46　第五章　第43课时　复数

第五章平面向量、复数第43课时复数[考试要求]

1．通过方程的解，认识复数．2．理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义．3．掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．理法先行·题练固本知识点1

复数的有关概念(1)复数的定义形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，通常用字母z表示，记作z＝a＋bi(a，b∈R)，其中i是虚数单位，实部是__，虚部是___．ab

a＝c且b＝da＝c且b＝－d

|z||a＋bi|

Z(a，b)

(a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)i(ac－bd)＋(ad＋bc)i

1．(人教A版必修第二册P69例1)若复数z＝m＋1＋(m－1)i为纯虚数，则实数m＝______________．

－1

－2＋i

√

4．(北师大版必修第二册P183例5)计算：(－2－i)(3＋i)＝______________．

－5－5i

[(－2－i)(3＋i)＝－2×3－2×i－3×i－i×i＝－6－2i－3i－i2＝－6－2i－3i＋1＝－5－5i．]－5－5i

1

考点深研·题型突破

√√√

2．本例选项B中，复数i(1＋i)的共轭复数为______________．

－1－i

[i(1＋i)＝－1＋i，故其共轭复数为－1－i．]－1－i3．本例选项B中，复数z＝i(1＋i)的模为______________．

易错提醒：求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b．【教用·通性通法】解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．

√√

√

通性通法：(1)复数的乘法类似于多项式的乘法运算；(2)复数的除法关键是分子分母同乘分母的共轭复数．

√

2i

√√

通性通法：由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．[多维变迁]1．(多选)(2025·玉林期中)已知复平面内的四个点A，B，C，D构成平行四边形的四个顶点，顶点A，B，C分别对应复数－5－2i，－4＋5i，2，则点D对应的复数可以是(

)A．1－7i

B．3＋7iC．－7－3i

D．－11＋3i√√√

2．(2025·抚顺期末)已知复数z满足|z＋2－2i|＝1，则|z－3－2i|的最小值为

______________．

4

[|z＋2－2i|＝1，复数z对应的点的轨迹是以C(－2，2)为圆心，半径r＝1的圆，而|z－3－2i|＝|z－(3＋2i)|的几何意义是复数z对应的点与点A(3，2)的距离．又|AC|＝5，点A(3，2)在圆C外，所以|z－3－2i|的最小值为|AC|－r＝5－1＝4．]4

(2)辐角的主值：根据辐角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍．我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg

z．注意：因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角是任意的．

√√

1．(链接考点一)(2025·漳州期末)已知z＝i3·(2＋i)，则z的实部为(

)A．1

B．－2C．2i

D．－2i√A

[由z＝i3·(2＋i)＝－i·(2＋i)＝1－2i，得z的实部为1．故选A．]2．(链接考点一)(2025·萍乡市期末)若复数(a2－3a＋2)＋(a2－4a＋3)i是纯虚数，则实数a的值为(

)A．1或3

B．1或2C．1

D．2√

√

4．(链接考点三)(2025·长治月考)已知复数(1＋2i)－m(3－i)在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m的取值范围是

______________．

(－∞，－2)

题号135246879101112√一、单项选择题1．(2025·全国一卷)(1＋5i)i的虚部为(

)A．－1

B．0C．1

D．6课时作业(四十三)复数C

[(1＋5i)i＝－5＋i，其虚部为1．故选C．]√

题号135246879101112

题号135246879101112√

题号135246879101112

√

题号135246879101112

题号135246879101112√5．(2025·内蒙古期末)若复数z＝1＋i是方程z2＋az＋b＝0的根，其中a，b∈R，则a＋2b的值为(

)A．－4

B．－2C．0

D．2题号135246879101112D

[因为复数z＝1＋i是方程z2＋az＋b＝0的根，所以复数z＝1－i也是方程z2＋az＋b＝0的根，所以－a＝(1＋i)＋(1－i)，且b＝(1＋i)(1－i)，即a＝－2，b＝2，则a＋2b＝2．故选D．]题号135246879101112√

题号135246879101112

题号135246879101112√

题号135246879101112√√

题号135246879101112√

题号135246879101112√√

题号135246879101112√9．(人教A版必修第二册P81习题7.2T9改编)已知复数z满足|z－1＋i|＝3，则(

)A．复数z虚部的最大值为2B．复数z实部的取值范围是[－2，4]C．|z＋1＋i|的最小值为1D．复数z在复平面内对应的点位于第一、三、四象限题号135246879101112√√ABC

[满足|z－1＋i|＝3的复数z在复平面内对应点的轨迹是以(1，－1)为圆心，3为半径的圆，如图，由图可知，虚部最大的复数z＝1＋2i，即复数z虚部的最大值为2，故A正确；题号135246879101112实部最小的复数z＝－2－i，实部最大的复数z＝4－i，所以实部的取值范围是[－2，4]，故B正确；|z＋1＋i|表示复数z在复平面内对应的点到(－1，－1)的距离，所以|z＋1＋i|的最小值为3－2＝1，故C正确；由图可知，复数z在复平面内对应的点位于第一、二、三、四象限，故D错误．故选ABC．]题号135246879101112三、填空题10．(2025·沈阳期末)若复数m－2＋(m2－4)i≥0，则实数m的值为

_______．

题号135246879101112

2

题号135246879101112

－8

题号135246879101112

题号135246879101112

题号135246879101112√

阶段检测(八)第39～43课时

√

题号135246879101112

√

题号135246879101112

题号135246879101112√

题号135246879101112

题号135246879101112√

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题号135246879101112√

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题号135246879101112√

题号135246879101112√

题号135246879101112√

题号135246879101112√√

题号135246879101112

题号135246879101112三、填空题9．(2024·上海卷)已知a＝(2，5)，b＝(6，k)，且a∥b，则k的值为______________．

题号13524687910111215

[∵a∥b，∴2k＝5×6，解得k＝15．]15

题号135246879101112

四、解答题11．(人教A版必修第二册P95复习参考题7T9)已知复数z1＝m＋(4－m2)i(m∈R)，z2＝2cos

θ＋(λ＋3sin

θ)