湘教版九年级数学上册《2.212锐角的正切》同步练习题（含答案）

第页精品试卷·第2页（共2页）湘教版九年级数学上册《2.212锐角的正切》同步练习题（含答案）题组A基础过关练1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，则cosA的值为（）A．34 B．35 C．452．下列是4个已知角度的三角函数，值最大的是（）A．cos46° B．tan46° C．sin46° D．sin88°3．2cosA．1 B．233 C．234．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，若BC=5，AB=4，则tanA的值为()A．54 B．35 C．435．在Rt△ABC中∠C=90°，BC=4A．10 B．8 C．6 D．46．cos60∘+tanA．32 B．22 C．37．如图，直线OP过点3,t，且tanα=43，则8．求值：sin2609．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则tan∠AOC的值为．10．（1）计算：2（2）已知a、b满足a3题组B能力提升练11．在△ABC中，∠A、∠C都是锐角，且cosC−A．30° B．60° C．90° D．120°12．综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD为正方形AB=40cm，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线AM交BC于点H．经测量，点A距地面2m，到树EG的距离AF=10m，A．7.5 B．8.3 C．9.5 D．7.913．Rt△ABC中∠C=90°,AC=2BC，下列结论：①sinA=12；②cosB=A．②③ B．②④ C．①③ D．①④14．计算sin60°15．将图1所示的七巧板，拼成图2所示的数字“5”的图案，连结AB，交DE于点C，则tan∠ACE的值为．16．计算（1）tan（2）已知三个数2，2，1，请你再添一个数，使这四个数成比例，并写出比例式.17．小星手中有一把残缺的刻度尺，他想知道其宽度OA，但手中只有一把刻度模糊的45°直角三角板，无法直接测量，于是他将直角三角板锐角顶点与尺下沿的端点A重合，斜边与尺下沿DA重合，如图①，一直角边与尺上沿的交点B在尺上的读数即为直尺的宽．（1）【实践探究】小红受到小星的启发，将39°的∠DAB按小星的方式放置在一把残缺的刻度尺上，如图②，AB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为3厘米，求该刻度尺的宽度OA的长；（2）【问题解决】小红继续按相同的方式将24°的∠DAC放置在刻度尺上，求OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为多少厘米．（结果精确到0.1厘米）（参考数据sin39°≈0.63题组C培优拔尖练18．图①、图②、图③均是7×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的三个顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法．（1）在图①中的边AC上画点P，连接BP，使BP平分△ABC的面积；（2）在图②中的边AC上画点Q，连接BQ，使∠ABQ=45°；（3）在图③中的边AC上画点M，连接BM，使tan∠ABM=19．如图，在Rt△ABC中∠B=90°，AC=23，BC=3．点P是边AB上一点（点P不与点B重合），连接PC．过点P作PQ⊥PC（1）∠PCQ=度；（2）求证：△PBC∽△QAC；（3）点M是边BC延长线上一点，且BC=3CM，连接MQ，线段MQ的最小值为；（4）当tan∠APQ=14参考答案与解析题组A基础过关练1．【答案】C【解析】【解答】解：如图

∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5∴cosA=ACAB=42．【答案】B【解析】【解答】解：∵cos46°=sin(90°-46°)=sin44°，44°<46°<88°

∴0<sin44°<sin46°<sin88°<1∵tan45°=1，而tan46°>tan45°

∴tan46°>1

∴cos46°，tan46°，sin46°，sin88°中，tan46°的值最大故答案为：B.【分析】根据锐角三角函数的增减性先得到0<sin44°<sin46°<sin88°<1，再得到tan46°>sin45°=1即可.3．【答案】A【解析】【解答】解：2故选：A【分析】根据特殊角的三角函数值即可求出答案.4．【答案】A【解析】【解答】解：∵在△ABC中∠ABC=90°∴tan故选：A．【分析】直角三角形中，一个锐角的正切值等于该锐角所对的直角边的长与另外一条直角边的长的比值，据此可得答案．5．【答案】C【解析】【解答】解：如图在Rt△ABC中∴AC=故答案为：C【分析】本题考查锐角三角函数中正切的定义及应用，在直角三角形中，正切值是对边与邻边的比值。在Rt△ABC中∠C=90°，tanA对应的对边是BC，邻边是AC，即tan6．【答案】A【解析】【解答】解：原式=1故选A．

【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可．7．【答案】4【解析】【解答】解：如图，过点P作PA⊥x轴于A∵P∴OA=3∵tan∴PA解得：t=4故答案为：4．【分析】过点P作PA⊥x轴于A，根据点P的坐标得到OA=3，8．【答案】1【解析】【解答】解：sin故答案为：1.【分析】把特殊角的三角函数值代入原式进行计算即可.9．【答案】3【解析】【解答】解：连接BC，如图所示：根据作图可知：OB＝OC＝BC∴△OBC为等边三角形∴∠AOC＝60°∴tan∠AOC=tan60°=3故答案为：3．【分析】连接BC，由作图可得OB＝OC＝BC，根据等边三角形判定定理可得△OBC为等边三角形，则∠AOC=60°，再根据特殊角的三角函数值即可求出答案.10．【答案】（1）解：2=2×=1−=（2）解：设a3由题意得a+2b=3k+4k=28，解得k=4.所以a=3k=12.【解析】【分析】(1)原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果；

(2)先根据已知比例关系设出未知数，再代入另一个方程求解未知数的值，进而求出a的值.题组B能力提升练11．【答案】B【解析】【解答】解：由题意得cos解得cos∵∠A、∴∠A=∠C=60°∵∠A+∠B+∠C=180°∴∠B=180°−∠A−∠C=60°故选：B．【分析】本题考查特殊角的三角函数与三角形内角和，结合非负数（绝对值、平方）的和为0，则每一项均为0，结合特殊角的三角函数值求出∠A、∠C，再用内角和求∠B.12．【答案】C【解析】【解答】解：由题意可知∠BAE=∠MAF=∠BAD=90°则∠EAF+∠BAF=∠BAF+∠BAH=90°∴∠EAF=∠BAH∵AB=40cm则tan∴∵AF=10m则EF∴EF=∴EG=EF+FG=15故树EG的高度为19故答案为：C．【分析】先根据平角以及直角三角形锐角互余，列式∠EAF+∠BAF=∠BAF+∠BAH=90°，从而得出∠EAF=∠BAH，结合正切定义列式并求出AF=10m，代入即可求出EF=1513．【答案】A【解析】【解答】解：设BC=x∵AC=2BC∴AC=2x∵在Rt△ABC中∠C=90°∴AB=∴sinA=BCcosB=BCABtanA=BCAC=tanB=ACBC=综上所述：正确的结论是②③．故答案为：A．

【分析】设BC=x，则AC=2x，利用勾股定理表示出AB，然后根据锐角三角函数定义“在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边”求解即可.14．【答案】0【解析】【解答】解：原式=3故答案为：0．【分析】先分别求出各特殊角的三角函数值，再利用有理数的加减乘除混合运算法则计算即可．15．【答案】3【解析】【解答】解：如图

根据图1可得BF=FL=LE=12AE=12∴∠HEF=90°∵AE∥BL∴△AEK∽△BFK，△AEC∽△BFC∴EK∴EK=KL=1又∵EL∥AH∴△EKG∽△HAG∴EG∴EG=∴tan∠AC=EG故答案为：35.

【分析】根据图1可得BF=FL=LE=12AE=12AH16．【答案】（1）解：tan45°-cos60°=1−=（2）解：设添加的一个数为x情况一：根据题意得x⋅2=2⋅1，解得：x=2情况二：根据题意得x⋅1=2⋅2，解得：x=22，比例式即情况三：根据题意得x⋅2=2⋅1，解得：x=2​​​​​【解析】【分析】（1）先计算特殊角的三角函数值，再计算加减即可；（2）可以设再添上的数是x，根据比例的定义就可解得．17．【答案】（1）解：∵OB∥AD∴∠ABO=∠DAB=39°在Rt△AOB中∠AOB=90°，OB=3厘米tan∴AO=OB×tan即该刻度尺的宽度OA约为2.43厘米．（2）解：∵OC∥AD∴∠ACO=∠DAC=24°在Rt△AOC中∠AOB=90°OA=2.43厘米tan∴OC=AO即OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为5.4厘米．【解析】【分析】（1）先根据“两直线平行、内错角相等”得出∠ABO=∠DAB=39°，在Rt△ABO中，利用tan∠ABO=AOOB（2）先根据“两直线平行、内错角相等”得出∠ACO=∠DAC=24°，在Rt△AOC中，利用tan∠ACO=AOOC（1）解：∵OB∥AD∴∠ABO=∠DAB=39°在Rt△AOB中∠AOB=90°，tan∴AO=3×0.81=2.43（厘米）即该刻度尺的宽度OA约为2.43厘米．（2）∵OC∥AD∴∠ACO=∠DAC=24°在Rt△AOC中∠AOB=90°，tan∴OC=2.43即OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为5.4厘米．题组C培优拔尖练18．【答案】（1）解：如图①，BP即为所求；（2）解：如图②，∠ABQ即为所求；（3）解：如图③，∠ABM即为所求；【解析】【分析】

本题考查了三角形中线的性质，勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义以及网格作图技巧.（1）三角形的中线将三角形分成两个等底同高的三角形，因此面积相等.要使BP平分△ABC的面积，只需找到AC边的中点P，连接BP即可.在网格中，通过数格子的方法可以快速定位AC的中点；（2）45度角是等腰直角三角形的特征角，因此我们可以构造一个以AB为直角边的等腰直角三角形.在网格中取合适的格点F，使得AF=AB，且∠BAF=90°，则△ABF为等腰直角三角形，∠ABF=45°.连接BF，BF与AC的交点即为点Q，此时∠ABQ=45°；（3）要构造正切值为2/5的角，需要在以AB为直角边的直角三角形中，找到对边与邻边的比值为2/5的情况.我们可以利用相似三角形的性质，先构造一个直角三角形，通过网格中的格点构造相似三角形△HGK∽△ATK，得到所需的比例关系，即AKKH=2（1）解：如图①，BP即为所求；（2）解：如图②，∠ABQ即为所求；（3）解：如图③，∠ABM即为所求；19．【答案】（1）30（2）证明：∵∠B=90°∴cos∴∠ACB=30°∵∠PCQ=30°∴∠BCP=∠ACQ=30°−∠ACP∵BC∴BC∴△PBC∽△QAC；（3）53（4）解：∵∠CPQ=90°∴∠PCB=90°−∠CPB=∠APQ由（2）知∠BCP=∠ACQ∴∠ACQ=∠APQ∵∠QAC=∠PBC=90°∴tan∴AQ=∴线段AQ的长为32【解析】【解答】解：(1)∵PQ⊥PCPC∴在Rt△PQC中cos∴∠PCQ=30°．

故答案为：30.

(3)过点M作MQ'⊥AQ于Q'

∵△PBC∽△QAC∴∠QAC=∠PBC=90°∴点Q在过A且垂直于AC的直线上．

∴当MQ'⊥AQ，即点Q'与点Q重合时，线段MQ有最小值过点C作CF⊥MQ'于F∵∠CFQ'=∠FQ'A=∠