高考数学一轮复习 第1讲　集合及其运算 学用

第一章集合与常用逻辑用语、不等式第1讲集合及其运算知识整合体系重构激活思维1．(教材经典题改编)若集合A＝{x|x2－1＝0}，则下列结论错误的是()A．1∈A B．{－1}⊆AC．∅⊆A D．{－1,1}∉A2．(多选)已知集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，B＝{x|2＜2x≤8}，则下列判断正确的是()A．A∪B＝BB．(∁RB)∪A＝{x|x≤2或x＞3}C．A∩B＝{x|1＜x≤2}D．(∁RB)∪(∁RA)＝R3．(教材经典题改编)已知集合A＝{1,3，a2}，B＝{1，a＋2}，若A∪B＝A，则实数a＝____．4．(教材经典题改编)已知集合A＝{x|0＜x＜a}，B＝{x|0＜x＜2}，若B⊆A，则实数a的取值范围为___．聚焦知识1．集合与元素(1)集合中元素的三个特性：____、____、____．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见集合的符号表示数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集复数集符号NN*或N＋ZQRC2．集合间的基本关系关系定义记法相等集合A与B的所有元素都相同A＝B子集A中任意一个元素均为B中的元素A⊆B或B⊇A真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素AB注意：若集合A中含有n(n≥1)个元素，则集合A有____个子集，____个真子集．3．集合的基本运算集合的并集A∪B集合的交集A∩B集合的补集∁UA图形表示意义{x|x∈A或x∈B}{x|x∈A且x∈B}{x|x∈U且x∉A}4．常见结论与等价关系(1)A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔B⊆A．(2)(∁UA)∪A＝___；∁U(∁UA)＝____．(3)摩根定律：∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．题型突破思维拓展举题说法集合中元素的性质例1(1)(多选)下列关于集合相等的说法正确的有()A．{x|x2＋1＝0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋4＞0，,x＋3＜0))))))B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x2＋1))))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x2＋1))))C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1－－1n,2)，n∈N*))))＝{x|－1＜x＜2，x∈N}D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(x－1)＋\r(1－x)))))＝{0,1}(2)若a，eq\f(b,a)，1组成的集合与a2，a＋b,0组成的集合为同一个含有三个元素的集合，则ab的值为____．(3)已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}．若A中只有一个元素，则a＝____；若A中至少有一个元素，则a的取值范围为____．(1)集合中的元素最重要的性质是互异性．(2)注意以下集合的差异：{y|y＝eq\r(x2－1)}；{x|y＝eq\r(x2－1)}；{(x，y)|y＝eq\r(x2－1)}；{y＝eq\r(x2－1)}．变式1已知集合A＝{1，m，n}，B＝{m2，m，mn}．若A＝B，则m2026·n2027＝()A．－1 B．0C．1 D．2集合间的关系例2(1)(2025·南阳期末)已知集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，－1，0，1，2))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y|y＝x2－x－6，x∈M))，则集合N的真子集个数为()A．7 B．8C．15 D．16(2)(2025·赣州一模)已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x2－2x－3＜0))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|3x－a＜0))，若A⊆B，则实数a的取值范围是()A．(9，＋∞) B．[9，＋∞)C．(－∞，－3) D．(－∞，－3](3)已知集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝m＋\f(1,6)，m∈Z))))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(n,2)－\f(1,3)，n∈Z))))，P＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(p,2)＋\f(1,6)，p∈Z))))，则M，N，P的关系为()A．M＝N⊆P B．M⊆N＝PC．M＝P⊆N D．N⊆P⊆M判断集合间关系的三种方法(1)列举法；(2)数轴法；(3)结构法：从元素的结构特点入手，化简变形后找差异．变式2已知集合A＝{x|x＜－1或x≥3}，B＝{x|ax＋1≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是()A．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1)) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))C．(－∞，－1)∪[0，＋∞) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))∪(0,1)集合间的运算视角1集合的基本运算例3－1(1)(多选)已知全集U＝{－2，－1,0,1,2,3,4}，集合A＝{x∈Z|x2－x＜6}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，0，1，3))，则下列方式中可表示图中阴影部分的是()(例3－1(1))A．{－1,2} B．∁(A∪B)BC．A∩(∁UB) D．(∁UA)∩(∁UB)(2)(2026·南昌期初)已知全集U＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜10，x∈N*))))，集合A，B是U的子集，若A∩B＝{2}，(∁UA)∩B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(5，7，9))，(∁UA)∩(∁UB)＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(6，8))，则集合A＝()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，3，4)) B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，4))C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3)) D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3，4))(1)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(2)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．变式3－1(2026·邯郸期初)已知集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x＜1))))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(logx2＞0))))，若全集U＝R，则M∩(∁UN)＝()A．(－∞，1) B．[1，＋∞]C．(－1,1) D．(0,1]视角2利用集合运算求参数例3－2(1)已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤1))))，非空集合B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(b＜x＜1－b))))，若A∩B＝B，则b的取值范围是____．(2)已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x2－5x＋6＝0))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x2－5x＋a＝0))，且B⊆A，则实数a的取值范围为____．变式3－2(2025·佛山一模)已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(1＜x＜a))))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，0，1，2))，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1) B．(－∞，2)C．(－∞，1] D．(－∞，2]集合新定义问题例4(多选)设集合X是实数集R的子集，如果点x0∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈X，使得0＜|x－x0|＜a，那么称x0为集合X的聚点，用Z表示整数集，则下列集合中以0为聚点的是()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(n,n＋1)|n∈Z，n≥0)) B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x∈R，x≠0))C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)|n∈Z，n≠0)) D．整数集Z此类题的关键是读懂新定义的意义，在领会新定义的基础上，可通过举例的方法明晰新定义的内涵和外延，将其运用到新的情境中，进而对结论作出判断．变式4(多选)设P是一个数集，且至少含有两个数．若对于任意a，b∈P，都有a＋b，a－b，ab∈P，且若b≠0，eq\f(a,b)∈P，则称P是一个数域．例如，有理数集Q是数域．下列说法正确的是()A．数域必含有0,1两个数B．整数集是数域C．若有理数集Q⊆M，则数集M一定是数域D．数域中有无限多个元素随堂内化1．(2025·广州一模)已知集合A＝{x|0≤x≤a}，B＝{x|x2－2x≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是()A．(0,2) B．(0,2]C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)2．(2025·苏北七市二调)设集合U＝R，M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞1))))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＜x＜2))))，则{x|x≤－1}等于()A．∁U(M∩N) B．∁U(M∪N)C．M∪(∁UN) D．N∪(∁UM)3．(2025·漳州三模)已知集合A＝{x|2x－1＜0}，B＝{x|ex＜2}，则()A．A∪B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜\f(1,2))))) B．A∩B＝{x|x＜ln2}C．A∪(∁RB)＝R D．B∪(∁RA)＝R4．某班有38名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组．已知有27人参加数学小组，有16人参加物理小组，有14人参加化学小组，同时参加数学和物理小组的有7人，同时参加物理和化学小组的有5人，则同时参加数学和化学小组的有____人．配套精练一、单项选择题1．(2025·全国Ⅰ卷)设全集U＝{x|x是小于9的正整数}，集合A＝{1,3,5}，则∁UA中元素个数为()A．0 B．3C．5 D．82．(2025·全国Ⅱ卷)已知集合A＝{－4,0,1,2,8}，B＝{x|x3＝x}，则A∩B＝()A．{0,1,2} B．{1,2,8}C．{2,8} D．{0,1}3．(2025·福州三模)已知全集为R，A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|log2x∈Z))，则图中阴影部分表示的集合是()A．{1}B．{2}C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2))D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，1，2，4))4．(2025·南京、盐城一模)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|x＋a≤0}．若A⊆B，则实数a的取值范围是()A．(－∞，2) B．(－∞，2]C．(－∞，－2) D．(－∞，－2]5．(2026·南通期初)已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，4，a2))，B＝{4,2a}，若A∩B＝B，则实数a的取值集合为()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C．{0,2} D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，2))6．(2025·福州二模)已知全集U＝A∪B＝{1,2,3,4}，A∩(∁UB)＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，4))，B∩(∁UA)＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1))，则A∩B＝()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3，4)) B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，3))C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，3，4)) D．{3}7．已知全集U＝{x∈N*|－2＜x＜9}，M＝{3,4,5}，P＝{1,3,6}，则(∁UM)∩(∁UP)是()A．{2,7,8} B．{2,3,4,5,7,8}C．{1,2,4,5,6,7,8} D．{1,2,3,6,7,8}8．(2025·保定二模)若集合A＝{(x，y)|y＝(x－1)(x－5)}，B＝{(x，y)|y2＝4x}，则A∩B的真子集的个数为()A．3B．4C．7 D．159．若数集A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a1，a2，…，an))(1≤a1＜a2＜…＜an，n≥2)具有性质P：对任意的i，j(1≤i＜j≤n)，aiaj与eq\f(aj,ai)中至少有一个属于A，则称集合A为“权集”，则()A．{1,3,4}为“权集”B．{1,2,3,6}为“权集”C．“权集”中元素可以有0D．“权集”中一定有110．某校田径运动会上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加100米比赛，有7人参加400米比赛，有5人参加1500米比赛，100米和400米都参加的有4人，100米和1500米都参加的有3人，400米和1500米都参加的有3人，则下列说法不正确的是()A．三项比赛都参加的有2人B．只参加100米比赛的有3人C．只参加400米比赛的有3人D．只参加1500米比赛的有1人二、多项选择题11．(2025·萍乡二模)已知全集U＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3，4，5，6))，集合A⊆U，B⊆U，且满足A∩B＝{3,5}，(∁UA)∩(∁UB)＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，4))，则下列说法正确的有()A．4∈AB．6∈(A∪B)C．集合A可能是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，3，5，6))D．(∁UA)∪(∁UB)＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，4，6))12．若非空集合M，N，P满足M∩N＝N，M∪P＝P，则()A．P⊆M B．M∩P＝MC．N∪P＝P D．M∩(∁PN)＝∅13．我们知道，若集合A⊆S，那么A的补集为∁SA＝{x|x∈S且x∉A}．类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A且x∉B}叫做集合A和B的差集，记作A－B．例如：A＝{1,2,3,4,5}，B＝{4,5,6,7,8}，则有A－B＝{1,2,3}，B－A＝{6,7,8}．下列说法正确的有()A．若A＝{4,5,6,7,9}，B＝{3,5,6,8,9}，则B－A＝{3,7,8}B．如果A－B＝∅，那么A⊆BC．已知全集U，集合A，集合B的关系如图所示，则B－A＝A∩(∁UB)D．已知A