专题03 导数及其应用 2026年高考数学真题分类汇编（答案版）

高考真题分类解析PAGE试卷第=1页，共=sectionpages33页PAGE1专题03导数及其应用答案版考点01导数概念及几何意义1．D2．3．(1)(2)【分析】（1）求出参数，解不等式即可求出的范围；（2）求出直线与的方程，利用与、在第一象限内均无公共点，得出与无正实数解，分离参数，转化为直线与与曲线在内均无交点，对求导讨论其单调性，得出函数的最值，建立不等关系，即可求出实数的取值范围.【详解】（1）由题意，，在与中，，解得，∴，∵，∴，解得或或∴不等式的解集为.（2）由题意及（1）得，，在中，，∴∵直线为在点的切线，∴直线的方程为：，即，∵是过点且垂直于的直线，∴直线的方程为：，即，在中，，与、在第一象限内均无公共点，∴与无正实数解，分离参数得，，，∴直线与与曲线在内均无交点，而，当时，解得（舍）或，∴当即时，函数单调递减，当即时，函数单调递增，∴在处取最小值，，当时，，当时，，∴且，即或，∴实数的取值范围为.考点02导数的应用1．B2．D3．①②③④4.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）结合导数几何意义建立方程求解；（2）法一：构造差函数，结合导函数符号的变化分类讨论函数的单调性，进而由恒成立求解参数范围即可；法二：先由必要性探路分析界点，当，确定界点；再结合界点分类讨论即可；（3）法一：构造差函数，结合端点效应分析界点，再分类讨论可得；法二：分离参数，结合洛必达法则求解.【详解】（1），由切点在直线上，也在函数图象上，可知且，可得；由，则切线的斜率为，解得；故.（2）由（1）知，，则，故题意可转化为对任意恒成立，法一：令，，则，当时，由且，则，即，则在上单调递增，又，要使对任意恒成立，则，解得；当时，不成立；当时，，，且，则，即，则在上单调递减，又当时，，不满足题意；综上所述，的取值范围为.法二：不等式可转化为，即对任意恒成立，当时，不成立；当时，设，，当时，由，可知，，这与对任意恒成立矛盾；当时，，，由，故在上单调递增，故在上存在唯一零点，设为，且当时，，即，此时不等式不成立；当时，，则在上单调递增，由，故，故不等式，即恒成立，综上所述，的取值范围为；（3）法一：设，则，令，则，其中，，.当时，，则在上单调递增，故，故在上单调递增，故，即当时，恒成立，满足题意；当时，设，由，可知且，则，可知在上单调递增，故，即，故在上单调递增，故，故在上单调递增，故，即当时，恒成立，满足题意；当时，此时，又，则存在正实数，使得，，则在上单调递减，则，即当，，不满足题意；综上所述，，即的最小值为.法二：由可得，则，即，则，由，可知，则，故原不等式可转化为，由，设，，则，设，，令，则，，由，再令，，故在上单调递增，故，则，故在上单调递增，所以，即，故在上单调递减，又由洛必达法则可知，故要使当时，恒成立，则，即的最小值为.5．【答案】(1)(2)令，则，当时，，，则，所以在上单调递增，则，所以在上恒成立，即在上恒成立；当时，令，所以，因为和在上单调递增，所以在上单调递增，所以，因为，所以，所以，由于，所以，则在上单调递增，则，即在恒成立，所以在上单调递减，所以，即在成立，故在成立，综上，在上恒成立，(3)【分析】（1）利用导数的几何意义，以及直线的点斜式方程求解即可；（2）令，利用导数研究在上的单调性以及最值即可证明结论；（3）利用导数证明，分和两种情况讨论不等式是否成立.【详解】（1）由于，所以，，则曲线在点处的切线方程为：，即；（2）略（3）①当时，设构造函数，则，令，所以，由于在上单调递增，所以，则在上单调递减，故，则在上单调递减，则在上恒成立，即在上恒成立；令，所以，所以在上单调递增，则，当且仅当时取等，即在上恒成立.故，令，则，对于，令，则，变形得，裂项求和得，对题设不等式左边取对数放缩：，对题设不等式右边取对数放缩：：当时，，此时右侧大于左侧，不等式不恒成立，所以不满足条件；②当时，若,恒成立，此时原不等式右侧，只需证明：，由（2）问结论可得：对于二项式展开，两边取对数，，又因此，所以原不等式成立，则的最大值为6.【答案】(1)、(2)有两个极值点(3)交点个数为【分析】（1）借助导数的几何意义可得、，计算即可得解；（2）求导得到后，再利用导数研究函数单调性，即可得变号零点个数，即可得极值点个数；（3）构造函数，利用导数计算可得，再分及进行讨论，当，结合（2）中所得可得在上单调递减，结合零点存在性定理即可得在上零点个数，即可得与交点个数；当时，可得有两个实根，分别设为、，且，则得单调性，计算可得、，再利用零点存在性定理即可得在上零点个数，即可得与交点个数.【详解】（1），则，，又，解得；（2）由（1）得，则，令，则，令，解得，则当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，又，，，故存在，使得，且有，则当时，，当时，，故在、上单调递减，在上单调递增，故有两个极值点；（3）令，则，令，则；若，则恒成立（不恒为零），故在上单调递减，又，当时，，故在上有唯一零点，即与有唯一交点；若时，有两个实根，设这两个实根分别为、，且，则、，则当时，，当时，，故在、上单调递减，在上单调递增，故为的极小值，为的极大值，且，由，则，则，由，则，则有、，故，则，又时，，故在上存在唯一零点，即与有唯一交点；综上所述：与交点个数为.一、单选题1．A2．C3．A4．A5．A6．D7．B8．D9．D10．A二、多选题11．ABD12．BC13．ACD14．ACD三、填空题15．16．/17．118．四、解答题19．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）对函数求导并根据的奇偶性对导函数符号进行判断，结合极值点可得为偶数；（2）根据表达式利用分组求和即可.【详解】（1）因为，则，当时，,,故不是极值点.当为奇数时且时，为偶数，，当时，，在单调递减，所以0不为的极值点；当为偶数时，为奇数，，当时，，在单调递减，当时，，在单调递增，所以0为的极值点，因此为偶数．（2），所以，所以．20．【答案】(1)(2)若或，零点的个数为；若且，零点的个数为【分析】（1）恒成立等价于恒成立，求导后，分及讨论函数单调性，结合计算即可得解；（2）结合（1）中所得，分、与且讨论，结合函数单调性与零点的存在性定理可判断零点的个数，即可得零点的个数.【详解】（1）由恒成立，即恒成立，即恒成立，即恒成立，令，则，当时，恒成立，则恒成立，故在上单调递减，又，故当时，，不符合题意，故舍去；当时，令，解得，则当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，则，又，故要使得恒成立，则有，即；（2）函数零点的个数等价于函数零点的个数，由（1）知，当时，在上单调递减，且，故零点的个数为；当时，在上单调递减，在上单调递增；若，有且仅有，故零点的个数为；若，则，由，则，又时，，故存在，使得，此时有两个零点、，故零点的个数为；若，则，由，则，又时，，故存在，使得，此时有两个零点、，故零点的个数为；综上所述：若或，零点的个数为；若且，零点的个数为.21．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）由题意可知函数的定义域为，通过求导得到函数的单调性即可求解；（2）构造函数，利用导数研究函数的单调性得时，函数单调递增，时，函数单调递减，再结合，符号即可证明；（3）结合（1），令，有，进而结合得，再累加求和即可证明不等式左侧部分；再结合（2）得，再累加求和即可证明不等式右侧部分.【详解】（1）已知函数，当时，，由，解得，因此函数的定义域为，对函数求导，得，当时，，当时，，因此函数在单调递增，在单调递减，因此函数在取极大值，同时也是最大值，由于，所以恒成立.（2）当时，，构造函数，，所以，令，，则，由于在上单调递减，在上单调递减，因此在上单调递减，因为，，所以存在使得，即，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，因为，，，所以存在，使得，即，当时，，即，函数单调递增，当时，，即，函数单调递减，因为，，所以在恒成立，即，所以对任意，有，即当时，函数的图象与的图象无交点.（3）先证，由（1）知，当时，函数在单调递减，故当时，，即，令，则，即，令，由恒成立，所以在单调递减，所以，即，故当时，有，令，则，所以，所以，再证，由（2）知，，即在恒成立，令，则，所以，即，综上，.22．【答案】(1)答案见解析(2)不“等比偏移”，理由见解析(3)证明见详解【分析】（1）研究函数的单调性，根据单调区间判断极值即可；（2）方法一：由题知在处的切线斜率为，再取，，计算得即可判断；方法二：同法一求得在处的切线斜率为，设，，，再求，再取特殊值即可判断；（3）方法一：设，，不妨设，则，进而转化为证，进一步转化为证明，当时，（*）式显然成立；当时，转化为证明，即证.设，，进一步转化为证明当时，恒成立，最后构造函数证明不等式即可；方法二：同方法一得证，再设，，转化为证明当时，恒成立，再构造函数证明不等式即可；【详解】（1）解：首先的定义域为，.当时，，在上单调递增，无极值；当时，由于函数与在上单调递增，所以在上单调递增，令，所以，当时，；时，，所以在上单调递减，在上单调递增，又所以在处取得极小值，，无极大值.（2）解：方法一：结论：当时，在处不“等比偏移”，理由如下：当时，，，在处的切线斜率为，取，，，，，即，所以当时，在处不“等比偏移”方法二：所以当时，在处不“等比偏移”.一般的，取A，B，C三点的横坐标成等比数列，设，，，直线的斜率为，取就是上面的特例；若取，则有，即，所以当时，在处不“等比偏移”.经检验，取或都成立；（3）（3）证明：思路一：设，，不妨设，则，要证是其定义域上的“等比偏移”函数，只要证.因为，，，，，故只要证，（*）由均值不等式知：，当时，（*）式显然成立；当时，要证（*）式，只要证，只要证，即证.设，，则只需证：当时，恒成立.令，当时，因为，所以在上单调递减，从而，命题获证.（3）思路二：以上证法同思路一.若设，，则只需证：当时，恒成立.令，因为，所以在上单调递减，从而，命题获证.23．【答案】(1)极小值，无极大值；(2)（ⅰ）3；（ⅱ）证明见解析.【分析】（1）求出函数的导数，确定单调区间，进而求出极值.（2）（ⅰ）利用（1）中单调区间，按分类，借助单调性求出最小值，再构造函数，结合零