2026年山东省淄博市中考数学试题（含答案及解析）

绝密★启用前试卷类型：A2026年淄博市初中学业水平考试数学注意事项：本试卷共8页，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．1．答题前，考生先将自己的姓名、考生号、座号等填写在相应位置，认真核对条形码上的姓名、考生号和座号等，并将条形码粘贴在指定位置上．2．选择题答案必须使用2B铅笔（按填涂样例）正确填涂，非选择题答案必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．保持卡面清洁，不折叠、不破损．一、选择题1．（4分）如图，数轴上的点表示的数是

A． B．C． D．2．（4分）下列“幼圆字体”汉字中，是轴对称图形的是A． B． C． D．3．（4分）某几何体的主视图和俯视图如图所示，则这个几何体可能是

A．长方体 B．圆柱 C．球 D．圆锥4．（4分）2026年5月18日，第二十一届“中国光谷”国际光电子博览会开幕．我国在光通信核心器件领域取得突破，全球首款面向AI算力集群的硅光单模NPO产品亮相，光纤传输速率为每秒6400000000000比特，即．将数据“6400000000000”用科学记数法表示为A． B．C． D．5．（4分）如图，某冰球运动员用球杆连续击球，使冰球从点出发，沿，，，运动至点，已知，，若，则的度数是

A． B．C． D．6．（4分）下列运算，正确的是A． B．C． D．7．（4分）在平面直角坐标系中，若点在第四象限，则的取值范围是A． B．C． D．8．（4分）如图，在矩形中，过点作对角线的垂线，垂足为点，连接．若，，用科学计算器求的长，则下列按键顺序正确的是A． B．C． D．9．（4分）如图是小颖与哥哥的对话，根据对话信息，下面结论正确的是

A．哥哥比小颖大6岁 B．哥哥比小颖大7岁 C．哥哥比小颖大8岁 D．哥哥比小颖大9岁10．（4分）如图，是半圆的直径，为圆心，是半圆上的一点，是半圆外的一点，四边形为菱形，是与半圆的交点，线段分别交，于点，．若点平分线段，，则线段的长是

A． B．C． D．二、填空题11．（4分）正方形面积为5，则正方形边长为______．12．（4分）如图是书房地板的示意图，图中每一块方砖除颜色外完全相同，将一个小球在书房的地板上自由地滚动，小球随机地停在某块方砖上，则小球停在黑砖上的概率是______．13．（4分）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______．14．（4分）如图，是的直径，，是上的点，，平分，交于点，垂足为，则______．15．（4分）如图，在由数字0和1组成的无限数阵中，每行中相邻两个数字的间距为，每列中相邻两个数字的间距也为．每过1秒，与数字1的间距为的数字将变为1．图①是初始状态（由一个1和无数个0组成），1秒后变为图②状态，2秒后变为图③状态，若秒后得到的图中数字之和为1861，则的值是______．三、解答题16．（10分）先化简，再求值：，其中．17．（10分）在中，，是的一条角平分线．（1）（5分）如图①，若，求的度数．（2）（5分）如图②，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点．求证：．18．（10分）中国剪纸是人类非物质文化遗产，为传承中华优秀传统文化，某校开展了“非遗剪纸进校园”活动．信息一学校随机抽取部分学生，以投票的方式（每人一票），从“A．窗花”“B．人物”“C．生肖”“D．山水”四类剪纸主题中，选出学生最喜欢的类型作为活动主题．统计投票结果，整理并绘制了如下不完整的统计图．信息二在活动中，评委对甲、乙、丙三位同学的剪纸作品进行了打分，打分内容包括以下三项：构图规范、图案创意、文化寓意（每项满分100分）．三人的得分分别如下：请解决下列问题：（1）（2分）请直接写出统计图中的______，______；（2）（2分）请补全上面的频数分布直方图；（3）（3分）若该校学生共有2000人，请估计最喜欢“C．生肖”主题的学生人数；（4）（3分）若将构图规范、图案创意、文化寓意这三项得分依次按30%，40%，30%的比例计算各人的成绩，哪位同学成绩最高？说明理由．构图规范图案创意文化寓意甲909587乙928490丙90869219．（10分）蝙蝠在飞行时会发出超声波，这些声波碰到墙壁或昆虫时会反射回来，根据回声到来的方位和时间，蝙蝠可以确定目标的位置和距离，科学家利用这个原理发明了声呐，声呐系统可以帮助人们探知海洋的深度．声呐向海底垂直发射声波，经过秒收到回波，测得海水深度为米．已知科考队在某次测绘活动中，测得某海域不同位置的部分数据如下表：时间/秒0.81.422.32.8海水深度/米6001050150017252100（1）（5分）请由以上数据确定与的函数表达式；（2）（5分）科考队在该海域水面上某处垂直向下发射声波，经过3.8秒收到回波，则此处海水的深度是多少米？某探测器最大下潜深度为2900米，问能否在此处安全进行海底作业？20．（12分）如图，反比例函数的图象与直线相交于，两点，点的坐标为．（1）（4分）求的值；（2）（4分）根据图象，直接写出关于的不等式的解集；（3）（4分）将直线向上平移3个单位长度得到直线，直线与反比例函数的图象交于，两点，若是直线上的动点，求的面积．21．（12分）某中学开展综合实践活动，同学们运用测量工具和所学知识进行工件测量．【问题提出】如图，某工件的截面是一个中间有圆孔的不规则图形．根据工件制作标准得知，是圆孔及轮廓圆弧所在圆的圆心，是圆弧与线段相切的切点，是圆弧与线段相切的切点，，，三点在同一条直线上．现需设计一个测量方案，以求得工件的截面面积．【方案设计】测量工具：刻度尺、量角器、游标卡尺．操作步骤：同学们用刻度尺测量的长度，用量角器测量和的角度，用游标卡尺测量圆孔直径的长度．【问题解决】已知，，，圆孔直径为．（参考数据：，）（1）（5分）求弧所在圆的半径．（2）（5分）求阴影部分的面积．（结果精确到）（3）（2分）如果不测量的长，其它测量数据不变，能否通过用刻度尺测量另外一条线段的长，求得工件的截面面积？如果能，写出该线段；如果不能，说明理由．22．（13分）已知二次函数的图象关于轴对称，且经过点．（1）（2分）求，的值；（2）（11分）如图，，，为抛物线上三个不同的点，其横坐标分别为，，，且．将沿翻折得到，的对应点为．①当时，点恰好落在该抛物线上，且横坐标为1，求点的坐标；②若，，是否存在实数使得四边形的周长为36？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．23．（13分）在数学课上，小明以“三角形的旋转”为主题开展探究．【问题背景】如图①，在三角形纸片和三角形纸片中，，，．小明把三角形纸片的顶点放在的中点上，点与点重合，此时与交于点．现将三角形纸片绕点逆时针旋转，的对应点为，的对应点为，旋转角为．【初步探究】（1）（2分）如图②，，当点落在线段上时，的长是______；（2）（4分）如图③，当点落在线段上时，连接，求的值；（3）（7分）如图④，若旋转角满足，延长和分别交射线于，，当取得最大值时，求的值．答案详解1.C【详解】解：由数轴可知，数轴上的点M表示的数是1.2.A【分析】根据轴对称图形的定义逐项进行判断即可，即平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形称为轴对称图形.【详解】解：A.该选项汉字是轴对称图形；B.该选项汉字不是轴对称图形；C.该选项汉字不是轴对称图形；D.该选项汉字不是轴对称图形.3.D【分析】由主视图确定侧面形状，由俯视图确定底面形状.【详解】解：主视图为三角形，则该几何体为锥体；俯视图为圆，则底面为圆，故该几何体为圆锥.4.B【分析】科学记数法的标准形式为a×10"，其中1≤|a|＜10，n为整数.先确定a的取值，因为要满足1≤a＜10，所以需要将原数的小数点向左移动，得到符合要求的a.再确定n的取值，因为n的绝对值等于原数小数点移动的位数，且原数绝对值大于10时n为正，所以根据小数点移动的位数得到n的值，即可写出科学记数法的表达式.【详解】解：6400000000000＝6.4×10¹².5.D【分析】利用平行线的性质，先由AB∥CD得出内错角相等，求出∠BCD的度数，再由CB∥DE得出同旁内角互补，从而求出∠CDE的度数.【详解】解:∵AB∥CD，∠ABC＝70°∴∠BCD＝∠ABC＝70°.∵CB∥DE，∴∠BCD+∠CDE＝180°，∴∠CDE6.B【分析】分别根据幂的乘方法则、同底数幂相乘、单项式乘多项式计算判断前三项的正确性，利用平方差公式和多项式乘多项式即可判断最后一个选项的正确性.【详解】解：A、aB、C、3（a-1）＝3a-3≠3a-1，错误；D∴a-57.C【分析】根据点的象限即可确定x的取值范围.【详解】解:∵点P（x+1，2x-3）在第四象限，∴{解不等式x+1＞0，得x＞-1，解不等式2x-3＜0，得x∴x的取值范围是-18.A【分析】作辅助线构造全等三角形，将已知线段转化到含待求线段的直角三角形中，利用三角函数求解即可.【详解】解:过点B作BF⊥AC于点F，如图:∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAF＝∠DCE，∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠CED＝∠AFB＝90°.在△ABF和△CDE中，{∴△ABF≌△CDE（AAS），∴BF＝DE＝1，∵∠AEB＝36°＜90°，BF⊥AC，∴点F在射线EA上，∴∠BEF＝∠AEB＝36°，在△BFE中，∠BFE＝90°.∴∴∴按键顺序为1÷sin36＝.9.A【分析】利用年龄差不变列出二元一次方程组，解出两人现在年龄，相减求出年龄差，选出正确选项.【详解】解：设哥哥现在x岁，小颖现在y岁，根据题意得到二元一次方程组：{y-（x-y解得：{∴年龄差:x-y＝21-15＝6，即哥哥比小颖大6岁.10.D【分析】首先结合菱形的性质证明OF∥BD，进而证明△AOF∽△ABD，由相似三角形的性质确定OF，FC的长度；再证明△FCM≌△DEM，由全等三角形的性质确定DE，BE的长度；过点E作EG⊥AB于点G，过点C作CH⊥AB于点H，设BG＝x，由勾股定理解得BG＝12，由三角函数可得cos∠OBE＝BGBE＝14;证明∠AOC＝∠OBE，在Rt△OCH中，由三角函数和勾股定理解得【详解】解:∵四边形OBDC为菱形，OA＝4，∴OC∥BD，OC＝BD＝OB＝OA＝4，∴AB＝2OA＝8，∵OF∥BD，∴∠AOF＝∠ABD，∠AFO＝∠ADB，∴△AOF∽△ABD，∴∴∴FC＝OC-OF＝2，∵OC∥BD，∴∠FCM＝∠DEM，∵点M平分线段CE，∴CM＝EM，在△FCM和△DEM中，{∴△FCM≌△DEM（ASA），∴DE＝FC＝2，∴BE＝BD-DE＝4-2＝2，过点E作EG⊥AB于点G，过点C作CH⊥AB于点H，如下图，设BG＝x，在Rt△OEG和Rt△BEG中，E∴∴∵OC∥BD，∴∠AOC＝∠OBE，在∴AH＝OA-OH＝4-1＝3，在11.5【分析】正方形面积等于边长的平方，边长为正数，对面积开算术平方根即可得到边长.【详解】解：设正方形的边长为a，∴∴a＝±∵a＞0，∴a＝5，12.12【分析】由题意可知书房里所有地砖的数量以及黑色地砖的数量，代入概率公式即可求解.【详解】解：由题意可知，∵书房里地砖共有16块，其中黑色地砖有8块，∴13.9【分析】根据“式子△＝b2-4ac是一元二次方程ax2+bx+c＝【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2∴△解得:m＝9，∴m的值是9.14.84【分析】利用圆周角定理求出∠AOC的度数，结合等腰三角形性质求出∠ACO，再根据角平分线定义求出∠ACD，最后利用垂径定理推导∠AOE，通过角的和差关系求解.【详解】解:∵∠ABC与∠AOC分别是⊙O中AC所对的圆周角和圆心角，∴∠AOC＝2∠ABC＝2×58°＝116°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACO，∵∠OAC+∠ACO+∠AOC＝180°∴∠ACO∵CD平分∠ACO，∴∠ACD∵DE⊥AB，AB是⊙O的直径，∴∴∠AOE＝2∠ACD＝32°，∴∠COE＝∠AOC-∠AOE＝116°-32°＝84°.15.30【分析】观察图①、图②、图③中数字1的个数变化，发现每秒增加的1的个数构成公差为4的等差数列，从而得出r秒后数字之和的通项公式，列方程求解即可.【详解】解：观察图形可知：图①（0秒）中数字1的个数为1，数字之和为1；图②（1秒）中数字1的个数为1+4＝5，数字之和为5；图③（2秒）中数字1的个数为5+8＝13，数字之和为13;由此发现，每过1秒，增加的数字1的个数比上一秒多4个，第1秒增加4×1个，第2秒增加4×2个，……，第r秒增加4×r个，则r秒后数字1的总个数为：1+4×1+4×2+⋯+4×r＝1+41+2+⋯+r整理得：r即:r（r+1）＝930，解得：r∵数字1不断增加，∴r＝30.16.x-2:1【分析】先通分计算括号内式子，分解因式后约分化简，再代入x＝3求值.【详解】解：＝＝＝x-2.当x＝3时，原式＝3-2＝1.17.（1）∠BCD＝35°（2）证明:∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，由题意知，BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∴∠CBE＝∠BCD，在△DBC和△ECB中，{∴△DBC≌△ECB（ASA）.【分析】（1）根据等边对等角得到∠ABC＝∠ACB，结合三角形内角和得到∠ACB＝70°，最后根据角平分线的定义得到∠BCD＝35°;（2）根据等边对等角和角平分线的定义得到∠ABC＝∠ACB和∠CBE＝∠BCD，根据ASA证明三角形全等.【详解】（1）解:∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠A＝40°，∴∵CD是△ABC的一条角平分线，∴（2）略18.（1）20;15投票结果频数分布直方图（3）700人（4）解：甲同学成绩最高，理由如下：甲同学的成绩为:90×30%+95×40%+87×30%＝91.1，乙同学的成绩为:92×30%+84×40%+90×30%＝88.2丙同学的成绩为:90×30%+86×40%+92×30%＝89，∵91.1＞89＞88.2，∴甲同学成绩最高.【分析】（1）用“C.生肖”的人数除以其人数占比可求出参与调查的学生人数，再根据“A.窗花”和“D.山水”的人数占比可求出m，n的值；（2）求出“B.人物”的学生人数，再补全统计图即可；（3）用2000乘以样本中最喜欢“C.生肖”主题的学生人数占比即可得到答案；（4）分别计算出三位同学的成绩，比较即可得到结论.【详解】（1）解:35÷35%＝100（人），∴本次一共抽取的学生人数为100人，∴m∴n＝15;（2）解:由（1）得“B.人物”的学生人数为100-15-35-20＝30（人），补全统计图见答案；（3）解:2000×35%＝700（人），答：估计最喜欢“C.生肖”主题的学生人数为700人；（4）略19.（1）h＝750t（2）此处海水的深度是2850米，能在此处安全进行海底作业【分析】（1）由表格数据可知h与t成正比例关系，再由待定系数法求解析式即可；（2）将t＝3.8代入（1）中的解析式求得此处海水的深度，再与2900米比较，即可得出结论.【详解】（1）解：由表格数据可知h与t成正比例关系，设h＝mt，将（0.8，600）代入得600＝0.8m，解得m＝750，∴h与t的函数表达式为h＝750t;（2）解:当t＝3.8秒时，h＝750×3.8＝2850（米），∵2900＞2850，∴能在此处安全进行海底作业.20.（1）k＝1（2）-2＜x＜0或x＞23【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）根据反比例函数的对称性可知，B（-2，-2），观察函数图象即可求解；（3）直线l与x轴、y轴分别交于点E、F，连接OC、OD，联立直线l与反比例函数解析式求出C，D两点的坐标，再由平移得到BP∥CD，则S△PCD【详解】（1）解:∵点A（2，m）在反比例函数上，∴m＝42，即∴A（2，2）在直线y＝kx上，∴2＝2k，解得k＝1;（2）解：∵反比例函数y＝4x的图象与直线y＝kx相交于A，B两点，A（2，∴A、B关于原点对称，∴B（-2，-2），观察函数图象，可知：当-2＜x＜0或x＞2时，正比例函数y＝kx的图象在反比例函数y＝4x的图象上方，∴不等式kx＞4x的解集为-2＜x＜（3）解：∵将直线y＝x向上平移3个单位长度得到直线l，∴直线l的解析式为y＝x+3，联立{解得{x＝1∴C（1，4），D（-4，-1），如图，直线l与x轴、y轴分别交于点E、F，连接OC、OD，当x＝0时，y＝3;当y＝0时，x＝-3;∴E（0，3），F（-3，0），∵将直线y＝x向上平移3个单位长度得到直线l，∴BP∥CD，∴21.（1）2cm2（3）能，测量CD或AD或OA、OB、OC的长【分析】（1）连接OB，AC，由切线的性质得OB⊥AB，AC⊥CD，由等腰三角形的判定及性质即可求解；（2）由图形得S甲形（3）测量CD或AD或OA、OB、OC的长，情况1:测量（CD＝acm，AB＝OB＝2-1a，由S甲＝S△OAB+S圆形BOC+S△ACD-π×12同理可求；情况【详解】（1）解:连接OB，AC，∵O是圆孔及轮廓圆弧BC所在圆的圆心，B是圆弧BC与线段AB相切的切点，C是圆弧BC与线段CD相切的切点，A，O，C三点在同一条直线上，∴OB⊥AB，AC⊥CD，∵∠D＝45°，∴∠CAD＝45°，∴∠BAO＝∠BAD-∠CAD＝45°，∴∠AOB＝45°，∴OB＝AB＝2cm，故弧BC所在圆的半径为2cm；（2）解:由（1）得OA∠BOC＝180°-∠AOB＝135°，∴AC∵∠CAD＝∠D＝45°，∴CD∴＝＝≈15.2（3）解:能，测量CD或AD或OA、OB、OC的长;情况1:测量CD＝acm，由（1）（2）得:AC＝acm，AB＝OB＝OC，设OC＝xcm，则AB＝OB＝xcm，AO＝a-x（cm），∵A∴2解得x＝2-1aAB由S阴形情况2:测量AD＝bcm，由勾股定理求得由情况1同理可求；情形况3:测量OA、OB、OC的长由（2）同理可求.22.2【分析】（1）由抛物线的轴对称性得到m＝0，将25（2）①过点B'作DE∥x轴，分别过点A，C作AD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E，根据相似三角形的判定与性质列方程求解即可；②过点B作MN∥y轴，分别过点A，C作AN⊥MN于点N，CM⊥MN于点M，先证明BC＝2CM，可得∠BCM＝∠CBM＝45°，进一步证明AN＝BN，AB2周长为36列方程求解即可.【详解】（1）解：∵二次函数y＝14x2解得{（2）解:①过点B'作DE∥x轴，分别过点A，C作AD⊥DE于点D，CE⊥DE于点令令∴B∴∵△ABC沿AC翻折得到△AB'C，∠ABC＝90°，∴∠AB'C＝∠ABC＝90°，∴∠A∵AD⊥DE，CE⊥DE，∴∠AD∴∠A∴∠∴△B'AD∽△CB'E，∴∴解得a1＝-3，当∴A②过点B作MN∥y轴，分别过点A，C作AN⊥MN于点N，CM⊥MN于点∴ABBC∵b+c＝4，∴BC∵CM⊥MN，∴BM∴∠BCM＝∠CBM＝45°，∴∠ABN∵AN⊥MN，∴∠BAN＝∠ABN＝45°，∴AN＝BN，∴A∴整理得∵a≠b，∴解得a+b＝-4，∴a＝-b-4，∴AB∵2（AB+BC）＝36，∴2∴2解得b符合b＜-2，满足题意.23.（2）33【分析】（1）证明∠BDE＝45°，CD＝BC＝1，利用勾股定理求出BD的长，进而解直角三角形求出DE的长，则可得到DE'的长，据此可得答案；（连接理得（（3）过点E作E