2026年部编版高中数学高二年级上册第8章函数性质同步练习题及答案

2026年部编版高中数学高二年级上册第8章函数性质同步练习题及答案第1页共1页2026年部编版高中数学高二年级上册第8章函数性质同步练习题及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）1.函数f(x)=x^3-3x在区间(-2,2)上的最大值是A.2B.1C.0D.-1参考答案：C2.函数g(x)=|x-1|+|x+1|的最小值是A.0B.1C.2D.3参考答案：C3.函数h(x)=2sin(x)+cos(2x)的最大值是A.1B.√2C.2D.√3参考答案：C4.函数k(x)=x-ln(x)在区间(0,+∞)上的单调递增区间是A.(0,1)B.(1,+∞)C.(0,+∞)D.空集参考答案：B5.函数m(x)=x^3-3x^2+2在区间(-∞,+∞)上的零点个数是A.0B.1C.2D.3参考答案：C6.函数n(x)=e^x-x^2在区间(-1,1)上的零点个数是A.0B.1C.2D.3参考答案：B7.函数p(x)=x^3-3x+1的拐点是A.(0,1)B.(1,-1)C.(-1,3)D.(1,0)参考答案：A8.函数q(x)=x^4-4x^2+3在区间(-2,2)上的极值点是A.-2B.-1C.0D.1参考答案：B9.函数r(x)=x^2ln(x)在区间(0,+∞)上的凹区间是A.(0,1)B.(1,+∞)C.(0,+∞)D.空集参考答案：B10.函数s(x)=x^3-3x+2在区间(-2,2)上的渐近线是A.y=xB.y=-xC.y=0D.不存在参考答案：D二、填空题（共10小题，每题2分）1.函数f(x)=x^3-3x在区间(-2,2)上的最大值是______。参考答案：22.若函数g(x)=1/x在点(1,1)处的切线方程为y=-x+2，则该函数的导函数g'(x)在x=1处的值为______。参考答案：-13.函数h(x)=x^2-4x+3的图像与x轴的交点坐标为______。参考答案：(1,0)和(3,0)4.函数k(x)=e^x-x在区间(0,+∞)上的单调性为______。参考答案：单调递增5.若函数m(x)=sin(x)+cos(x)的最大值为√2，则x的取值范围是______。参考答案：2kπ+π/4≤x≤2kπ+5π/4,k∈Z6.函数n(x)=|x-1|在区间[0,2]上的最小值是______。参考答案：07.函数p(x)=x/(x-1)的渐近线方程为______。参考答案：y=18.函数q(x)=x^3-3x^2+2x在x=1处的泰勒展开式的前三项为______。参考答案：1-2x+x^29.函数r(x)=ln(x)在x=1处的导数值为______。参考答案：110.函数s(x)=x^2e^(-x)的极值点为______。参考答案：1三、判断题（共10小题，每题2分）1.函数f(x)=x³在定义域内单调递增。参考答案：√2.若函数f(x)在区间(a,b)上单调递减，则其反函数f⁻¹(x)在区间(a,b)上单调递增。参考答案：√3.函数f(x)=|x|在定义域R上处处可导。参考答案：×4.若函数f(x)在x=c处取得极值，则其导数f'(c)必等于0。参考答案：×5.函数f(x)=x²在(-1,1)区间上存在最大值但无最小值。参考答案：√6.若函数f(x)在区间I上连续且单调，则其在该区间上必有界。参考答案：×7.函数f(x)=sin(x)在(-π/2,π/2)区间上单调递增。参考答案：√8.若函数f(x)在x=c处导数f'(c)存在且不为0，则x=c必不是f(x)的极值点。参考答案：√9.函数f(x)=e^x在定义域R上处处凹向向上。参考答案：√10.若函数f(x)在区间(a,b)上单调递增且连续，则其反函数f⁻¹(x)在区间(a,b)上必存在。参考答案：√四、简答题（共8小题，每题2分）1.简述函数单调性的定义。参考答案：函数在其定义域的某个区间内，如果对于任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)≤f(x2)（或f(x1)≥f(x2)），那么就说函数f(x)在这个区间上是单调递增（或单调递减）的。2.说明函数奇偶性的判断条件。参考答案：函数f(x)是奇函数当且仅当对于其定义域内的任意x，都有f(-x)=-f(x)；函数f(x)是偶函数当且仅当对于其定义域内的任意x，都有f(-x)=f(x)。3.列举三个常见的具有周期性的函数。参考答案：三个常见的具有周期性的函数是f(x)=sin(x)，f(x)=cos(x)，f(x)=tan(x)。4.分析函数f(x)=x^3-3x的极值点。参考答案：函数f(x)=x^3-3x的极值点为x=1和x=-1。5.简述函数图像平移变换的规律。参考答案：函数图像平移变换的规律是：函数y=f(x)向右平移a个单位得到y=f(x-a)，向左平移a个单位得到y=f(x+a)；函数y=f(x)向上平移b个单位得到y=f(x)+b，向下平移b个单位得到y=f(x)-b。6.列举两个具有相同对称轴但不同开口方向的抛物线方程。参考答案：两个具有相同对称轴但不同开口方向的抛物线方程是y=x^2和y=-x^2。7.说明函数f(x)=1/x在定义域内的单调性。参考答案：函数f(x)=1/x在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)内单调递减。8.分析函数f(x)=sin(x)+cos(x)的周期性。参考答案：函数f(x)=sin(x)+cos(x)的周期为2π。五、应用题（共8小题，每题3分）1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，求函数f(x)在区间[-1,3]上的最大值和最小值。参考答案：最大值2，最小值-22.设函数g(x)=e^x-ax+1在x=0处取得极值，求实数a的值及函数g(x)的单调区间。参考答案：a=1，单调增区间为(-∞,0)，单调减区间为(0,+∞)3.已知函数h(x)=sin(x)+cos(x)，求函数h(x)在区间[0,2π]上的最大值和最小值，并指出取得这些值时的x值。参考答案：最大值√2，x=π/4；最小值-√2，x=5π/44.判断函数F(x)=x^3-3x+1是否存在两个不同的实数根，若存在，求出这两个根的范围。参考答案：存在，根的范围为(-∞,-1)∪(1,+∞)5.已知函数f(x)=x^2-2ax+3在x=1处的切线斜率为-4，求实数a的值。参考答案：a=36.求函数g(x)=|x-1|+|x+2|的最小值，并说明取得最小值时的x值。参考答案：最小值3，x=-27.已知函数f(x)=x^3-ax^2+bx在x=1处取得极值，且该极值为0，求实数a和b的值。参考答案：a=2，b=-28.设函数h(x)=x^3-3x^2+2，求函数h(x)的图像与直线y=x的交点坐标。参考答案：交点坐标为(1,1)和(0,0)标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：C解析：f'(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)，令f'(x)=0得x=-1,1。f(-1)=2,f(1)=-2，f(-2)=-2,f(2)=2。最大值为2。选项C正确。2.参考答案：C解析：g(x)=|x-1|+|x+1|表示数轴上x到-1和1的距离之和，最小值为2。选项C正确。3.参考答案：C解析：h(x)=2sin(x)+1-2sin^2(x)=-2(sin(x)-1/2)^2+5/2。最大值为5/2。选项C正确。4.参考答案：B解析：k'(x)=1-1/x=(x-1)/x0，得x1。选项B正确。5.参考答案：C解析：m'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令m'(x)=0得x=0,2。m(0)=2,m(2)=-2。零点在(0,2)之间。选项C正确。6.参考答案：B解析：n'(x)=e^x-2x，n'(0)=10，n(0)=10。n(x)在(-1,1)上单调递增且过(0,1)。选项B正确。7.参考答案：A解析：p''(x)=6x-6，令p''(x)=0得x=1。p(1)=1-3+1=-1。拐点为(1,-1)。选项A正确。8.参考答案：B解析：q'(x)=4x^3-8x=4x(x+2)(x-2)，令q'(x)=0得x=-2,0,2。q(-2)=15,q(0)=3,q(2)=15。极值点为0和2。选项B正确。9.参考答案：B解析：r'(x)=2xln(x)+x，r''(x)=2ln(x)+3。令r''(x)0得xe^-3/2。凹区间为(1,+∞)。选项B正确。10.参考答案：D解析：s(x)=x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)。无水平渐近线。选项D正确。二、填空题1.参考答案：2解析：函数f(x)=x^3-3x的导数为f'(x)=3x^2-3。令f'(x)=0，得x=±1。计算f(-2)=-10，f(-1)=2，f(1)=-2，f(2)=2。故最大值为2。2.参考答案：-1解析：函数g(x)=1/x的导数为g'(x)=-1/x^2。在点(1,1)处，g'(1)=-1。切线方程为y-1=-1(x-1)，即y=-x+2。与题意一致，故g'(1)=-1。3.参考答案：(1,0)和(3,0)解析：令h(x)=0，即x^2-4x+3=0。因式分解得(x-1)(x-3)=0。解得x=1或x=3。故交点坐标为(1,0)和(3,0)。4.参考答案：单调递增解析：函数k(x)=e^x-x的导数为k'(x)=e^x-1。在区间(0,+∞)上，e^x1，故k'(x)0。因此k(x)在该区间上单调递增。5.参考答案：2kπ+π/4≤x≤2kπ+5π/4,k∈Z解析：函数m(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)。最大值为√2时，sin(x+π/4)=1。解得x+π/4=2kπ+π/2，即x=2kπ+π/4。故x的取值范围是[2kπ+π/4,2kπ+5π/4]，k∈Z。6.参考答案：0解析：函数n(x)=|x-1|在x=1处取得最小值0。在区间[0,2]上，n(x)的最小值为0。7.参考答案：y=1解析：函数p(x)=x/(x-1)的垂直渐近线为x=1。水平渐近线为lim(x→∞)x/(x-1)=1，故水平渐近线为y=1。8.参考答案：1-2x+x^2解析：函数q(x)=x^3-3x^2+2x在x=1处的导数为q'(1)=3x^2-6x+2|_{x=1}=1。泰勒展开式前三项为q(1)+q'(1)(x-1)+q''(1)(x-1)^2/2=1+1(x-1)+0(x-1)^2/2=1-2x+x^2。9.参考答案：1解析：函数r(x)=ln(x)的导数为r'(x)=1/x。在x=1处，r'(1)=1。10.参考答案：1解析：函数s(x)=x^2e^(-x)的导数为s'(x)=2xe^(-x)-x^2e^(-x)=x(2-x)e^(-x)。令s'(x)=0，得x=0或x=2。计算s''(x)=(2-4x+x^2)e^(-x)。s''(1)=-e0，故x=1为极大值点。三、判断题1.参考答案：√解析：对于函数f(x)=x³，其导数f'(x)=3x²。由于3x²在定义域R上恒大于等于0，且仅当x=0时等于0，因此f(x)在定义域内单调递增。这符合函数单调性的判定定理，即若导数在区间内恒大于等于0，则函数在该区间上单调递增。2.参考答案：√解析：根据反函数的性质，若函数f(x)在区间(a,b)上单调递减，则其反函数f⁻¹(x)在对应区间(b,a)上单调。由于单调递减函数的反函数在其反对应区间上必单调递增，因此f⁻¹(x)在区间(a,b)上单调递增。这符合反函数单调性定理的推论。3.参考答案：×解析：函数f(x)=|x|在x=0处不可导。虽然其左右导数都存在且都等于0，但导数在x=0处存在跳跃，因此不满足可导的定义。在x≠0处，f(x)=|x|的导数存在且等于±1，但在整个定义域R上并非处处可导。4.参考答案：×解析：函数f(x)在x=c处取得极值仅是导数f'(c)等于0的必要条件而非充分条件。根据极值判定定理，f'(c)=0只是可能的极值点，还需要进一步检验该点两侧的导数符号变化才能确定是否为极值点。例如f(x)=x³在x=0处导数为0，但该点不是极值点。5.参考答案：√解析：函数f(x)=x²在(-1,1)区间上连续且开口向上，其图像为抛物线的一部分。在区间(-1,1)内，函数值最大为1（当x=1时取得），最小值趋近于0但永不取到（当x趋近于-1或1时无限接近0）。根据极值定理，连续函数在开区间上若有最值必在端点处取得，但本例中端点不在定义域内，因此无最小值。6.参考答案：×解析：连续单调函数必有界性仅在闭区间上成立。在开区间上连续单调的函数可能无界。例如函数f(x)=x在(0,+∞)上单调递增且连续，但该区间上无界。因此该命题仅对闭区间成立，对开区间不成立。7.参考答案：√解析：函数f(x)=sin(x)在(-π/2,π/2)区间上单调递增。其导数f'(x)=cos(x)，在(-π/2,π/2)区间上cos(x)恒大于0，因此f(x)在该区间上单调递增。这符合三角函数的基本性质。8.参考答案：√解析：根据极值判定定理，若函数f(x)在x=c处取得极值且导数f'(c)存在，则必有f'(c)=0。若f'(c)不为0，则x=c不可能取得极值。这是导数在极值判定中的基本应用，属于函数性质的重要结论。9.参考答案：√解析：函数f(x)=e^x的导数为f'(x)=e^x，二阶导数为f''(x)=e^x。由于e^x在定义域R上恒大于0，因此f''(x)在定义域R上恒大于0，这表明f(x)在定义域R上处处凹向向上。这符合指数函数的基本性质。10.参考答案：√解析：根据反函数存在定理，若函数f(x)在区间(a,b)上单调递增且连续，则其反函数f⁻¹(x)在对应区间(b,a)上存在且连续。由于题目条件已满足反函数存在定理的所有条件，因此其反函数必存在。这是反函数理论的基本结论。四、简答题1.参考答案：函数在其定义域的某个区间内，如果对于任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)≤f(x2)（或f(x1)≥f(x2)），那么就说函数f(x)在这个区间上是单调递增（或单调递减）的。解析：函数单调性是函数的重要性质之一，定义要求明确区间和不等号方向。单调递增指图像从左到右上升，单调递减指图像从左到右下降。此题考查对单调性定义的理解，需掌握定义中的任意性和不等号方向。错误选项可能混淆定义域与单调区间，或忽略“任意”二字。2.参考答案：函数f(x)是奇函数当且仅当对于其定义域内的任意x，都有f(-x)=-f(x)；函数f(x)是偶函数当且仅当对于其定义域内的任意x，都有f(-x)=f(x)。解析：奇偶性是函数的对称性质，判断时需先确认定义域是否关于原点对称。奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y轴对称。易错点在于忽略定义域对称性要求，或混淆奇偶性定义中的符号。此题考查对奇偶性定义和判断条件的掌握。3.参考答案：三个常见的具有周期性的函数是f(x)=sin(x)，f(x)=cos(x)，f(x)=tan(x)。解析：周期函数是指存在一个非零常数T，使得对于定义域内的任意x，都有f(x+T)=f(x)。三角函数是典型的周期函数，其中sin(x)和cos(x)的周期为2π，tan(x)的周期为π。此题考查对常见周期函数的列举，需掌握基本三角函数的周期。4.参考答案：函数f(x)=x^3-3x的极值点为x=1和x=-1。解析：求极值点需先求导数f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1。再通过二阶导数检验，f''(1)=-60为极大值点，f''(-1)=-60为极大值点。易错点在于忽略二阶导数检验或符号判断错误。此题考查导数在函数极值研究中的应用。5.参考答案：函数图像平移变换的规律是：函数y=f(x)向右平移a个单位得到y=f(x-a)，向左平移a个单位得到y=f(x+a)；函数y=f(x)向上平移b个单位得到y=f(x)+b，向下平移b个单位得到y=f(x)-b。解析：平移变换是函数图像的基本变换之一，需掌握左右平移与自变量变化方向相反，上下平移与因变量变化方向相同。易错点在于混淆平移方向与变量变化关系。此题考查对函数图像平移规律的掌握。6.参考答案：两个具有相同对称轴但不同开口方向的抛物线方程是y=x^2和y=-x^2。解析：抛物线y=ax^2+bx+c的对称轴为x=-b/2a，开口方向由a决定，a0开口向上，a0开口向下。y=x^2和y=-x^2的对称轴都是x=0，但前者开口向上，后者开口向下。此题考查对抛物线方程和性质的理解。7.参考答案：函数f(x)=1/x在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)内单调递减。解析：求导数f'(x)=-1/x^2，在定义域内恒小于0，故函数在两个区间上单调递减。易错点在于忽略定义域对单调性的影响，或错误计算导数符号。此题考查对反比例函数单调性的掌握。8.参考答案：函数f(x)=sin(x)+cos(x)的周期为2π。解析：利用三角函数和角公式sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)，可知其周期与sin(x)相同为2π。易错点在于忽略三角函数和角公式的应用，或错误计算周期。此题考查对三角函数周期性质的综合应用。五、应用题1.参考答案：最大值2，最小值-2解析：首先求导数f'(x)=3x^2-6x+2，令f'(x)=0得x=1±√3/3，计算f(-1)=0，f(1-√3/3)=4√3/9-1