人教版数学九年级上册 26.2.2 y=a(x-h)²+k的图象性质 同步练习 含答案

分层作业26.2.2y=a(x-h)²+k的图象性质题型01y=ax²+k的图象和性质题型011．B2．D3．4．【详解】（1）解：，且，则抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为；（2）解：，且，则抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为；（3）解：，且，则抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为；（4）解：，且，则抛物线的开口向下，对称轴为直线（轴），顶点坐标为；（5）解：，且，则抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为；（6）解：，且，则抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为．5．【详解】解：画出这两个函数的图象如图所示．相同点：①开口大小相同；②对称轴都是y轴．不同点：①开口方向不同，函数的图象开口向上，函数的图象开口向下；②增减性不同，当时，随x的增大而增大，随x的增大而减小，当时，随x的增大而减小，函数随x的增大而增大；③顶点不同，函数的图象的顶点坐标为，函数的图象的顶点坐标为题型02y=a(x-h)²的图象和性质

6．A．题型027．B．8．D．9．．10．题型03y=a(x-h)²+k的图象和性质题型0311．D12．B13．A14．B题型04题型0415．216．【详解】解：抛物线的对称轴是直线，，抛物线解析式为，抛物线经过，，解得，抛物线解析式为．17．【详解】（1）解：把代入解析式得：，解得，∴此抛物线的解析式为：；（2）①∵，∴所以此抛物线开口向上；∵顶点为，对称轴为，∴此抛物线顶点坐标是；对称轴是；②∵此抛物线开口向上，对称轴是，∴当时，y随x的增大而减小；③∵，顶点坐标是，∴当时，函数有最小值为；故答案为：①向上；；；②；③，小，．18．【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为，∴设抛物线的顶点式为，∵抛物线与轴的交点是，∴，解得：，∴；（2）解：∵抛物线与轴交于点，，∴设抛物线的解析式为，∵抛物线过点，∴，∴，∴；（3）解：∵所求抛物线与抛物线形状相同，开口方向相反，∴所求抛物线，∵所求抛物线顶点坐标是，∴；（4）解：∵，∴将抛物线先绕原点旋转，得到的抛物线的解析式为，∴再向下平移5个单位长度得到的新抛物线为；（5）解：将抛物线先向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为，∵抛物线的顶点坐标为，∴抛物线沿直线翻折后的顶点坐标为，开口方向相反，∴翻折后的抛物线的解析式为．19．【详解】（1）解：抛物线过、，，解得，∴抛物线的表达式为；（2）解：，∴顶点为，对称轴为直线．题型05二次函数的图象题型0520．C21．B22．【详解】解：先将原抛物线配方化为顶点式：抛物线平移不改变二次项系数，因此平移后二次项系数仍为，开口方向向下．根据平移规则，向下平移1个单位，再向右平移4个单位后，顶点坐标变化为：横坐标，纵坐标，即新顶点坐标为．平移后抛物线的顶点式为，可得对称轴为直线．因此所得抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为．题型06题型0623．D24．B25．D26．【详解】（1）解：将二次函数的图象向右平移4个单位后得到函数，点平移后对应点的坐标为，新图象对称轴是直线，顶点坐标是；，，故答案为：1；（2）当时，时，，将代入，，，时，，将代入，，，n的取值范围为；（3）解：因为函数的对称轴为直线且开口向上，所以当时，函数的最大值为离对称轴较远点的坐标．当时，；当时，，又因为，所以当时，，则随的增大而增大；当时，，所以随的增大而增大，所以A选项符合题意．故答案为：A．27．【详解】（1）解：将点代入得：解得，所以二次函数解析式为；（2）解：①点和在图象上，则：，由得：，两边消去并除以正数得：，展开得，化简得：，，，所以的取值范围是；②因为点和在对称轴的两侧，所以：，解得．在上，函数在处取得最小值．最大值与最小值之差为1，所以最大值为0，且最大值在端点或处取得．情况一：当时取得最大值0则：，解得．同时，当时函数值不超过0：，代入得：，因为，两边乘以得：展开化简得，即．结合，得．此时，当从增大到时，从增大到（因为且可取），所以．情况二：当时取得最大值0则：，解得．同时，当时函数值不超过0：，代入得：，因为，两边乘以得：，展开化简得，即．结合，得．此时，当从增大到2时，从减小到（因为且可取），所以．综合两种情况，的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象、二次函数的性质、二次函数最值等知识点，熟练掌握分类讨论是解答本题的关键．33．C34．D35．36．【详解】（1）解：∵抛物线线解析式为，该抛物线的顶点坐标为，开口向下，令，则，即该抛物线经过点和点，令，则，即该抛物线经过点和，∴此抛物线的大致图象如下图所示：（2）解：抛物线可由抛物线向上平移4个单位可得到．故答案为：上，4．（3）解：∵抛物解析式为，∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为，∴离对称轴越远，函数值越小，∵，∴当，且时，函数有最小值，最小值为，又∵顶点坐标为，即当时，函数有最大值，最大值为4，∴当时，．37．【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为，∴点，当时，，∴点；（2）设点的坐标为，∵，∴抛物线的对称轴为直线，∵点为点关于对称轴对称的点，点，∴点，∴，∵，∴，即，解得：，∵点在抛物线上，将代入抛物线得，，解得：，∵在第一象限内，∴，∴点的坐标为．38．D39．2或40．141．（答案不唯一）42．【详解】（1）解：∵点在抛物线上，且在第一象限，∴，∴可得，解得或，∴．（2）解：∵，∴，抛物线的解析式为，∵轴，∴点Q的纵坐标为3，将代入，得，解得或，∴点Q的坐标为，∴，∴．43．【详解】解：（1）将代入，得，，解得，（负值舍去），∴；（2）设反弹后抛物线解析式为，由题意可知，反弹后的抛物线过点，，将，代入解析式，得，，解得，，∴，顶点坐标为，∴；（3）能．理由如下：由题意可知，反弹后最高点为，球擦网点为，设过这两点的直线解析式为，依题意得，，解得，，∴

，令，得，解得，，∴球能落到对方台面上，落球点为．44．【详解】（1）解：∵，，，，∴，∴该抛物线顶点P的坐标为；（2）解：①如图1，过M点作轴于点N，过P点作轴于点E．∵，∴，∴，∴抛物线的对称轴为直线，∵，∴，∴∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴P点坐标为，∵P为抛物线的顶点，∴P点坐标为，∴，∴M点坐标为，将，代入，得：，解得：，∴c的值为1；②∵，∴当取得最小值时，的值最小．由①知，抛物线的对称轴为直线，∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，∴抛物线的解析式为，∴C点坐标为，顶点P坐标为，∵，∴，如图2，过点P作直线与直线成角，与抛物线的交点为G，交y轴于点H，过点D作，垂足为Q，连接．在中，，∴，∴当C，D，Q三点共线，且时，取得最小值，即取得最小值，在中，，∴，即，过点C作交x轴于F，∴，在中，，即，∴，即F点坐标为，设直线的解析式为，∴，∴，∴直线的解析式为，∵，∴设直线的解析式为，把代入得：，解得：，∴直线的解析式为，∴，∴，∴，∴．45．【详解】（1）解：由可知：自变量为全体实数；故答案为全体实数；（2）解：①当时，则有；当时，则有；故答案为，；②所描点，如图所示；③所作函数图象如图所示：（3）解：由（2）中函数图象可知：当y随x的增大而增大时，x的取值范围为或；故答案为或；（4）解：∵点，均在该函数图象上，且，∴根据（2）中函数图象可知：点A、B在之间的函数图象上，由图象可知在之间的函数图象开口向下，对称轴为直线，∴根据开口向下，离对称轴越近，其对应的函数值也就越大，∴当时，p与q的大小关系是；故答案为．46．【详解】（1）解：由题意得，列表0163236描点、连线，函数图像如图所示：观察图像得：图像关于直线对称．②处的空格为直线；（2）解：∵图像是任意两点，，∴，，∴，∵，∴，，∴，即，∴当时，y随x的增大而减小；（3）证明：任取一个点的横坐标，对应点的坐标为，∴，而时，，∴点和关于直线对称，∴的图像关于直线对称．47．【详解】（1）解：∵抛物线的顶点是点，∴点P的坐标为，∵抛物线的共生抛物线的顶点是，∴，且抛物线的二次项系数为，∴抛物线的解析式为；（2）解：∵抛物线的解析式为，且，∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，∴当，的函数值随着x的增大而减小；∵抛物线的解析式为，且，∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，∴当，的函数值随着x的增大而减小；综上所述，当时，抛物线与的函数值都随的增大而减小；（3）解：①如图所示，当直线恰好经过点P时，则，当直线恰好经过点Q时，则，由函数图象可知，当时，直线与抛物线分别有两个不同的交点；②如图所示，当点P为直角顶点时，过点P作轴，过点K作，过点Q作，∴，由题意得，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，在中，当时，，∴点在抛物线上，此时符合题意；如图所示，当点Q为直角顶点时，同理可得，在中，当时，，∴点不在抛物线上，此时不符合题意；综上所述，点K的坐标为．48．A49．B50．

分层作业26.2.2y=a(x-h)²+k的图象性质目录A组巩固过关 题型01y=ax²+k的函数图象题型02y=a(x-h)²的图象和性质题型03y=a(x-h)²+k的图象和性质 题型04待定系数法求解析式题型05二次函数的图象平移问题题型06与顶点式相关的字母参数讨论题型07二次函数的最值问题B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接中考 题型01y=ax²+k的图象和性质题型011．（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）下列关于二次函数的图象性质说法不正确的是（

）A．因为，所以抛物线开口向上 B．当时，函数有最大值1C．当时，函数随的增大而增大 D．抛物线的顶点坐标是【答案】B【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；根据二次函数性质，时开口向上，顶点为最小值点；对称轴为直线，当时函数递增；顶点坐标可直接由解析式得出，然后问题可求解．【详解】解：∵二次函数，，∴抛物线开口向上，A正确；当时，，因为，顶点为最小值点，故B错误；对称轴为直线，，当时，y随x增大而增大，C正确；顶点坐标为，D正确；故选B．2．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）若抛物线的图象不经过三四象限，下列说法正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查二次函数的图象性质，根据抛物线不经过三四象限的条件，分析开口方向与顶点位置，即可确定、的取值范围．【详解】解：∵抛物线的图象不经过第三、四象限，∴抛物线开口向上，且顶点在轴非负半轴上，即，，故选：D．3．（2026·吉林·模拟预测）若点、是函数上的两点，若且，则________．（填“”、“”或“”）【答案】【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据已知条件判断点A和点B到对称轴的距离大小，根据二次函数的性质比较和的大小．【详解】解：对于二次函数，，抛物线开口向上，对称轴为轴（即直线），开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，点到轴的距离为横坐标的绝对值，因此比较与的大小，，，，当时，，可得，即；当时，，可得，即，综上可得，即点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，又抛物线开口向上，故．4．确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标；(2)抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标；(3)抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标；(4)抛物线的开口向下，对称轴为直线（轴），顶点坐标；(5)抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标；(6)抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标．【分析】将抛物线解析式化为顶点式即可解答．【详解】（1）解：，且，则抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为；（2）解：，且，则抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为；（3）解：，且，则抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为；（4）解：，且，则抛物线的开口向下，对称轴为直线（轴），顶点坐标为；（5）解：，且，则抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为；（6）解：，且，则抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为．5．在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数与的图象，并说明这两个函数图象性质的相同点与不同点（从开口方向、开口大小、对称轴、顶点、增减性这5个方面进行说明）．【答案】图见解析，相同点：①开口大小相同；②对称轴都是y轴．不同点：①开口方向不同，函数的图象开口向上，函数的图象开口向下；②增减性不同，当时，随x的增大而增大，随x的增大而减小，当时，随x的增大而减小，函数随x的增大而增大；③顶点不同，函数的图象的顶点坐标为，函数的图象的顶点坐标为【分析】本题考查二次函数的图像和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次函数的图像可得二次函数的性质，进行分析比较即可．【详解】解：画出这两个函数的图象如图所示．相同点：①开口大小相同；②对称轴都是y轴．不同点：①开口方向不同，函数的图象开口向上，函数的图象开口向下；②增减性不同，当时，随x的增大而增大，随x的增大而减小，当时，随x的增大而减小，函数随x的增大而增大；③顶点不同，函数的图象的顶点坐标为，函数的图象的顶点坐标为题型02y=a(x-h)²的图象和性质

6．（25-26九年级上·上海·阶段检测）抛物线的顶点在（

）题型02A．轴上 B．轴上 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】本题考查二次函数的顶点式，根据顶点式直接写出顶点坐标，判断其位置．【详解】解：顶点坐标为，在轴上，故选：A．7．（25-26九年级上·福建南平·阶段检测）关于抛物线，下列说法错误的是（

）A．开口向上B．当时，随的增大而减小C．当时，函数值最小D．将抛物线向左平移1个单位长度得到【答案】B【分析】本题考查了二次函数的性质．抛物线的二次项系数为正，开口向上，顶点为是最小值点；向左平移1个单位得；当时，随增大而增大．【详解】解：∵中，∴开口向上，A正确；∵∴顶点坐标为，∴当时，取最小值，C正确；将抛物线向左平移1个单位，替换为，得，D正确；当时，，且随增大而增大，随增大而增大，故B错误．故选：B．8．（25-26九年级上·河南许昌·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（

）A．B．C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明确二次函数的顶点坐标及开口方向．根据二次函数的性质，由二次函数得到其顶点坐标与开口方向；然后根据顶点坐标与开口方向，判定出函数图象即可．【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为，∴二次函数图象的顶点在轴负半轴上，又∵，∴开口向上．故选：D．9．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）若，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是________（请按从小到大的顺序排列）．【答案】【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．通过计算二次函数在各点的函数值，比较，，的大小．【详解】解：对于点，，对于点，，对于点，，∴．故答案为：．10．（25-26九年级上·北京·阶段检测）已知，设函数．直线与函数，的图象分别交于点．若，则的取值范围是___________【答案】【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，按照题意，画出满足题意的图象，根据直线与二次函数图象的交点进行判断即可．【详解】解：函数图象的对称轴分别为直线：，，，联立与，，解得，即与的交点的横坐标为，同理可得，与的交点的横坐标为2，如图，由图可知，当时，，故答案为：．题型03y=a(x-h)²+k的图象和性质题型0311．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线；③顶点坐标为；④当时，随的增大而减小．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】本题考查二次函数图象与性质，根据二次函数顶点式的性质，确定开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性即可．【详解】解：∵抛物线为，∴，，.①∵，∴开口向下，正确；②对称轴为直线，正确；③顶点坐标为，即，正确；④∵，开口向下，∴当时，随增大而减小，正确.∴所有结论均正确，共4个.故选：D．12．（2026·西藏拉萨·模拟预测）对于抛物线，下列说法正确的是（

）A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，随的增大而减小【答案】B【分析】根据顶点式的特点，分别判断开口方向、顶点坐标、对称轴和增减性即可．【详解】解：∵抛物线解析式为，∴，∴抛物线开口向上，故错误；顶点坐标为，故正确；对称轴为直线，故错误；∵抛物线开口向上，对称轴为直线，∴当时，随的增大而增大，故错误．13．现有一组抛物线：，…，则这组抛物线的顶点都在（

）A．直线上 B．直线上C．抛物线上 D．抛物线上【答案】A【分析】本题考查了二次函数的顶点及一次函数的性质，设这组抛物线的顶点为，再代入各个选项一一判断即可．【详解】解：由题意可设这组抛物线的顶点为，A、将代入中，得，顶点在直线上，本选项符合题意；B、将代入中，得，顶点不在直线上，本选项不符合题意；C、将代入中，得，顶点不在抛物线上，本选项不符合题意；D、将代入中，得，顶点不在抛物线上，本选项不符合题意；故选：A14．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知二次函数（为常数），若点，，都在该函数的图象上，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据解析式可得函数图象的开口方向向下和对称轴，则可得到离对称轴越远，函数值越小，求出三个点到对称轴的距离，比较即可得到答案．【详解】解：∵二次函数解析式为，∴该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，∴离对称轴越远，函数值越小，∵，∴．题型04题型0415．（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）抛物线与抛物线的开口方向和开口大小相同，则__．【答案】2【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握抛物线的开口方向和开口大小由的值决定是解题的关键．根据二次函数的性质，开口方向由二次项系数的正负决定，开口大小由二次项系数的绝对值决定．由于两抛物线开口方向和大小相同，故二次项系数相等．【详解】解：∵抛物线与抛物线的开口方向和开口大小相同，∴．故答案为：2．16．（25-26九年级上·云南昭通·阶段检测）已知抛物线的对称轴为直线，且过点，求抛物线的解析式．【答案】【分析】本题考查了二次函数的性质，求二次函数的解析式，根据抛物线的对称轴为直线，得，再把代入进行计算，即可作答．【详解】解：抛物线的对称轴是直线，，抛物线解析式为，抛物线经过，，解得，抛物线解析式为．17．（25-26九年级上·天津河西·阶段检测）已知抛物线经过点，解答下列问题：(1)求此抛物线的解析式；(2)填空：①此抛物线的开口；顶点坐标是；对称轴是；②当x时，y随x的增大而减小；③当x时，函数有最值为；【答案】(1)此抛物线的解析式为(2)①向上；；；②；③，小，【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式及二次函数图像和性质，掌握这些知识是解题的关键；（1）根据待定系数法求解即可；（2）根据二次函数图像和性质即可得出．【详解】（1）解：把代入解析式得：，解得，∴此抛物线的解析式为：；（2）①∵，∴所以此抛物线开口向上；∵顶点为，对称轴为，∴此抛物线顶点坐标是；对称轴是；②∵此抛物线开口向上，对称轴是，∴当时，y随x的增大而减小；③∵，顶点坐标是，∴当时，函数有最小值为；故答案为：①向上；；；②；③，小，．18．（25-26九年级下·广东深圳·开学考试）按每小题的要求写出下列抛物线对应的解析式．(1)抛物线的顶点为，与轴的交点是；顶点式：___________；(2)抛物线与轴交于点，，且经过点；一般式：___________；(3)与抛物线形状相同，开口方向相反，顶点坐标是的抛物线；顶点式：___________；(4)将抛物线先绕原点旋转，再向下平移5个单位长度得到的新抛物线；顶点式：___________；(5)将抛物线先向下平移2个单位长度，再沿直线翻折后的抛物线．一般式：___________．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【分析】（1）设抛物线的顶点式为，再代入计算即可得出结果；（2）设抛物线的解析式为，再代入计算即可得出结果；（3）由题意可得所求抛物线，再结合顶点式的特征即可得出结果；（4）先将原抛物线解析式化为顶点式，再由旋转的性质得到旋转后的抛物线的解析式为，再由平移的性质即可得出结果；（5）由平移的性质得出平移后抛物线的解析式为，再由折叠的性质得出抛物线沿直线翻折后的顶点坐标为，开口方向相反，即可得出结果．【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为，∴设抛物线的顶点式为，∵抛物线与轴的交点是，∴，解得：，∴；（2）解：∵抛物线与轴交于点，，∴设抛物线的解析式为，∵抛物线过点，∴，∴，∴；（3）解：∵所求抛物线与抛物线形状相同，开口方向相反，∴所求抛物线，∵所求抛物线顶点坐标是，∴；（4）解：∵，∴将抛物线先绕原点旋转，得到的抛物线的解析式为，∴再向下平移5个单位长度得到的新抛物线为；（5）解：将抛物线先向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为，∵抛物线的顶点坐标为，∴抛物线沿直线翻折后的顶点坐标为，开口方向相反，∴翻折后的抛物线的解析式为．19．（25-26九年级上·宁夏中卫·期末）如图，抛物线与轴交于两点，其中点的坐标为，与轴交于点，点在抛物线上．(1)求抛物线的表达式；(2)求抛物线的对称轴和顶点坐标．【答案】(1)(2)顶点为，对称轴为直线【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是正确求出函数解析式．（1）由待定系数法，将、代入抛物线表达式解方程组即可得到答案；（2）先将一般式化为顶点式，即可求解对称轴和顶点坐标．【详解】（1）解：抛物线过、，，解得，∴抛物线的表达式为；（2）解：，∴顶点为，对称轴为直线．题型05二次函数的图象题型0520．（2026·山西朔州·模拟预测）将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先将原抛物线解析式化为顶点式，得到原顶点坐标，再根据平移规则得到平移后的顶点坐标，最后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式即可，二次函数平移后二次项系数不变．【详解】解：∵，∴原抛物线的顶点坐标为，∵将顶点向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，∴平移后顶点的横坐标为，纵坐标为，即新顶点坐标为，∵抛物线平移后二次项系数不变，∴平移后抛物线的解析式为．21．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移6个单位后所得到的抛物线的顶点坐标是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题利用二次函数图像平移的“左加右减，上加下减”法则，先得到平移后的抛物线解析式，再求出顶点坐标即可．【详解】解：∵原抛物线解析式为，根据平移法则，向左平移2个单位，再向上平移6个单位，∴新抛物线解析式为，整理得，∴平移后抛物线的顶点坐标为．22．将抛物线向下平移1个单位，再向右平移4个单位，求所得抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．【答案】开口方向向下，对称轴为直线，顶点坐标为【分析】本题先将原抛物线配方化为顶点式，再利用抛物线平移的规律“左加右减自变量，上加下减常数项”得到平移后抛物线的顶点式，根据二次项系数判断开口方向，从顶点式直接得到对称轴和顶点坐标．【详解】解：先将原抛物线配方化为顶点式：抛物线平移不改变二次项系数，因此平移后二次项系数仍为，开口方向向下．根据平移规则，向下平移1个单位，再向右平移4个单位后，顶点坐标变化为：横坐标，纵坐标，即新顶点坐标为．平移后抛物线的顶点式为，可得对称轴为直线．因此所得抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为．题型06题型0623．（2023·浙江台州·模拟预测）已知二次函数经过点，若，则下列说法正确的为（

）A．当时， B．当时，C．当时， D．当时，【答案】D【分析】根据解析式可得对称轴，当时，函数图象开口向上，离对称轴越远，函数值越大，当时，函数图象开口向下，离对称轴越远，函数值越小，据此根据讨论求解即可．【详解】解：∵二次函数的解析式为，∴对称轴为直线，当时，则函数图象开口向上，∴离对称轴越远，函数值越大，∵二次函数经过点，，∴，∴，∴，解得；当时，则函数图象开口向下，∴离对称轴越远，函数值越小，∵二次函数经过点，，∴，∴，∴，解得．24．（25-26九年级下·广西南宁·阶段检测）若函数的图象上有三个不同的点，，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用二次函数图象上纵坐标相等的两点关于对称轴对称的性质，求出点的横坐标，再代入函数解析式计算即可．【详解】解：二次函数的对称轴为直线，点和纵坐标相同，、两点关于抛物线对称轴对称，可得，即，点的横坐标为，将代入函数解析式得：．25．（25-26九年级下·河北沧州·阶段检测）定义：我们将图象的顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形中，点，点，则互异二次函数的图象与正方形有交点时，m的最大值和最小值分别是（

）A．4， B．， C．4，0 D．，【答案】D【分析】由题意可得，互异二次函数的顶点为在直线上运动，结合正方形的性质可得，从图象可以看出，当函数图象从左上向右下运动时，若抛物线与正方形有交点，先经过点，再逐渐经过点，点，点，最后在经过点，且在运动的过程中，两次经过点，两次经过点、点和点，故只需要算出当函数经过点以及点时的值，即可求出的最大值及最小值．【详解】解：如图：由题意可得，互异二次函数的顶点为在直线上运动，∵在正方形中，点，点，∴，从图象可以看出，当函数图象从左上向右下运动时，若抛物线与正方形有交点，先经过点，再逐渐经过点，点，点，最后在经过点，且在运动的过程中，两次经过点，两次经过点、点和点，∴只需要算出当函数经过点以及点时的值，即可求出的最大值及最小值，当互异二次函数经过点时，，解得或，当互异二次函数经过点时，，解得：或，∴互异二次函数的图象与正方形有交点时，m的最大值和最小值分别是，．26．（25-26九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数（m，n为常数）的图象经过点．(1)将该函数图象向右平移4个单位后仍过点A，则______；(2)当时，求n的取值范围；(3)当时，函数的最大值为M，则下列结论中正确的是______．A．M随m的增大而增大B．M随m的增大而减小C．M随m的增大先增大后减小D．M随m的增大先减小后增大【答案】(1)1(2)(3)A【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的最值，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．（1）根据题意，得出关于m的方程，据此进行求解即可；（2）根据题意，结合m的范围进行计算即可求n的取值范围；（3）对m的取值范围进行分类讨论，据此进行判断即可．【详解】（1）解：将二次函数的图象向右平移4个单位后得到函数，点平移后对应点的坐标为，新图象对称轴是直线，顶点坐标是；，，故答案为：1；（2）当时，时，，将代入，，，时，，将代入，，，n的取值范围为；（3）解：因为函数的对称轴为直线且开口向上，所以当时，函数的最大值为离对称轴较远点的坐标．当时，；当时，，又因为，所以当时，，则随的增大而增大；当时，，所以随的增大而增大，所以A选项符合题意．故答案为：A．27．（25-26九年级上·河南信阳·阶段检测）已知二次函数(1)若该函数的图象经过点求二次函数的解析式；(2)若点和是该函数图象上的两个点①当时，求m的取值范围；②若M、N两点分别在对称轴的两侧，当时，该函数最大值与最小值差为1，请直接写出a的取值范围____________．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）将点代入，用待定系数法求解即可；（2）①将和代入得，由得：，再求解即可；②因为点和在对称轴的两侧，所以：，解得．在上，函数在处取得最小值．最大值与最小值之差为1，所以最大值为0，且最大值在端点或处取得．再分类讨论求解即可．【详解】（1）解：将点代入得：解得，所以二次函数解析式为；（2）解：①点和在图象上，则：，由得：，两边消去并除以正数得：，展开得，化简得：，，，所以的取值范围是；②因为点和在对称轴的两侧，所以：，解得．在上，函数在处取得最小值．最大值与最小值之差为1，所以最大值为0，且最大值在端点或处取得．情况一：当时取得最大值0则：，解得．同时，当时函数值不超过0：，代入得：，因为，两边乘以得：展开化简得，即．结合，得．此时，当从增大到时，从增大到（因为且可取），所以．情况二：当时取得最大值0则：，解得．同时，当时函数值不超过0：，代入得：，因为，两边乘以得：，展开化简得，即．结合，得．此时，当从增大到2时，从减小到（因为且可取），所以．综合两种情况，的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象、二次函数的性质、二次函数最值等知识点，熟练掌握分类讨论是解答本题的关键．33．（2025九年级上·江苏无锡·专题练习）若二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据二次函数的开口方向与对称轴，结合增减性确定对称轴的位置．先判断二次函数的开口方向，确定其增减性与对称轴的关系；再根据“时随增大而减小”的条件，得出对称轴与的位置关系，进而求出的取值范围．【详解】解：二次函数，其二次项系数，故抛物线开口向上．∵开口向上的二次函数，在对称轴左侧随的增大而减小，且该函数的对称轴为，又∵当时，随的增大而减小，∴对称轴需满足．故选：C．34．（2026·江苏南京·三模）若二次函数(为常数)的图像与轴有两个不同的交点，则该函数图像的顶点在(

)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】先根据二次函数顶点式确定顶点坐标，再利用判别式求出的取值范围，最后根据坐标符号判断顶点所在象限．【详解】解：∵二次函数解析式为顶点式，∴函数顶点坐标为．∵二次函数图像与轴有两个不同交点，将解析式展开得，∴判别式，解得．∵，∴，顶点横坐标为正，纵坐标为负，∴顶点坐标在第四象限．35．（2026·吉林长春·模拟预测）已知、是抛物线上的两点．若且，则________．（填“”、“”或“”）【答案】【分析】根据点在抛物线上得到与的表达式，对和作差，结合已知条件和判断差的符号，即可比较和的大小．【详解】解：∵，是抛物线上的两点，∴，，∴，∵，∴，又∵，∴，即，∴．故答案为：．36．（25-26九年级上·贵州黔西南·期中）如图所示，已知抛物线．(1)在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）；(2)该抛物线可由抛物线向___________平移___________个单位得到；(3)当时，的取值范围是___________．【答案】(1)见解析(2)上；4(3)【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，函数图象平移的规律，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．（1）根据题意可知，该抛物线开口向下，顶点坐标为，经过点，，，，即可画出大致图象；（2）根据抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移，进行求解即可；（3）根据函数解析式可得抛物线开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为，则离对称轴越远，函数值越小，据此可确定时，函数有最小值，求出函数的最小值即可得到答案．【详解】（1）解：∵抛物线线解析式为，该抛物线的顶点坐标为，开口向下，令，则，即该抛物线经过点和点，令，则，即该抛物线经过点和，∴此抛物线的大致图象如下图所示：（2）解：抛物线可由抛物线向上平移4个单位可得到．故答案为：上，4．（3）解：∵抛物解析式为，∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为，∴离对称轴越远，函数值越小，∵，∴当，且时，函数有最小值，最小值为，又∵顶点坐标为，即当时，函数有最大值，最大值为4，∴当时，．37．（25-26九年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，抛物线的顶点为，且与轴交于点．(1)求，两点的坐标；(2)若点为点关于对称轴对称的点，点在抛物线上且在第一象限内，且，求点的坐标．【答案】(1)，(2)【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质：（1）根据二次函数的性质解答即可；（2）设点的坐标为，根据抛物线的对称性可求出点的坐标，再由，即可求解．【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为，∴点，当时，，∴点；（2）设点的坐标为，∵，∴抛物线的对称轴为直线，∵点为点关于对称轴对称的点，点，∴点，∴，∵，∴，即，解得：，∵点在抛物线上，将代入抛物线得，，解得：，∵在第一象限内，∴，∴点的坐标为．38．（2026·广东深圳·三模）当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线．如果抛物线与抛物线是关于轴的对称曲线，则的值为（

）A．3 B．0 C．1 D．2【答案】D【分析】根据二次函数的性质与图象的轴对称变换，得出两条关于轴对称的抛物线开口大小方向一致，顶点关于轴对称，先求出的顶点坐标，再得到对称顶点，对应得到和的值，即可计算出结果【详解】解：抛物线与抛物线是关于轴的对称曲线，二者开口大小方向一致，顶点坐标关于轴对称，对配方得，的顶点坐标为，点关于轴对称的点的坐标为，即的顶点坐标为，又的顶点式为，其顶点坐标为，，，39．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）当时，二次函数的最大值是5，则的值为______．【答案】2或【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．根据二次函数的性质，由于二次项系数为负，函数图象开口向下，最大值可能出现在顶点或区间端点，需结合对称轴位置与的关系分类讨论．【详解】函数的图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，最大值在顶点处，则，解得或（舍去），；当时，在时，随的增大而减小，最大值在处取得，即，解得，且，符合条件；当时，在时，随的增大而增大，最大值在处取得，即，解得，但，不符合，故舍去；因此的值为或．40．（25-26九年级上·浙江温州·自主招生）定义，已知函数，其中，若的最小值为1，则_________．【答案】1【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数综合设，，可证明当时，，则当时，的值一定要大于或等于1，再根据二次函数的增减性推出，结合的最小值为1确定，据此可得答案．【详解】解：设，，当时，，当时，，∴当，随x增大而减小，当时，随x增大而增大；当时，，当时，，∴当时，；∵，∴的图像开口向下，∴当时，函数有最大值，最大值为b；∵的最小值为1，∴当时，的值一定要大于或等于1，∵函数开口向下，对称轴为y轴，∴当时，的值随x的增大而减小，∴当时，，且，又∵的最小值为1，且当或时，，∴，即，故答案为：．41．（2025·上海·一模）如果抛物线的顶点在抛物线上时，抛物线的顶点也在抛物线上，此时我们称抛物线与是“互为关联”的抛物线，那么与抛物线是“互为关联”且顶点不同的抛物线的表达式可以是______（只需写出一个）．【答案】（答案不唯一）【分析】本题考查求二次函数的解析式，根据“互为关联”的定义，需找到另一抛物线，其顶点在给定抛物线上，且给定抛物线的顶点也在该抛物线上，通过设另一抛物线的顶点坐标，代入条件求解即可．【详解】解：给定抛物线的顶点为，设另一抛物线方程为，则顶点坐标为，根据题意，，将点代入得，即，将代入得，整理得，由于顶点不同，则，故，即，取，则，故另一抛物线可以为，即．故答案为：（答案不唯一）．42．已知点在抛物线上，且点P在第一象限内．(1)求m的值；(2)过点P作轴交抛物线于点Q，若，试求点P，Q与原点O围成的三角形的面积．【答案】(1)2(2)3【分析】本题考查了点与抛物线的关系，抛物线的对称性及三角形面积公式．（1）先代入点P的坐标到抛物线中，根据点P在第一象限内即可求得m的值；（2）先确定抛物线的解析式，再求出点P和点Q的坐标，得出的值，最后利用三角形面积公式即可求出其面积．【详解】（1）解：∵点在抛物线上，且在第一象限，∴，∴可得，解得或，∴．（2）解：∵，∴，抛物线的解析式为，∵轴，∴点Q的纵坐标为3，将代入，得，解得或，∴点Q的坐标为，∴，∴．43．（25-26九年级上·河南信阳·阶段检测）根据背景素材，探索解决实际问题素材一乒乓球发球机的运动路线如图1所示，乒乓球台规格约是长为，宽为的矩形，球网高度约为．某品牌乒乓球发球机的出球口在桌面中轴线端点O正上方的点P处．素材二如图2所示，假设每次发出的乒乓球都落在中轴线上的点M处，且球的运动路线是一条形状不变的抛物线，以O为原点，桌面中轴线所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设发球机发球后到落在桌面前的抛物线解析式为．素材三如图3所示，若乒乓球落在中轴线点M处后反弹，其运动路线仍是抛物线．当球与O点的水平距离为时，球的高度为；当球与O点的水平距离为时，达到最高点，此时球与桌面的距离是．问题解决任务一：研究乒乓球着落点问题（1）点M的坐标为__________；任务二：研究乒乓球反弹后的最大高度（2）求h的值；任务三：研究乒乓球是否出界问题（3）某运动员想在乒乓球反弹到最高点时挥拍击球，使得球沿直线擦网而过，此时球能落到对方台面上吗？若能，请求出球落点的坐标；若不能实现，请说明理由．【答案】（1）（2）的值为（3）球能落到对方台面上，落球点为【分析】本题考查二次函数的实际应用与一次函数的解析式，理解题意把函数问题转化为方程问题是解题关键．（1）将代入解析式进行计算即可；（2）利用待定系数法求出反弹后的抛物线解析式，求出顶点坐标，h就是顶点的纵坐标；（3）根据（2）中求得的顶点坐标和擦网点的坐标计算出直线的解析式，进而算出球着落点的坐标，并判断是否出界．【详解】解：（1）将代入，得，，解得，（负值舍去），∴；（2）设反弹后抛物线解析式为，由题意可知，反弹后的抛物线过点，，将，代入解析式，得，，解得，，∴，顶点坐标为，∴；（3）能．理由如下：由题意可知，反弹后最高点为，球擦网点为，设过这两点的直线解析式为，依题意得，，解得，，∴

，令，得，解得，，∴球能落到对方台面上，落球点为．44．（2026·山东德州·二模）已知抛物线（a，b，c为常数，，）的顶点为P，与y轴交于点C，O为坐标原点．(1)当，，时，则该抛物线顶点P的坐标为________；(2)若．①M是抛物线上第一象限内一点，设，，且，求c的值；②若抛物线与x轴的一个交点坐标为，点D在抛物线的对称轴上，当的最小值为时，求a的值．【答案】(1)(2)①1；1【分析】（1）将，，代入，把抛物线化为顶点式即可；（2）①过M点作轴于点N，过P点作轴于点E，先证，进而得到，再代入抛物线求解；②过点P作直线与直线成角，与抛物线的交点为G，交y轴于点H，过点D作，垂足为Q，连接．由，可知当C，D，Q三点共线，且时，取得最小值，即取得最小值，过点P作直线与直线成角，过点C作交x轴于F，解直角三角形得到F点坐标为，可求出直线的解析式为，再求出直线的解析式为，然后根据进行求解．【详解】（1）解：∵，，，，∴，∴该抛物线顶点P的坐标为；（2）解：①如图1，过M点作轴于点N，过P点作轴于点E．∵，∴，∴，∴抛物线的对称轴为直线，∵，∴，∴∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴P点坐标为，∵P为抛物线的顶点，∴P点坐标为，∴，∴M点坐标为，将，代入，得：，解得：，∴c的值为1；②∵，∴当取得最小值时，的值最小．由①知，抛物线的对称轴为直线，∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，∴抛物线的解析式为，∴C点坐标为，顶点P坐标为，∵，∴，如图2，过点P作直线与直线成角，与抛物线的交点为G，交y轴于点H，过点D作，垂足为Q，连接．在中，，∴，∴当C，D，Q三点共线，且时，取得最小值，即取得最小值，在中，，∴，即，过点C作交x轴于F，∴，在中，，即，∴，即F点坐标为，设直线的解析式为，∴，∴，∴直线的解析式为，∵，∴设直线的解析式为，把代入得：，解得：，∴直线的解析式为，∴，∴，∴，∴．45．（25-26九年级上·甘肃庆阳·期中）九年级某班成立了数学学习兴趣小组，该数学兴趣小组对函数的图象和性质进行探究，过程如下，请你补充完整．(1)函数的自变量x的取值范围是____________；(2)①列表：如表是x，y的几组对应值，其中____________，____________；x…01234…y…90m3n09…②描点：根据表中的数值描点，请补充描出点，；③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整；(3)请观察函数图象，当y随x的增大而增大时，x的取值范围为____________．(4)若点，均在该函数图象上，且，则p与q的大小关系是____________．【答案】(1)全体实数(2)①，；②图象见详解；③图象见详解(3)或(4)【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；（1）根据函数解析式可直接进行求解；（2）把或代入函数解析式进行求解即可；②根据描点可进行作图；③根据描点、连线可进行作图；（3）根据函数图象可直接进行求解；（4）由图象易得点A、B在之间的函数图象上，然后根据二次函数的性质可进行求解．【详解】（1）解：由可知：自变量为全体实数；故答案为全体实数；（2）解：①当时，则有；当时，则有；故答案为，；②所描点，如图所示；③所作函数图象如图所示：（3）解：由（2）中函数图象可知：当y随x的增大而增大时，x的取值范围为或；故答案为或；（4）解：∵点，均在该函数图象上，且，∴根据（2）中函数图象可知：点A、B在之间的函数图象上，由图象可知在之间的函数图象开口向下，对称轴为直线，∴根据开口向下，离对称轴越近，其对应的函数值也就越大，∴当时，p与q的大小关系是；故答案为．46．（25-26九年级上·江苏南京·期末）课本内容再探索（一）课本中研究了二次函数的图像与性质，将其整理并增加推理论证（不完整）如下：函数图像图像特征与函数性质推理论证①函数的最大（小）值当时，y有最小值，最小值为2．∵（当且仅当时，