第4章 数据的集中趋势和离散程度（复习课件）

第四章数据的集中趋势和离散程度复习课件苏科版·九年级数学上册（新教材）复习内容导览1复习目标2重点难点3知识图谱4考点串讲5题型全解6针对训练7课堂总结复习内容导览单元复习目标01理解平均数、加权平均数、中位数、众数的概念；理解方差、标准差的含义，能区分数据的集中趋势与离散程度相关统计量。02工具掌握熟练计算平均数、加权平均数、中位数、众数；会计算一组数据的方差、标准差，能根据计算结果分析数据。深化理解能根据实际情境合理选择统计量描述数据集中趋势，会利用方差判断数据波动大小，体会数据分析、统计建模的思想。思想与应用梳理本章知识体系，归纳易错点，提升运算的准确性和严谨性。概念识别0304基础达标能力提升素养目标单元重点难点重点难点重点

1.统计辨析：根据实际场景合理选用平均数、中位数、众数描述数据。2.加权运算：加权平均数中权重的理解与计算。3.数据分析：结合统计结果对实际问题做出合理评价与决策。

1.核心概念：平均数、加权平均数、中位数、众数；方差、标准差的统计含义。2.运算体系：平均数、加权平均数、中位数、众数的计算；方差的求解。3.拓展分析：利用统计量分析数据的集中趋势；利用方差分析数据波动情况。知识图谱集中趋势统计量数据的集中趋势和离散程度平均数离散程度统计量方差四分位数与箱线图中位数众数标准差四分位数箱线图考点串讲——1：反映集中趋势的统计量算术平均数：所有数据总和除以数据的总个数加权平均数：各数据乘以对应权重求和，再除以权重总和中位数：将数据从小到大排序，取中间位置的数据；数据个数为偶数时，取中间两个数据的平均数众数：一组数据中出现次数最多的数据，一组数据可以存在多个众数【注意】

求中位数一定要先将数据排序。考点串讲——2：反映离散程度的统计量方差：标准差：方差的算术平方根规律：方差越大，数据波动越大；方差越小，数据稳定性越好【注意】

计算方差最后不要忘记除以数据总个数n。考点串讲——3：四分位数、四分位距与箱线图四分位数：排序后把数据分为四部分，得到下四分位数Q1、中位数Q2、上四分位数Q3

四分位距：Q3-Q1，刻画数据离散程度，不受极端值的干扰箱线图五要素：最小值、Q1、中位数、Q3、最大值作用：直观比较多组数据分布情况，识别极端值【注意】

计算四分位数前，必须先对全部数据进行排序。考点串讲——4：统计量的选择与数据分析应用平均数容易受极端值影响；存在极端值时优先选用中位数反映集中水平；利用方差、四分位距、箱线图对多组数据进行对比分析，做出合理决策【注意】

不能机械只用平均数分析问题，要结合实际背景选择合适

统计量。题型全解题型01平均数、加权平均数

例

（2026·江苏徐州·模拟预测）每年6月6日是全国爱眼日，在迎接第31个全国“爱眼日”来临之际，某校开展“用眼有度，‘睛’彩一生”手抄报评比，其中七年级8个班得分为：9，8，8，9，7，9，10，8，那么这组数据的平均数为（

）A．8 B．8.5 C．9.5 D．10B

题型全解题型01平均数、加权平均数

方法总结方法1：算术平均数所有数据求和，再除以数据总个数，得到算术平均数。方法2：加权平均数每个数据乘对应权重，全部相加，再除以权重总和，算出加权平均数。针对训练1．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）一组数据：3，4，4，6，8．这组数据的平均数是（

）A．3 B．4 C．5 D．62．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）小明参加基础知识、建模能力、思维能力三项测试，其成绩（百分制）依次为85分、90分、92分，对基础知识、建模能力、思维能力分别赋权2，3，5，计算小明的平均成绩，所得结果为（

）A．85 B．89 C．90 D．92CC针对训练3．（2026·江苏南京·三模）跳绳成绩，甲组平均96个，乙组平均100个，丙组平均104个，最后全部平均成绩102个，则人数最多的一组是（

）A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．无法确定C题型全解题型02已知平均数求未知数的值例

（25-26九年级上·江苏连云港·期末）一组数据40，37，x，64的平均数是53，则x的值是（

）A．67 B．69 C．71 D．72【解析】根据题意可知(40+37+x+64)÷4=53，

解得：x=71．

故选C．C题型全解题型02已知平均数求未知数的值方法总结分类1：公式列方程法利用平均数公式，设未知数列方程，解方程求出未知数。分类2：整体代换法利用一组数据整体加减常数之后平均数的变化规律，快速计算新数据平均数。针对训练1．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）一组数据2,7,3,x,5的平均数是4，则x的值为（

）A．3 B．4 C．5 D．62．（2026·江苏宿迁·二模）已知一组数据85，80，x，90的平均数是85，那么x等于（

）A．80 B．85 C．90 D．953．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）已知5个数a1、a2、a3、a4、a5的平均数是a，则数据a1+1，a2+2，a3+3，a4+4，a5+5的平均数为（

）A．a B．a+3 C．56 D．a+15ABB题型全解题型03中位数

例

（2026·浙江·一模）某小组6名成员的英语口试成绩（满分50分）依次为：45，43，43，47，50，46，这一组数据的中位数是（）A．43 B．45 C．45.5 D．46C

题型全解题型03中位数方法总结方法1：排序定位法先把全部数据从小到大排序，根据数据总个数奇偶确定中位数位置。方法2：奇偶判别法数据个数奇数，取中间那一个数；数据个数偶数，取中间两个数的平均数。针对训练1．（2026·江苏苏州·一模）有一组数据：−3，−3，2，4，5，这组数据的中位数为（

）A．－3 B．2 C．4 D．52．（25-26九年级上·江苏苏州·期末）学校组织了“安全知识”小竞赛，某班的5位同学成绩（单位：分）如下：90，93，92，95，95．这组数据的中位数是（

）A．90 B．92 C．93 D．95CB针对训练3．（25-26九年级上·江苏南京·期中）小明统计了本班40名学生暑假的阅读量，绘制了一幅条形统计图（如图）．

则该班学生阅读量的中位数是（

）A．12本 B．10本 C．5本 D．4本D题型全解题型04众数

例

（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）小丽某周每天的睡眠时间如下（单位：h）：8，9，7，9，7，8，8，则小丽本周每天的睡眠时间的众数

为（

）A．7h B．8h C．8.5h D．9hB【解析】∵睡眠时间为8h出现的次数最多，

∴小丽本周每天的睡眠时间的众数为8h，

故选：B．题型全解题型04众数

方法总结方法1：频数统计法统计每一个原始数据出现的次数，出现次数最多的数据即为众数。方法2：多众数识别法一组数据可以有多个众数，只要几个数据出现次数并列最多都是众数。针对训练1．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）数据3、4、5、5、6的众数为（

）A．3 B．4 C．5 D．62．（2026·江苏无锡·中考真题）一组数据：13，14，14，16，18，这组数据的平均数和众数分别是（）A．15，14 B．14，15 C．14，14 D．15，15CA针对训练3．（25-26九年级下·江苏苏州·开学考试）某社区对寒假期间参加社区活动的部分学生的年龄进行统计，结果如下表：则这些学生的年龄的众数是（

）A．12 B．13 C．14 D．15D题型全解题型05四分位数

例

（25-26八年级下·江苏南通·期末）某乡镇组织开展村超等群众文化赛事活动，其中参赛的七个村得分分别为55，64，51，66，50，61，55，则这组数据的下四分位数是（

）A．51 B．55C．58 D．64A【解析】首先将这组数据从小到大排序：50,51,55,55,61,64,66，数据个数n=7，方法一：7×0.25=1.75，向上取整数为2，即下四分位数为排序后的第2个数据，是51；方法二：这组数据的中位数是第4个数据，为55，下四分位数为前三个数据的中位数，即为51．题型全解题型05四分位数方法总结方法1：排序定位法先对数据从小到大排序，按照样本个数计算位置，确定下四分位数、中位数、上四分位数。方法2：分段截取法以中位数分割数据集，前半部分数据的中位数为下四分位数，后半部分数据的中位数为上四分位数。针对训练1．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）某校“魅力篮球节”活动中，有8位同学各投篮10次，进球次数（单位：次）分别为6，5，4，7，6，10，9，8．则这8位同学投篮进球次数的上四分位数为（

）A．5.5次 B．6次 C．8.5次 D．9次2．（25-26八年级下·江苏·期中）为考察某种农作物的长势，研究人员分别抽取了10株苗，测得它们的高度（单位：cm）如下：8，8，9，9，10，11，12，12，13，14．则这组数据的m25=________，m50=________，m75=________．C910.512针对训练3．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图为某城市7月份空气质量指数AQI的箱线图（说明：AQI值越小，空气质量越好），则下列说法错误的是（）A．这个月空气质量指数的最大值为100 B．中位数为80C．数据在箱体的右侧比较集中 D．第一四分位数为20D题型全解题型06箱线图

例

（25-26八年级下·江苏南通·期末）已知甲、乙两个班的人数相同，在一次数学测试中两个班成绩的箱线图如图所示(满分为150分)，则下列说法错误的是（

）A．这次测试中两个班均没有满分B．甲班成绩的下四分位数与乙班成绩的中位数相同C．甲班成绩的波动比乙班的大D．乙班成绩的平均分比甲班的高B题型全解题型06箱线图

【解析】对于A，由图可知甲、乙两班的最高分都未达到150分，所以两班均没有满分，故此选项说法正确，不符合题意；对于B，甲班成绩的上四分位数与乙班成绩的中位数相同，都是120，故此选项说法错误，符合题意；对于C，甲班的成绩的箱体比乙班的成绩的箱体更高，所以甲班的成绩比乙班的成绩波动更大，故此选项说法正确，不符合题意；对于D，由图可知乙班成绩的中位数与甲班成绩的上四分位数相同，并且乙班成绩的最小值与甲班成绩的下四分位数相同，乙班成绩的下四分位数与甲班成绩的中位数几乎相同，说明乙班的平均分比甲班的平均分更高，故此选项说法正确，不符合题意．故选B.题型全解题型06箱线图

方法总结方法1：五数读取法直接从箱线图读出五个关键数值：最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值。方法2：分布对比法对比两组箱线图，箱体长短看离散程度，中线位置看整体水平，分析数据分布与极端值。针对训练1．（25-26九年级上·江苏南京·期中）某班40名学生身高的数据信息如图所示．请回答以下问题：(1)从图中你能直接读出这40名学生身高的平均数、中位数和众数吗？(2)一定有身高为176cm的学生吗？一定有身高为178cm的学生吗？(3)依身高将同学们排序，中间50％的学生其身高处于哪个范围？(4)不低于157cm的学生在全班学生中占比多少？针对训练（1）解：从图中无法直接得出这40名学生身高的平均数；由箱线图可知：这组数据的中位数是162cm；从所给的统计图中无法直接得出众数，只能得出众数所在的组；（2）解：由箱线图可知：最大值是176cm，说明这组数据中最高身高是176cm；∴一定有身高是176cm的学生，一定没有身高为178cm的学生；（3）解：由箱线图可知：下四分位数是158cm，上四分位数是166cm，∴中间50％的学生其身高处于158cm到166cm这个范围；（4）解：不低于157cm的学生人数共有14+15+3=32（人），∴32/40×100％=80％；答：不低于157cm的学生在全班学生中占比80％．针对训练2．（25-26八年级下·江苏南通·期末）为了解学生科学素养情况，随机抽取801，802班各10名学生的科学素养测试成绩，对成绩（百分制，单位：分）进行了收集、整理和分析，部分信息如下：（Ⅰ）801班成绩如下：62、67、71、75、82、84、86、89、95、98；（Ⅱ）部分数据如下表：针对训练(1)请计算：Q1=

；Q2=

；(2)请补全箱线图；(3)小华计算了两个班分数的平均数，发现a>b，得出结论：801班学生科学素养情况要优于802班．你认为合理吗？请结合箱线图，说明理由．7183针对训练(2)(3)不合理，理由如下：平均数a>b，只能说明801班学生科学素养平均成绩大于802班，不能表明801班学生科学素养情况要优于802班，由箱线图可得，802班的科学素养成绩更集中，波动更小，说明802班的科学素养情况要优于801班．题型全解题型07方差

例

（25-26八年级下·贵州黔东南·阶段检测）某校八年级学生的平均年龄为14岁，年龄的方差为3，若学生人数没有变动，则两年后的同一批学生的年龄的平均数、方差分别是（

）A．16岁，3

B．14岁，3 C．16岁，5 D．14岁，5A【解析】两年后的同一批学生的年龄均增加2岁，其年龄的波动幅度不变，

所以平均年龄为16岁，方差不变，

故选：A．题型全解题型07方差

方法总结方法1：定义公式计算法先求平均数，每个数据减去平均数再平方，求平方后的平均数得到方差。方法2：整体变换规律法一组数据全部加上同一个数，方差不变；数据同时扩大倍数，方差扩大倍数的平方倍。针对训练1．（2026·江苏泰州·一模）如果一组数据1，2，3，4，5的方差大于另一组数据102，103，104，105，x的方差，那么x的值可能是（

）A．98 B．101 C．104 D．1072．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）为了解学生的身体素质状况，国家每年都会进行中小学生身体素质抽测．学校随机抽取了九年级的10名男生，进行引体向上测试，他们的成绩（单位：个）如下：7，11，10，11，6，14，11，10，11，9．则关于这组数据的下列结论中，错误的是（

）A．众数是11

B．中位数是10

C．平均数是10 D．方差是4.6CB针对训练3．（2026·江苏苏州·模拟预测）演讲比赛中15名评委给比赛选手成绩打分，若“去掉一个最高分，去掉一个最低分”后，一定不会发生变化的统计量是（

）A．平均数 B．众数 C．中位数 D．极差C题型全解题型08运用统计量做决策

例

（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）下列各式中正确的是（

）A．甲 B．乙

C．丙 D．丁D【解析】∵平均数越大，开花时间越长，表格可知，丙和丁的平均数最大，均为10，∴丙和丁的开花时间最长，又∵方差越小，开花时长越稳定，丙的方差为1.05，丁的方差为0.78，0.78<1.05，∴丁的开花时长更稳定，因此开花时间最长并且最稳定的是丁．选D题型全解题型08运用统计量做决策

方法总结方法1：集中趋势分析法平均数、中位数、众数用来评判整体水平，有极端值优先选中位数。方法2：波动稳定性分析法方差越小，数据越稳定；结合集中趋势与波动两个维度综合做出选择。针对训练1．（25-26九年级下·江苏淮安·阶段检测）商场对上周女装的销售情况进行了统计，如表，经理决定本周进女装时多进一些红色的，可用来解释这一现象的统计知识是（

）A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差A针对训练2．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）2020年12月3日23时10分，嫦娥五号上升器月面点火，3000牛发动机工作约6分钟后，顺利将携带月壤的上升器送到了预定环月轨道，成功实现我国首次地外天体起飞．某校为选拔学生参加市里举办的航天知识竞赛，共组织了三次选拔测试（百分制），学校对总成绩排名前四名的同学的成绩进行了分析，并绘制统计表如下：）根据表中数据，该校想选择成绩好且发挥稳定的同学去参加市里比赛，应选择（

）A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．丁同学D针对训练3．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）下表是学校藤球队中四名同学成绩的平均数及方差，若要从这四名队员中，选择一名成绩好且状态稳定的选手代表学校参加市藤球赛，应选择_________．丁题型全解题型09极差例

（25-26九年级上·江苏扬州·期中）九年级上·江苏盐城·期末）一组数据：7，5，9，3，9，15，则这组数据的极差是（

）A．12 B．9 C．7 D．8A【解析】

由题可得：这组数据中最大数为：15，最小数为：3，

∴这组数据的极差为：15−3=12，

故选：A．题型全解题型09极差

方法总结方法1：极值求差法找出本组数据最大值与最小值，极差=最大值−最小值。方法2：波动粗略分析法极差反映数据波动范围，只受最大、最小两个极端数据影响。针对训练1．（2026九年级上·江苏苏州·专题练习）有一组数据：6，2，4，5，7，这组数据的极差为（）A．1 B．5 C．3 D．22．（（25-26九年级上·江苏扬州·期中）九年级上·江苏南通·期末）已知一组数据：7，5，9，5，14，下列说法不正确的是(

)A．平均数是8

B．极差是9

C．众数是5 D．中位数是9BD针对训练3．（2026·江苏扬州·一模）为了解九年级某班学生中考英语口语人机对话水平，对该班学生进行模拟测试，从该班学生中随机抽取8名学生进行调查，得到如下数据（单位：分）：28，30，25，28，26，24，28，27．对这组数据判断不正确的是（）A．极差为6 B．众数为28 C．平均数为27 D．中位数为27D题型全解题型10离差平方和

例

（25-26八年级下·江苏南通·期末）若把1，3，5，7分成1，3和5，7两组，则它们的组内离差平方和为_______．4

题型全解题型10离差平方和

方法总结方法1：定义直接计算法每个数据减去本组平均数，求差的平方，全部相加得到离差平方和。方法2：分组最优原则法分组问题，尝试不同分组方式，比较各组组内离差平方和，找到最小值。针对训练1．（25-26八年级下·江苏南通·期末）某班体质健康测试中，有六名学生引体向上的个数分别为10，11，12，12，13，14，则这组数据的离差平方和为____．2．（25-26八年级下·江苏南通·期末）某地4家企业在今年第一季度的产值(单位：亿元)分别为8，10，6，7．若按照组内离差平方和最小的原则，把这4家企业今年第一季度的产值分为两组，则组内离差平方和的最小值是_____．102题型全解题型11统计综合应用

例

（25-26九年级下·江苏常州·阶段检测）“119”全国消防日，某校为强化学生的消防安全意识，组织了“关注消防，珍爱家园”知识竞赛，满分为10分．现从八、九两个年级各随机抽取10名学生组成八年级代表队和九年级代表队，成绩如下（单位：分）：八年级代表队：8，9，9，10，8，9，10，9，10，8；九年级代表队：9，8，9，9，10，7，10，9，9，10．(1)填表：99题型全解题型11统计综合应用

(2)结合（1）中数据，分析哪个代表队的学生竞赛成绩更好？请说明理由；(3)学校想给满分的学生颁发奖状，如果该校九年级一共有600名学生且全部参加了知识竞赛，那么九年级大约有多少名学生可以获得奖状？

题型全解题型11统计综合应用

方法总结方法1：多统计量计算法根据题意分别计算平均数、中位数、众数、方差等多个统计量。方法2：实际情境分析法结合题目实际背景，选用合适统计量对比评价，进行估算、说理作答。针对训练1．（25-26九年级下·江苏南通·阶段检测）某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取甲、乙两个班（每个班均为40人）的学生进行测试，并对成绩进行整理（成绩为整数，满分100分）说明：①成绩等级分为：80分及以上为优秀，70∼79分为良好，60∼69分为合格，60以下为不合格；②统计图中每小组包含最小值，不包含最大值．a．甲班成绩统计表：针对训练b．乙班良好这一组学生的成绩70，71，73，73，73，74，76，77，78，79．c．乙班成绩统计图：(1)已知甲班没有3人的成绩相同，成绩是76分的学生，在

班的名次更好些；(2)从两个不同的角度推断哪个班的整体成绩更好．乙针对训练(2)甲班的整体成绩更好理由如下：甲班成绩的中位数是76分，根据b组数据以及频数分布直方图可得乙班成绩的中位数（71+73）/2=72（分）甲班成绩的优秀率是40%，乙班成绩的优秀率是12÷40×100%=30%甲班成绩的中位数、优秀率均高于乙班，所以甲班的整体成绩更好针对训练2．（25-26八年级下·江苏南通·期末）小明计划购买一块用于记录日常运动和健康数据的智能手表，拟通过统计方法对三款备选产品进行综合评分选购．他围绕智能手表的核心指标设计评分项目，结合用户反馈确定评价层级，并依据个人使用需求制定计分