2027年高考数学一轮复习重难点04 利用导数研究不等式恒（能）成立问题（举一反三专项训练）（全国）（试题版）

重难点04利用导数研究不等式恒（能）成立问题（举一反三专项训练）

【全国通用】

【题型1利用导数研究不等式恒成立问题】...........................................................................................................3

【题型2利用导数研究能成立问题】.......................................................................................................................4

【题型3分离参数法解决不等式恒（能）成立问题】...........................................................................................4

【题型4分类讨论法解决不等式恒（能）成立问题】...........................................................................................5

【题型5构造函数法解决不等式恒（能）成立问题】...........................................................................................6

【题型6与不等式恒（能）成立有关的证明问题】...............................................................................................7

【题型7洛必达法则】...............................................................................................................................................8

【题型8导数中双变量恒（能）成立问题】...........................................................................................................9

【题型9导数中双函数恒（能）成立问题】.........................................................................................................10

1、利用导数研究不等式恒（能）成立问题

导数中的不等式恒(能)成立问题是高考的常考考点，是高考的重点、热点问题，从近三年的高考情况

来看，不等式的恒(能)成立问题经常与导数及其几何意义、函数、方程等相交汇，综合考查分析问题、解

决问题的能力，一般作为选择题、解答题中的压轴题出现，试题难度较大，解题时要学会灵活求解.

知识点1不等式恒（能）成立问题的解题策略

1．不等式恒（能）成立问题的求解方法

解决不等式恒（能）成立问题主要有两种方法：

(1)分离参数法解决恒（能）成立问题

①分离变量：根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，

构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，进而解决问题．

②恒成立；

恒成立；

能成立；

能成立.

(2)分类讨论法解决恒（能）成立问题

分类讨论法解决恒（能）成立问题，首先要将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分

类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段内

的函数值不满足题意即可.

知识点2双变量的恒（能）成立问题的解题策略

1．双变量的恒（能）成立问题的求解方法

“双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价变换，常见的等价变换

有：

对于某一区间I，

(1).

(2).

(3).

知识点3洛必达法则

“洛必达法则”是高等数学中的一个重要定理，用分离参数法(避免分类讨论)解决成立或恒成立命题时，经

常需要求在区间端点处的函数(最)值，若出现型或型可以考虑使用洛必达法则.

1．洛必达法则

法则1若函数f(x)和g(x)满足下列条件：

(1)及；

(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g'(x)≠0；

(3)，那么.

法则2若函数f(x)和g(x)满足下列条件：

(1)及；

(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g'(x)≠0；

(3)，那么.

2．用洛必达法则处理型函数的步骤：

(1)分离变量；

(2)出现型式子；

(3)运用洛必达法则求值.

3．用洛必达法则处理型函数的步骤：

(1)分离变量；

(2)出现型式子；

(3)运用洛必达法则求值.

【注意】：

1．将上面公式中的换成，洛必达法则也成立.

2．洛必达法则可处理型求极限问题.

3．在着手求极限前，首先要检查是否满足型定式，否则滥用洛必达法则会出

错，当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限.

4．若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止.

，如满足条件，可继续使用洛必达法则.

【题型1利用导数研究不等式恒成立问题】

【例1】（2026·四川成都·三模）不等式恒成立，则的取值范围为（）

�

A．B．e−lnC�．+1+�−ln�≥��D+．1�

0,10,10,e−10,e−1

【变式1-1】（2026·四川绵阳·二模）已知对任意，不等式恒成立，则实数的最

12

22

大值为（）�>0�+�−�ln�≥2�

A．1B．2C．3D．4

【变式1-2】（2026·贵州贵阳·二模）已知函数，若对任意恒成立，

(�+1)�

则实数a的最小值为（）�(�)=e+���∈(0,+∞),�(�)≥ln�

A．B．C．D．

11

22

e−1e−1e−1e−1

【变式1-3】（2026·江苏盐城·模拟预测）已知函数，若恒成立，

�−��

则的取值范围为（）�(�)=e−e+2sin��(�e)+�(−�)>0

�A．B．C．D．

1111

22

−∞,e−∞,ee,+∞e,+∞

【题型2利用导数研究能成立问题】

【例2】（2026·四川成都·一模）若存在使得不等式成立，则正实数的取值范围为（）

�1�

�>0�e+1−�≤�ln��

A．B．C．D．

1

0,1[e,+∞)0,e(0,e]

【变式2-1】（2026·河北沧州·模拟预测）若方程在上有解，则实数的

�

取值范围是（）e=�ln�−2+�ln�−2�2,+∞�

A．B．C．D．

33

【变式2-23】,+（∞2026·山东滨州0·,3二模）已知函数e,+∞，.0,e

2

(1)若，求曲线在点处的�(切�)线=方�程−；2�ln��>0

(2)若存�=在2�=，�使(�)�(1,�(1))，求的取值范围.

2

�0∈(0,+∞)��0<�+ln��

【变式2-3】（2026·甘肃白银·模拟预测）已知函数，且在处取得极值．

�

(1)求m的值及的单调区间；��=��−2e−1���=0

(2)若存在�，�使得，求实数a的取值范围．

�∈���≤2e�−�−1

【题型3分离参数法解决不等式恒（能）成立问题】

【例3】（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数，若对任意的恒成立，则实

�2

数的最大值为（）��=e−��+e��≥0�∈�

�．．．．

ABC2D

ee2

【变式3-12】（2026·江苏扬州·1模+拟ln预2测）已知函数2e，其中．若存在，

2

使成立，则的取值范围是（）��=�−�+2�+�ln��∈R�∈1,+∞

��<��

A．B．C．D．

1212

2,+∞2,+∞−2,+∞−2,+∞

【变式3-2】（2026·上海虹口·三模）设．

��=ln�

(1)解不等式：；

�

��−1<�1

(2)若恒成立，求实数的取值范围．

��2

�e+�>���

【变式3-3】（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数．

1

��=�ln�−��+2

(1)当时，讨论的单调性；

(2)若对�任=意2的��，恒成立，求m的取值范围．

�∈(0,+∞)��≥0

【题型4分类讨论法解决不等式恒（能）成立问题】

【例4】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知函数，若在

1

��=ln�−���+�−�−1��≤00,+∞

上恒成立，则实数m的取值范围为（）

A．B．C．D．

111

2

0,ee,11,ee,1

【变式4-1】（2026·湖北·模拟预测）已知函数，若存在实数，使得

��2

�00

，则实数的取值范围为（）��=��e+ln,��=�−����≤

0

��A．�B．C．D．

11

0,1−∞,0∪0,10,e−∞,0∪0,e

【变式4-2】（2026·山东潍坊·三模）已知函数（且，，）．

��*

(1)若恒成立，求的取值范围；��=�−���>0�≠1�>0�∈�

(2)讨论��≥零0点的个数．�

��

【变式】（浙江模拟预测）已知函数（为自然对数的底数，）

4-32026··�

e1

��

(1)求在处的切线方程；��=−−ln�ee≈2.71828

(2)求��的最�=小1值；

(3)若对�任�意，不等式恒成立，求实数的取值范围.（表示不超过实数的最

大整数）�∈0,+∞��≥��+1���

【题型5构造函数法解决不等式恒（能）成立问题】

【例5】（2026·广东广州·模拟预测）对，不等式恒成立，则最大值为（）

�

．．∀�∈�．e−��−�≥0．��

A3B2CD

eee

432e

【变式5-1】（2026·河南·三模）已知关于的不等式对任意的恒成立，则的最小值

�ln�

为（）��e−1−�≥0�>0�

A．B．C．1D．

12

eee

【变式5-2】（2026·四川遂宁·模拟预测）函数．

�2

��=e−�ln�+�−���∈�

(1)当时，求函数在的单调区间；

1

�=e+1��2,+∞

(2)若存在，使得成立，求的取值范围．

�∈0,+∞��≤0�

【变式5-3】（2026·湖南永州·三模）已知函数，．

2�

(1)求函数的极值；��=��−cos���=�e+2�

(2)若�，�当时，恒成立，求实数的取值范围；

′

�=1�≥0��≥��+1�

【题型6与不等式恒（能）成立有关的证明问题】

【例6】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数．

�33

��=e−��−2�

(1)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；

��1,+∞�

(2)当时，求证：对恒成立．

15

�=3∀�∈0,+∞,��>ln�+1−2�

【变式】（北京三模）已知函数，，．

6-12026··�

2e−1

������∈�

(1)若在点处的切线平行于直�线：=�ln�−，求的=值；

(2)求��的单调1,区�间1；��=�+1�

��

(3)当时，求证：对任意，恒有成立．

2−cos�

�=1�∈0,+∞��>��+�

【变式】（江苏南通模拟预测）已知函数，．

6-22026··2��

e−2e−�

�

(1)求函数的极值；��=e�∈�

(2)若函数��为偶函数．

①求的值�；�

②证明�：不等式恒成立．

2

��+�ln�>�+�−1

【变式6-3】（2026·天津·二模）已知函数，其中.

(1)当时，求曲线在点��处=的�切ln线��方+程1；�>0

(2)求证�=：1在�=上�单�调递增；1,�1

��0,+∞

(3)求证：，且，.

′′

∀�1�2∈0,+∞�1>�2�1−�2��1+��2<2��1−��2

【题型7洛必达法则】

【例7】（2026高三·全国·专题练习）已知函数在处取得极值，且曲线

1

�(�)=�ln�+��(�,�∈�)�=2�=�(�)

在点处的切线与直线垂直.

(1)求(实1,数�(1))的值；�−�+1=0

(2)若�,�，不等式恒成立，求实数的取值范围.

�

∀�∈[1 , +∞)�(�)≤(�−2)�−��

【变式7-1】（2026·湖北十堰·模拟预测）已知函数．

��=�+1ln�+1−��

(1)若是减函数，求的取值范围；

12

��=��−2��

(2)当时，，求的最大值；

�≥0��≥0�

【变式7-2】（25-26高二下·全国·期末）若不等式对于恒成立，求的取值范围.

3�

sin�>�−���∈(0,2)�

【变式7-3】（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数，.

�−�

(1)证明：；��=e−e−2��>0

��>0

(2)设，证明：在上单调递增；

��

3

�

(3)求实�数�=的最大值，使得�对�任意0,+∞，都有.

�−�3

��>0e−e≥2�+��

【题型8导数中双变量恒（能）成立问题】

【例8】（2026·重庆·三模）对，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）

+

A．B．∀��∈RC．�1+ln�>�ln�−�D�．�

11111

2323

e,+∞e,e0,ee,+∞

【变式8-1】（2026·河北·一模）已知函数，，若对任意的，，

�2

，恒成立，�则(�实)=数ea的�取(�值)=范�围�为（）�1�2∈0,+∞�1<�2

1212

�A�．−��<��B．−��C．D．

ee

(−∞,0]−∞,2(−∞,e](0,2]

【变式】（山西临汾二模）已知函数的一个极值点是．

8-22026··2

�+��−�

�

(1)讨论的单调性；��=e�=2

�

(2)设�，，若存在，使得成立，求实数的取值范围．

2

2�−22

�>0��=�e�1,�2∈0,3��1−��2<e�

【变式8-3】（2026·四川成都·一模）已知，其中.

�

(1)当时，求曲线在点��处=的�切e线−方�l程n�；−���∈(0,+∞),��=2cos�+sin2�

(2)求�=1的最值；�=�(�)1,�1

��

(3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.

232

�1,�2∈0,+∞��1≥9�⋅��2�

【题型9导数中双函数恒（能）成立问题】

【例9】（2026·吉林长春·模拟预测）已知函数，，若恒成立，

�−1

则实数的取值范围是（）��=�e−1��=�+�+ln���≥��

A．�B．C．D．

−∞,−1−∞,0−∞,1−∞,e

【变式9-1】（2026·甘肃武威·模拟预测）已知函数，，若，，

2ln�

−��

则的取值范围为（）��=��−e��=�e∀�>0��≥��

�A．B．C．D．

11

2

e,ee,+∞1,e−∞,e

【变式9-2】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数，．

2

(1)若对于任意，都有，求实数�a的�取=值��范围�；�=�1−ln�

(2)若函数�∈0,+∞��<有�两�个零点，，且，证明：．

ℎ�=��+�−1ln�−2�1�2�1<�2�1+�2>2

【变式】（湖北黄石模拟预测）已知函数，，当

9-32026··3

−2��

时，��=1+�e��=��+2+1+2�cos��∈0,1

(1)求在处的切线方程；

(2)求证��：�=0；

1

1−�≤��≤1+�

(3)若恒成立，求实数的取值范围.

��≥���

一、单选题

1．（2026·山东日照·模拟预测）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（）

2�

A．B．�C�．e−ln�−��−1>D0．�

−∞,20,2−∞,2ln20,2ln2

2．（2026·湖南株洲·三模）若存在，使得对恒成立，则实

21��

�∈0,1�ln�−�cos�+��≤2�e∀�∈1,+∞

数b的范围为（）

A．B．C．D．

12

�≥e�≥e�≥e�≥2e

3．（2026·浙江宁波·三模）已知函数，在定义域上恒有

�

，求的取值范围（�）�=e−�+1,��=�ln�,ℎ�=��−���≥

ℎ�A．≥���B．

22

C．0,e−1D．0,e−1

．（0,e湖−北1黄冈二模）已知时，关于的0,e不−等1式恒成立，则的最

42026··x�−�

�2�e

大值为（）�>ee−���−��+�≥0�

A．B．

99

32

ee

C．D．

2727

32

ee

5．（2026·重庆江北·模拟预测）记函数的导函数为，已知，且对，都有．若

′′

不等式在上有解，�则�实数a的取值�范�围是（�）1=1∀�∈���<��

��−1

A．���<eB．1,2C．D．

11

−∞,1−∞,22,+∞1,+∞

6．（2026·江西·一模）若使得不等式对任意恒成立，则实

ln�ln2

数的最大值为（）∃�∈R�−�ln2−4�−�≤0�∈0,�

�A．1B．C．4D．

7．（2026·山东烟台·模拟预e测）已知函数，，2e若，，有，

�

1212

则的最大值为（）��=�e−1��=�ln�−1∃��>0��=��

�1

�2

A．1B．C．D．

11

2

eee

8．（2026·安徽合肥·三模）已知定义在上的函数满足对，有，且对

���∀�∈��1−�+�3+�=�2

，都有．设，若对，都有

��1−��2�−11−���

1212

∀�≠�恒成立，�则−�实数>的0取值�范�围=为�（�+）1+4�+e−e∀�∈0,+∞��e+��+

ln�A≤．4B．�C．D．

1122

22

二、多选−题e,+∞−∞,−e−∞,−e−e,+∞

9．（2026·江苏·二模）设函数，若存在唯一的整数，使得，则实数

�

的取值可以为（）��=e2�−1−��+��0��0<0�

A．B．C．D．

1322

2435

10．（2026·海南三亚·一模）已知，，则下列结论正确的是（）

�

A．若在处取得极�值�，=则e−��+1�∈�

B．当��时�，=函ln2数的最小值为�2=2

C．当�=1时，�函�数有2个零点

D．若对0任<意�<1，�有�恒成立，则的取值范围是

11．（2026·湖南湘�潭∈·一1,模+）∞已知函�数�≥0�e+1（,+参∞考数据：

223

），下列说法正确的�是�（=2）ln�+��−5,��=2�ln�e≈20.086,ln2≈

0.69A3,．ln当5≈1.609时，的最小值为6

B．若�=−1恒成�立�，则的取值范围为

−6

��≤0�−∞,−e

C．若有两个不同实数根，则

222

��=��1,�2�1+�2>e

D．若恒成立，则的最大整数值为2

三、填空题��≤���

12．（2026·云南·三模）已知函数，关于的不等式在上恒成立，

���

�ln�+��∈���e0,+∞

则实数的取值范围为___________�.=≤−1

13．（2�02