湖北省十堰市部分重点高中2026-2027学年高二上学期9月阶段检测数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页湖北省十堰市部分重点高中2026-2027学年高二上学期9月阶段检测数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.对任意实数a,直线y=（a-1）x+3-2a一定经过点（）A.（0，1） B.（1，2） C.（2，1） D.（3，0）2.已知平面直角坐标系中的三个点，过点与线段有公共点的直线为，则直线的斜率可以是（

）A. B. C. D.3.一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为，当且仅当时称为“凹数”（如213，312等），若，且互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率为(

)A. B. C. D.4.已知△ABC中，，AC=2，若满足条件的角A有两个解，则BC长的取值范围是（）A. B. C.（1，2） D.（2，4）5.今年为纪念红军长征胜利90周年，某市计划在广场中央建造一座“长征颂”主题纪念碑.该纪念碑的基座设计为一个稳固的四面坡式石墩（如图所示），已知该几何体是从长方体上底面向下底面顶点截去4个完全一样的三棱锥后得到的几何体，经实地测量，下底面长10米、宽6米，一个侧面为上底长4米，腰长5米的等腰梯形，则该纪念碑基座的体积为（

）

A.168

B.192

C.216

D.2406.设、两个随机事件为互斥事件，发生的概率均不等于0，若，，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.7.如图，在平行四边形中，，，与交于点.设，，若，则（

）

A. B. C. D.8.在平行六面体中，且，，若，，则棱的最大值为（

）A. B. C.3 D.4二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知i为虚数单位，则以下四个说法中错误的是（）A.i+i2+i3+i4=0

B.复数的虚部为-i

C.若复数z为纯虚数，则|z|2=z2

D.若z1，z2为复数，则|z1•z2|=|z1||z2|10.甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子5次，分别记录骰子每次出现的点数，根据这四名同学的统计结果，可以判断该同学掷得的点数一定有6的是（）A.甲：极差为4，平均数为4.4 B.乙：中位数为3，平均数为3.4

C.丙：平均数为3，方差不小于4 D.丁：中位数为2，方差大于2.511.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=4，M为棱BB1的中点，点P为侧面ABB1A1内的动点（包含边界），则下列说法正确的有（）A.满足的点P有且只有两个

B.若D1P⊥AM，则点P的轨迹长度为

C.三棱锥A1-ACM的体积为

D.若C1P∥平面ADM，四棱锥P-ABCD的顶点都在球O上，则球O体积的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.经过点P（2，3），并且在y轴上的截距是在x轴上的截距的两倍的直线方程为

．13.已知为非零不共面向量，若向量，则记向量以为基底时的坐标为，若向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为

．14.正三角形边长为2，是中点，将沿翻折至，当二面角的大小为120°时，四棱锥外接球O的表面积为

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知的三个顶点是，，.(1)求边上的中线所在直线的斜截式方程；(2)求边上的高所在直线的斜截式方程；(3)求边的垂直平分线的斜截式方程16.(本小题15分)电影《哪吒之魔童闹海》总票房（含点映、预售及海外票房）已超158.91亿元，成为首部进入全球票房榜前五，登顶动画票房榜榜首的亚洲电影.一团队从观看该电影的所有观众中随机抽取20000人为样本，统计他们的年龄，并绘制如图所示的频率分布直方图．(1)估计观看此电影的观众的年龄的众数、平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)已知落在的平均年龄是27岁，方差是7，落在的平均年龄为36岁，方差是4，求两组年龄合并后的平均数和方差．17.(本小题15分)已知，b，c分别为的内角，B，C所对的边，且.(1)求A；(2)已知D是边BC的中点，求AD的最大值.18.(本小题17分)如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，D，E分别是线段，的中点，在平面ABC内的射影为.(1)求证：平面BDE；(2)若点F为棱的中点，求点到平面BDE的距离；(3)若点F为线段上的动点（不包括端点），求平面FBD与平面BDE夹角的余弦值的取值范围.19.(本小题17分)如图，在三棱锥中，平面，平面平面，为的中点。

(1)求证：。(2)若，，，且与平面所成角为。①当时，求三棱锥的体积；②当取最大值时，求二面角的正弦值。

1.【答案】C

2.【答案】D

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】C

6.【答案】A

7.【答案】B

8.【答案】D

9.【答案】BC

10.【答案】AC

11.【答案】BCD

12.【答案】3x-2y＝0或2x＋y-7＝0

13.【答案】

14.【答案】

15.【答案】解：（1）由题意得的中点坐标，所以，所以上的中线方程为，整理得斜截式方程为.（2）所在直线的斜率为，所以上的高所在直线的斜率，又上的高过点，则上的高所在直线的方程为，整理得斜截式方程为.（3）由（2）得，与垂直的直线斜率为，由（1）得的中点坐标，所以的垂直平分线的方程为，整理得斜截式方程为.

16.【答案】解：（1）由频率分布直方图可知，最高矩形对应的区间为，所以众数为该区间的中点值，即．平均数为：．因为前两组的频率之和为，前三组的频率之和为，前四组的频率之和为，所以中位数位于区间内．设中位数为，则，解得．故估计观看此电影的观众的年龄的众数为35，平均数为30，中位数为30.8．（2）由频率分布直方图可知，落在的频率为，落在的频率为．设落在的样本量为，落在的样本量为，则，即，则．由题意知，，；，．则合并后的平均数．合并后的方差．故两组年龄合并后的平均数为32，方差为．

17.【答案】解：（1）因为，由正弦定理得：，因为，所以，因为，所以，所以，所以，即，因为，所以，所以，所以.（2）因为，，所以，因为D是BC的中点，所以，所以因为，所以，即，所以，当且仅当时，等号成立，所以AD的最大值为3.

18.【答案】解：(1)证明：连接，因为在平面ABC内的射影为，所以⊥平面，因为平面，所以⊥，⊥，因为为边长为2的等边三角形，D是线段的中点，所以⊥，因为，平面，所以⊥平面，因为平面，所以⊥，因为，四边形为平行四边形，所以平行四边形为菱形，故⊥，因为D，E分别是线段，的中点，所以，故⊥，因为，平面，所以⊥平面；（2）由（1）知，两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，因为⊥，D是线段的中点，所以由三线合一可得，又，故为等边三角形，，由（1）知，⊥平面；故平面的一个法向量为，点到平面BDE的距离；（3）点F为线段上的动点（不包括端点），设，，则，故，故，设平面的法向量为，则，解得，令，则，故，又平面的一个法向量为，故，令，则，因为，故，，平面FBD与平面BDE夹角的余弦值取值范围是.

19.【答案】解：(1)已知PA平面ABC,且BC平面ABC,因此PABC;

已知平面PAC平面PBC,且平面PAC平面PBC=PC,在平面PAC内作ADPC于D,

根据面面垂直的性质定理,可得AD平面PBC,结合BC平面PBC,可得ADBC;

由于PAAD=A,且PA,AD平面PAC,

根据线面垂直的判定定理,可得BC平面PAC;

又因为AC平面PAC,因此ACBC.

(2)取PC的中点N,连接MN,AN,

因为M是PB的中点,所以MNBC,

由(1)BC平面PAC,可得MN平面PAC,

因为AN平面PAC,所以ANMN,

由PA=2,AC=m=2,PAC为等腰直角三角形,

因此ANPC,

又因为MN,PC平面PBC,MNPC=N,

所以AN平面PBC,

则AMN就是AM与平面PBC所成的角,

已知AM与平面PBC所成角为,所以AMN=.

在等腰RtPAC中,PA=AC=2,所以AN=;

在RtAMN中,=,代入得MN=,

所以BC=2MN=2,

所以=ACBC=22=2，

所以三棱锥体积为=PA=22=.

过点C作CT平面ABC,垂足为C,以C为原点,以CB,CA,CT所在直线分别为x轴,y轴,z轴,

建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),B(n,0,0),A(0,m,0),P(0,m,2),M(,,1).

故=(0,m,2),=(n,0,0),

​​​​​​​直线MA的方向向量=(-,,-1).

设平面PBC的法向量=(x,y,z),

​​​​​​​故,即，得,

令y=2,则x=0,z=-m,所以=(0,2,-m).

​​​​​​​由直线AM与平面PBC的夹角为,

得===，

整理得=,

交叉相乘同时平方得=(4+)+,

进而有==-(+4)-+64,

由基本不等式得,(+4)+2=32,所以64-32=32,

当且仅当+4=时,即m=2时