高考数学一轮复习 第49讲　计数原理 学用

第十章计数原理、概率及其分布第49讲计数原理知识整合体系重构激活思维1．(教材经典题)一项工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是__________．2．(教材经典题)从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同路线的条数是_______．3．(教材经典题)有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成绩，现要从中选3门成绩．如果物理和化学恰有1门被选，那么共有_________种不同的选法．4．(教材经典题)乘积(a1＋a2＋a3)(b1＋b2＋b3)(c1＋c2＋c3＋c4＋c5)展开后共有__________项．5．(教材经典题)学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序．除第1个节目和最后1个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2,5,7,10的位置，3个舞蹈节目要求排在第3,6,9的位置，2个曲艺节目要求排在第4,8的位置，有_________种不同的排法．聚焦知识1．两个计数原理的区别与联系

分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点用来计算完成一件事的方法种数不同点分类、相加分步、相乘每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事每步依次完成才算完成这件事情(每步中的每一种方法不能独立完成这件事)注意点类类独立，不重不漏步步相依，缺一不可2．排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照_________排成一列组合作为一组3．排列数与组合数(1)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有___________的个数，用符号_________表示．(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有__________的个数，用符号_________表示．4．排列数、组合数的公式及性质公式(1)Aeq\o\al(m,n)＝__n(n－1)(n－2)·…·(n－m＋1)__＝eq\f(n！,n－m！)(n，m∈N*，且m≤n)．(2)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)＝eq\f(n！,m！n－m！)(n，m∈N*，且m≤n)．特别地，Ceq\o\al(0,n)＝1性质(1)0！＝__________；Aeq\o\al(n,n)＝__________．(2)Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；Ceq\o\al(m,n＋1)＝__________．(3)kCeq\o\al(k,n)＝nCeq\o\al(k－1,n－1)．(4)Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m,n－1)＋…＋Ceq\o\al(m,m)＝Ceq\o\al(m＋1,n＋1)题型突破思维拓展举题说法两个计数原理的应用例1(1)(2025·武汉2月调研)有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为()A．40 B．48C．52 D．60(2)(2025·景德镇二模)小崔和小汪两位好朋友想体验制作一把属于自己的漂漆扇，她们每人欲从8种不同颜色(有一种颜色是黑色)的大漆中随机选4种不同的颜色，两人约定不能同时选黑色，且她们两人之间有且只有两种颜色相同，则她们不同的选漆方法共有________种．思路：(1)弄清完成一件事是做什么；(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类；(3)弄清分步、分类的标准是什么；(4)利用两个计数原理求解．变式1(1)(2025·马鞍山二模)如图，一个圆环分成A，B，C，D四个区域，用3种颜色(全部用完)对这四个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法的种数为_________．(2)(2025·黄山二模)某单位在“五一”假期，需要从5人中选若干人在5天假期值班(每天只需1人值班)，不出现同一人连续值班2天的情况，共有________种不同的安排方法．排列与组合视角1相邻、相间问题例2－1(1)(2025·泰州一模)由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1,3不相邻的六位数的个数为_________．(2)(2026·镇江期初)某数学兴趣小组的6名同学排成一排照相，其中甲、乙两名同学必须彼此相邻，丙不在队伍两头的安排方式共有_________种．相邻、相间问题的解题策略(1)n个不同元素排成一排，要求k个元素相邻：先将这k个元素“捆绑在一起”，当作一个元素同其他元素一起进行全排列，共有Aeq\o\al(n－k＋1,n－k＋1)种排法，然后再将“捆绑”在一起的元素“内部”进行排列，共有Aeq\o\al(k,k)种排法，根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有Aeq\o\al(n－k＋1,n－k＋1)·Aeq\o\al(k,k)种．(2)对于不相邻的排列问题，我们往往先安排无约束条件的元素，再让不相邻的其余元素插空排列，即先排m＋n个元素中无约束条件的n个元素，然后将有约束条件的m个元素插入n＋1个空位中，则共有Aeq\o\al(n,n)·Aeq\o\al(m,n＋1)种排法．变式2－1(2025·厦门四模)A，B，C，D四个人排成一排，当A，B相邻时，A必须在B的右边，那么不同的排法共有________种．视角2分组分配问题例2－2(1)(2025·九江三模)含甲、乙的5名同学分成两组参加志愿服务活动，则甲、乙不同组的分配方案有()A．6种 B．8种C．12种 D．16种(2)将5名志愿者分配到三个社区协助开展活动，每个志愿者去一个社区，每个社区至少1名志愿者，则不同的分配方法种数是()A．300 B．240C．150 D．50对于不同元素的分配问题，可以按需分配(即定人又定数可直接取)，也可按先分组后分配的方式处理．(1)整体均匀分组：解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以Aeq\o\al(n,n)(n为均分的组数)，避免重复计数．(2)部分均匀分组：解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数．(3)不均匀分组：解答本类题，只需先分组，后排列，注意分组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．变式2－2(2025·郑州三模)一名游客计划在三天内品尝完以下六种河南特色美食：烩面、胡辣汤、灌汤包、道口烧鸡、焖饼、黄河鲤鱼．该游客每天从这六种美食中选择1到3种进行品尝(每天必须选择且不能重复选择已品尝过的美食)．若三天后恰好品尝完所有美食，则不同的选法种数为()A．450 B．360C．180 D．90视角3定序问题例2－3在一次学校组织的研究性学习成果报告会上，有A，B，C，D，E，F共6项成果要汇报，如果B成果不能最先汇报，而A，C，D按先后顺序汇报(不一定相邻)，那么不同的汇报安排种数为()A．100 B．120C．300 D．600解定序问题的三种方法(1)倍缩法：先不考虑顺序限制，再除以定序元素的全排列；(2)插入法：定序元素排好后，把剩下的元素依次插入；(3)空位法：在所有位置中先把定序元素之外的元素排好，剩下的空位再排定序元素．变式2－3将甲、乙、丙等六位同学排成一排，且甲、乙在丙的两侧，则不同的排法种数为()A．480 B．360C．120 D．240隔板法例3已知x，y，z∈N*，且x≥1，y≥2，z≥3，则方程x＋y＋z＝10的解的组数为________．把n个相同的小球放到m(m＜n)个不同盒子中，不同放法的种数：(1)若每个盒子至少放一球，则只需在n个小球产生的n－1个间隙中放置m－1块隔板分隔成m份即可，共有Ceq\o\al(m－1,n－1)种不同放法．(2)若允许某些盒子不放球，则相当于在n＋m－1个位置中选放m－1块隔板，共有Ceq\o\al(m－1,n＋m－1)种不同放法．变式3(2025·承德期末)《九章算术》是我国古代数学名著之一，其中记载了关于粟米分配的问题．现将14斗粟米分给4个人，每人分到的粟米斗数均为整数，每人至少分到1斗粟米，则不同的分配方法有()A．715种 B．572种C．312种 D．286种随堂内化1．(2025·秦皇岛一模)某单位计划从5人中选4人值班，每人值班一天，其中第一、二天各安排一人，第三天安排两人，则安排方法种数为()A．30 B．60C．120 D．1802．(2023·全国乙卷理)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有()A．30种 B．60种C．120种 D．240种3．(2025·三明5月质检)县委组织部拟派六位大学生村官对五个贫困村进行驻村帮扶，每位大学生村官只去一个贫困村，每个贫困村至少派一位大学生村官，其中甲、乙两位大学生村官派遣至不同的贫困村，则不同的派遣方案共有()A．1440种 B．1680种C．1800种 D．2400种4．(2025·泰州一调)对一排8个相邻的格子进行染色，每个格子均可从红、蓝两种颜色中选择一种，要求不能有相邻的格子都染红色，则满足要求的染色方法共有()A．89种 B．55种C．54种 D．34种配套精练A组夯基精练一、单项选择题1．(2022·新高考Ⅱ卷)有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，则甲不站在两端，且丙和丁相邻的不同的排列方式有()A．12种 B．24种C．36种 D．48种2．(2023·全国甲卷理)有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为()A．120 B．60C．40 D．303．(2026·武汉期初)将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为()A．72 B．84C．96 D．1084．如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有()A．120种 B．180种C．221种 D．300种5．(2025·抚顺二模)某高校要在假期安排甲、乙等5名大学生到A，B，C三个公司进行社会实践，要求每个公司都要有大学生去，且甲和乙都不能去A公司，则不同的安排方式有()A．50种 B．56种C．60种 D．62种6．(2025·大同期初)某商场举办购物抽奖活动，其中将抽到的各位数字之和为8的四位数称为“幸运数”(如2024是“幸运数”)，并获得一定的奖品，则首位数字为2的“幸运数”共有()A．32个 B．28个C．27个 D．24个二、多项选择题7．小明、小华、小红、小兰四位同学分别到镇江的南山、焦山、北固山参观旅游，要求每位同学只去一个地方，每个地方至少安排一位同学参观，则下列说法正确的是()A．若安排两位同学去焦山，则有12种安排方法B．若安排小红和小兰去同一个地方参观，则有6种安排方法C．若小华不去南山参观，则有24种安排方法D．共有18种安排方法8．现有4个小球和4个盒子，下列说法正确的是()A．将4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子中，共有24种放法B．将4个相同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子中，恰有两个空盒的放法共有18种C．将4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子中，恰有一个空盒的放法共有144种D．将编号为1,2,3,4的小球放入编号为1,2,3,4的盒子中，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同的放法共有9种三、填空题9．(2025·湛江二模)4名医生和2名护士站成一排，要求2名护士不相邻，且医生甲不站在队伍的最左端，则不同的站法共有_________种．10．(2023·新高考Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种．11．(2025·厦门二模)在元旦期间，要从5人中选若干人在3天假期值班(每天只需1人值班)，不出现同一人连续值班2天，则可能的安排方法有_________种．12．(2025·广州一模)将1,2,3，…，9这9个数字填在3×3的方格表中，要求每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小．若将4填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法共有____种．9ABC4DEF113．(2025·邯郸一模)设一个三位数的个位、十位、百位上的数字分别为a，b，c，若b＞a，b＞c，则称这个三位数为“峰型三位数”，例如251和121都是“峰型三位数”．在由0,1,2,3,4,5中的部分数字组成的三位数中，“峰型三位数”的个数为____________．B组能力提升练14．(2026·漳州一检)在平面直角坐标系xOy中，横坐标与纵坐标都是整数的点叫做整点，从整点(x，y)到整点(x＋1，y＋1)或(x＋1，y－1)的有向线段叫做一个T步，从整点A到整点B的一条T路是指由若干个T步组成的起点为A、终点为B的有向折线．则整点M(1,2)到整点N(7,4)的T步的条数为_________