4.3.2 全等三角形的判定定理 -2026-2027学年湘教版数学八年级上册

湘教版数学八年级上册4.3.2全等三角形的判定定理（边角边）专项练习一、核心知识点梳理1.边角边判定定理（SAS）：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。这是三角形全等判定的第一个核心定理，适用范围广，是几何证明最常用的判定方法之一。定理核心关键：必须是两组对应边和两边的夹角对应相等，缺一不可，条件具有唯一性和严谨性。2.夹角的精准定义：两条对应边中间所夹的内角叫做夹角，夹角必须依附于两组对应边，顶点为两边的公共端点。需严格区分夹角与非夹角，避免误用边边角判定，这是SAS定理应用的核心重难点。3.定理应用思路：在证明三角形全等时，优先寻找题目已知的相等边、相等角，结合图形隐含条件（公共边、公共角、对顶角相等），凑齐“两边夹一角”的判定条件，先证全等，再利用全等性质推导边角相等、线段平行、角度相等结论。4.定理拓展结论：利用SAS判定全等后，可直接得出全等三角形的对应边相等、对应角相等，进一步求解线段长度、角度大小，解决几何计算与简单证明题型，是衔接全等性质与综合几何推理的关键。二、本章高频易错点汇总1.混淆夹角与非夹角：误用“边边角（SSA）”判定全等，即两组边和其中一边的对角相等，该条件无法判定三角形全等，是本节最高频错误。2.条件识别不全：忽略图形隐含条件，遗漏公共边、公共角、对顶角，无法凑齐SAS判定所需的三个条件，导致证明卡顿。3.对应关系错误：判定全等时，边、角对应关系混乱，不是对应边、对应夹角相等却强行套用SAS定理，推理逻辑不成立。4.证明书写不规范：未按“摆条件、套定理、得全等、推结论”的步骤书写，条件罗列杂乱，缺少关键推理依据，答题不严谨。三、同步专项练习题（一）选择题（每题5分，共20分）1.下列条件中，能判定两个三角形全等的是（）A.两边相等B.两角相等C.两边及其夹角对应相等D.两边及其中一边对角相等2.根据SAS判定定理，判定△ABC≌△DEF不需要的条件是（）A.AB=DEB.∠B=∠EC.BC=EFD.∠A=∠D3.已知AB=AC，AD平分∠BAC，可利用SAS证明全等的三角形是（）A.△ABD≌△ACDB.△ABC≌△ACBC.△ABD≌△ADCD.无全等三角形4.下列关于SSA与SAS的说法正确的是（）A.SSA可判定全等B.SAS是两边夹一角C.SAS无法判定全等D.SSA与SAS判定效果一致（二）填空题（每题6分，共24分）1.全等三角形判定定理边角边的简写为________，判定条件是________对应相等。2.两边及其中一边的对角对应相等，________（填“能”或“不能”）判定三角形全等。3.利用SAS证明全等时，必须保证相等的角是两组对应边的________。4.两个三角形满足AB=A'B'，∠B=∠B'，BC=B'C'，可判定________≌________。（三）解答题（共56分）1.（16分）已知：如图，AB=AD，∠BAC=∠DAC，AC为公共边，求证：△ABC≌△ADC。2.（20分）已知：AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，求证：△ABC≌△DEF，并证明∠A=∠D。3.（20分）已知：AC⊥BD，BC=DC，AC为公共边，求证：△ABC≌△ADC。四、参考答案与详细解析（一）选择题解析1.C解析：SAS定理为两边及其夹角对应相等可判定全等，SSA无法判定，单独边或角相等不能判定全等。2.D解析：SAS需要两组对应边和夹角，AB=DE、∠B=∠E、BC=EF即可判定，无需∠A=∠D。3.A解析：AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD为公共边，满足SAS，可证△ABD≌△ACD。4.B解析：SAS定义为两边夹一角，SSA不能作为全等判定依据，二者判定效果不同。（二）填空题解析1.SAS；两边及其夹角解析：边角边定理标准简写与核心判定条件。2.不能解析：边边角无判定依据，无法保证三角形形状、大小完全一致。3.夹角解析：夹角是SAS定理成立的核心前提，非夹角不满足判定条件。4.△ABC；△A'B'C'解析：满足两组对应边及夹角相等，符合SAS全等判定条件。（三）解答题解析1.证明：在△ABC和△ADC中，∵AB=AD（已知），∠BAC=∠DAC（已知），AC=AC（公共边），∴△ABC≌△ADC（SAS）。命题得证。2.证明：在△ABC和△DEF中，∵AB=DE（已知），∠B=∠E（已知），BC=EF（已知），∴△ABC≌△DEF（SAS）。∴∠A=∠D（全等三角形对应角相等）。命题得证。3.证明：∵AC⊥BD，∴∠ACB=∠ACD=90°。在△ABC和△ADC中，∵BC=DC（已知），∠ACB=∠ACD（已证），AC=AC（公共边），∴△ABC≌△ADC（SAS）。命题得证。五、专项总结本节核心掌握SAS（边角边）全等判定定理，精准区分夹角与非夹角，牢记“两边夹一角可判全等、边边角不能判定全等”的核心规则。熟练挖掘图形中公共边、公共角、垂直直角、对顶角等隐含条件，规范书写全等证明步骤，明确“条件充足、定理对应、结论严谨”的答题逻辑。SAS是初中几何最基础、最常用的全等判定方法，是后续其他判定定理学习、几何综合证明、线段与角度推导的核心基础。同学们需彻底规避SSA误用、夹角识别错误、对应关系混乱等问题，养成规范推理、步步有据的几何思维，扎实筑牢全等几何证明的核心根基。（全文1324字）湘教版（新教材）数学八年级上册4.3.2全等三角形的判定定理（边角边）授课教师：.

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8年级（

）班.

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2026/9/21

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第4章三角形学习目标1.经历探索三角形全等条件的过程2.培养学生识图、分析图形的能力；

3.能运用“边角边”证明简单的三角形全等问题.1.什么叫全等三角形？能完全重合的两个三角形叫作全等三角形.2.全等三角形有什么性质？全等三角形的对应边相等，对应角相等.3.

已知△ABC≌△DEF，找出其中相等的边与角.ABCDEF知识回顾①AB=DE③CA=FD②BC=EF④∠A=∠D⑤∠B=∠E⑥∠C=∠FABCDEF①AB=DE③CA=FD②BC=EF④∠A=∠D⑤∠B=∠E⑥∠C=∠F如果两个三角形的三条边和三个角分别对应相等，那么这两个三角形全等。思考：两个三角形至少需要满足其中的几组元素相等才能说明它们全等呢？分组合作探究每个小组选择一种边和角的相等条件，根据给出的条件，每位组员画出对应的三角形，互相比较画出的三角形是否全等，将结果记录在教材的表格中。推进新课（1）有一条边相等的两个三角形不一定全等（2）有一个角相等的两个三角形不一定全等不一定全等3cm4cm不一定全等3cm4cm不一定全等30°

6cm（5）有两个角分别相等的两个三角形（3）有两条边分别相等的两个三角形（4）有一个角和一条边分别相等的两个三角形6cm30°60°30°30°60°（1）有一条边相等的两个三角形不一定全等（2）有一个角相等的两个三角形不一定全等不一定全等不一定全等不一定全等（5）有两个角分别相等的两个三角形（3）有两条边分别相等的两个三角形（4）有一个角和一条边分别相等的两个三角形当两个三角形只有一条边（或一个角）相等时，两个三角形不一定全等；当只有两条边（或一边一角、两个角）分别对应相等时，两个三角形也不一定全等.能否再添加适当条件，从而保证两个三角形全等?

用量角器和刻度尺画一个三角形，使它的两条边长分别为2cm，2.5cm，并且这两条边的夹角为50°.将自己画的三角形与其他同学画的三角形叠放在一起，它们完全重合吗？50°2cm2.5cm50°2cm2.5cm50°2cm2.5cm我发现它们完全重合，我猜测：有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.在△ABC和△A′B′C′中，∠ABC=∠A′B′C′，AB=A′B′，BC=B′C′.（1）△ABC和△A′B′C′的位置关系如图.ABCA′B′C′ABC将△ABC放到△A′B′C′上，使点B与点B′重合，BC落在射线B′C′上，点A与点A′在BC的同侧，则由BC=B′C′可得，点C与点C′重合.又∠B=∠B′，则射线BA与射线B′A′重合，由BA=B′A′可得，点A与点A′重合.于是△ABC与△A′B′C′完全重合，从而△ABC≌△A′B′C′.（2）△ABC和△A′B′C′的位置关系如图（顶点B与顶点B′重合）.AB′(B)CA′C′将△ABC作绕点B的旋转，旋转角等于∠C′BC，在△ABC和△A′B′C′中，∠ABC=∠A′B′C′，AB=A′B′，BC=B′C′.B′(B)CA′C′A∵BC＝B′C′，∴线段BC的像与线段B′C′重合.∵∠ABC＝∠A′B′C′，∴∠C′BC=∠A′BA.又∵BA=B′A′，∴在上述旋转下，

BA的像与B′A′重合，从而AC的像就与A′C′重合，于是△ABC的像就是△A′B′C′.由于旋转不改变图形的形状和大小，∴△ABC≌△A′B′C′.（3）△ABC和△A′B′C′的位置关系如图.ABCA′′B′(B′′)C′′A′C′将△ABC作平移，使顶点B的像B″和顶点B′重合，根据情形（1），（2）的结论得△A″B″C″≌△A′B′C′，因此△ABC≌△A′B′C′.在△ABC和△A′B′C′中，∠ABC=∠A′B′C′，AB=A′B′，BC=B′C′.（4）△ABC和△A′B′C′的位置关系如图.BCAB′A′C′在△ABC和△A′B′C′中，∠ABC=∠A′B′C′，AB=A′B′，BC=B′C′.A′′BCAB′A′C′将△ABC作关于直线BC的轴对称，△ABC在轴对称下的像为A′′BC，由于轴对称不改变图形的形状和大小，因此△ABC≌△A′′BC，A′′BCAB′A′C′根据情形（3）的结论得△A′′BC≌△A′B′C′，因此△ABC≌△A′B′C′.

A

返回

AA.

B.

C.

D.

返回返回

D

结论由此得到判定两个三角形全等的基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.（可简写成“边角边”或“SAS”）.边角边定理文字语言：几何语言：AB=A′B′，∠A=∠A′，AC=A′C′

，∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）．

ABC||||||A′B′C′||||||在△ABC和△A′B′C′中，两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）．提示今后在解决有关两个三角形全等的问题时，一般只需用全等三角形的判定定理进行证明即可.如图，AB和CD相交于点O，且AO＝BO，CO＝DO.求证：△ACO≌△BDO.证明在△ACO和△BDO中，AO=BO，∠AOC=∠BOD，（对顶角相等）CO=DO，∴△ACO≌△BDO.（边角边）例题2证明的书写步骤：1.准备条件：证全等时要用的间接条件要先证好；2.三角形全等书写三步骤：（1）写出在哪两个三角形中；（2）摆出三个条件用大括号括起来；（3）写出全等结论.结小纳归“两条边与其中一条边的对角分别对应相等的两个三角形全等”是真命题还是假命题？与同学交流你的想法。ABCC′ABCABC′发现：顶点C

可能存在两个位置，两个三角形不一定全等.【结论】是假命题.练习1.如图，将两根钢条AA'和BB′的中点O连在一起，使钢条可以绕点O自由转动，就可做成测量工件内槽宽度的工具(卡钳).只要量出A'B'的长，就得出工件内槽的宽AB.这是根据什么道理呢？此工具是根据三角形全等制作而成的.∵O是AA'，BB'的中点，∴AO=A′O，BO=B′O，又∵∠AOB与∠A'OB'是对顶角，∴∠AOB=∠A′OB’，在△AOB和△A'OB′中，证明：AO=A′O（已证）∠AOB=∠A′OB′（已证）

BO=OB′（已证）

∴△AOB≌△A′OB′(SAS)，∴A′B'=AB，∴只要量出A'B'的长度，就可以得到工件的内径AB的长度.2.如图，AD//BC，AD=BC.问：△ADC和CBA是全等三角形吗？为什么？△ADC≌△CBA，理由如下：∵AD∥BC∴∠DAC=∠BCA∵在△ADC和△CBA中

AD=BC（已知）∠DAC=∠BCA（已证）

AC=CA（公共边）∴△ADC≌△CBA(SAS)证明：3.已知：如图，AB=AC，点E，F分别是AC，AB的中点.

求证：BE=CF.∵AB=AC，点E，F分别是AC，AB的中点，∴AE=AF，在△ABE和△ACF中

AE=AF（已证）∠A=∠A（公共角）

AB=AC（已知）∴△ABE≌△ACF(SAS)∴BE=CF证明：4.如图，点E、F在AC上，AD//BC，AD=CB，AE=CF.

求证：△AFD≌△CEB.

FABDCE证明：∵AD//BC，∴∠A=∠C，∵AE=CF，在△AFD和△CEB中，AD=CB∠A=∠CAF=CE

∴△AFD≌△CEB（SAS）.∴AE+EF=CF+EF，

即

AF=CE.(已知），(已证），(已证），5.如图，AC=BD，∠CAB=∠DBA，求证：BC=AD.ABCD证明:在△ABC与△BAD中

AC=BD，∠CAB=∠DBA，AB=BA，∴△ABC≌△BAD（SAS），(已知)(已知)(公共边)∴BC=AD（全等三角形的对应边相等）.5.小兰做了一个如图所示的风筝，其中∠EDH=∠FDH，

ED=FD

，将上述条件标注在图中，小明不