变化，你认为该村人均占有耕地面积m（单位：公顷/人）是全村人口数n的函数吗？如果是函数，那么m是n的反比例函数吗？为什么？3.y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值。思考·交流（1）写出这个反比例函数的表达式；（2）根据函数表达式完成上表。

-314-4-22

例1

已知y是x的反比例函数，当x=-3时，y=4.（1）求这个反比例函数的表达式；（2）求当x=6时y的值。

确定反比例函数表达式的方法：

在明确两个变量为反比例函数关系的前提下，先设出反比例函数的表达式，然后把满足反比例函数关系的一组对应值代入设出的表达式中构造方程，解方程求出待定系数，从而确定反比例函数的表达式．总结

确定实际问题中的反比例函数表达式类似于列二元一次方程，两个变量就是两个未知数，关键是认真审题，找到两个变量间的等量关系．比如面积s一定时，矩形的长x和宽y的关系式为(s为定值)．这里只有一个待定系数s，因此只需知道一组x，y的值即可求出这个反比例函数的关系式．典例精析例2

（1）某住宅小区要种植一个面积为1000m2的矩形草坪，其相邻两边长为xm，ym，试写出y

关于x

的函数表达式，并写出自变量的取值范围；（2）食堂存煤15000kg，试写出可使用的时间t(天)关于平均每天的用煤量Q(kg)的函数表达式，并写出自变量的取值范围.导引：(1)根据矩形的面积公式写出函数表达式；(2)根据“可使用的时间=存煤量/平均每天的用煤量”写出函数表达式.特别提醒:在实际问题中，确定函数表达式后，通常都要写出自变量的取值范围，特别注意自变量的取值要使实际问题有意义解：(1)

(x

＞0).(2)

(Q

＞0).

建立反比例函数的模型，首先要找出题目中的等量关系，然后把未知量用未知数表示，列出等式，转化为反比例函数的一般式即可.同时注意未知数的取值范围.总结1.下列函数解析式中,y是x的反比例函数的是(

)B2.已知y与x－1成反比例，且当x＝－5时，y＝2.(1)求y与x的函数关系式；(2)当x＝5时，求y的值．课堂练习3.下列各组的两个变量间满足反比例关系的是(

)A．三角形面积一定时，它的一边长与该边上的高B．等腰三角形的周长一定时，它的底边长与腰长C．圆的周长与它的半径D．圆的面积与它的半径A4.若等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y与x的函数关系式为(

)C5.购买x只茶杯需15元，则一只茶杯的价格y(元)与x(只)的函数表达式为(

)D6.一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均80km/h的速度用了4h到达乙地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度v

km/h与时间th的函数关系是(

)B7.方方驾驶小汽车匀速从A地行驶到B地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t(单位：小时)，行驶速度为v