44　第五章　第41课时　平面向量的数量积及其应用

第五章平面向量、复数第41课时平面向量的数量积及其应用[考试要求]

1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．5．会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题．理法先行·题练固本

|a||b|cos

θ|a||b|cos

θ

知识点3

平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．[常用结论]1．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2．2．有关向量夹角的两个结论两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线．

2．(人教A版必修第二册P35例11改编)设a＝(5，－7)，b＝(－6，－4)，a，b的夹角为θ，则cos

θ＝______________．

3．(苏教版必修第二册P47复习题T12改编)已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b不共线，若(a＋kb)⊥(a－kb)，则实数k＝________．

4．(北师大版必修第二册P113练习T2(2))已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，则(2a－b)·(a＋3b)＝______________．

84

考点深研·题型突破

√

√6

思维建模：1．基底法求数量积模型第1步

选基底：选择两个已知夹角的向量作为基底；第2步

分解：用基底表示向量；第3步

计算：根据数量积的运算性质计算．2．直角建系模型(几何图形中向量相关计算)第1步

建系：利用垂直关系建系；第2步

写坐标：根据条件求出各点或向量的坐标；第3步

计算：利用坐标计算求值．【教用·通性通法】计算平面向量数量积的主要方法(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)利用坐标运算：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2．(3)利用基底法求数量积．(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义．【教用·备选题】1．(2025·八省联考)已知向量a＝(0，1)，b＝(1，0)，则a·(a－b)＝(

)A．2

B．1C．0

D．－1√B

[由题意知，a－b＝(－1，1)，所以a·(a－b)＝(0，1)·(－1，1)＝1．故选B．]

－15

√(2)已知向量a＝(3－m，3)，b＝(2，m＋4)，若|a－3b|＝|a＋3b|，则实数m＝(

)A．3

B．6C．－6

D．－18√

(2)因为|a－3b|＝|a＋3b|，所以两边同时平方可得a2－6a·b＋9b2＝a2＋6a·b＋9b2，所以a·b＝0，因为a＝(3－m，3)，b＝(2，m＋4)，所以a·b＝2(3－m)＋3(m＋4)＝m＋18＝0，解得m＝－18．故选D．]

√

√

考向3

向量的垂直[典例4]

(2025·全国二卷)已知平面向量a＝(x，1)，b＝(x－1，2x)，若a⊥(a－b)，则|a|＝______________．

[考题探源]1．(人教A版必修第二册P60复习参考题6T8)已知向量a＝(1，0)，b＝(1，1)．当λ为何值时，a＋λb与a垂直？[解]

因为a＝(1，0)，b＝(1，1)，所以a＋λb＝(1＋λ，λ)，因为(a＋λb)⊥a，所以(a＋λb)·a＝1＋λ＝0，解得λ＝－1．2．(湘教版必修第二册P40习题1.5T8)已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，求实数λ的值．[解]

因为m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，所以m＋n＝(2λ＋3，3)，m－n＝(－1，－1)，因为(m＋n)⊥(m－n)，所以(m＋n)·(m－n)＝－(2λ＋3)－3＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3．【教用·备选题】1．(2023·新高考Ⅰ卷)已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则(

)A．λ＋μ＝1

B．λ＋μ＝－1C．λμ＝1

D．λμ＝－1√D

[因为a＝(1，1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)，因为(a＋λb)⊥(a＋μb)，所以(a＋λb)·(a＋μb)＝0，所以(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1．故选D．]

√

√

√

√

√√√

5．(链接考向1)(2025·鹤壁二模)已知向量a，b的夹角为锐角，且满足|a|＝|b|＝1，c＝a＋2b，则向量c的模的取值范围是______________．

题号135246879101112√

课时作业(四十一)平面向量的数量积及其应用题号135246879101112

√2．(2025·重庆期中)已知向量a＝(1，－1)，b＝(－2，3)，c＝(1，1)，则(a＋b)·c＝(

)A．1

B．0C．－1

D．－2题号135246879101112A

[∵向量a＝(1，－1)，b＝(－2，3)，c＝(1，1)，∴a＋b＝(－1，2)，∴(a＋b)·c＝(－1，2)·(1，1)＝－1×1＋2×1＝1．故选A．]题号135246879101112√

题号135246879101112

√

题号135246879101112

√

题号135246879101112

题号135246879101112√

题号135246879101112

题号135246879101112

题号135246879101112√

题号135246879101112√√

题号135246879101112

题号135246879101112√

题号135246879101112√√

题号135246879101112

题号135246879101112√

题号135246879101112√

题号135246879101112

题号13524687910111211

题号13524687910111211．(人教A版必修第二册P23习题6.2T11改编)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝