高考数学一轮复习 微专题11　空间几何体中的截面和轨迹问题 学用

空间几何体中的截面和轨迹问题截面问题例1(1)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱AA1，BC，CC1的中点，则平面EFG被正方体所截得的截面面积为____________．(2)如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1，M，N分别是线段BB′，DD′上靠近B，D的三等分点．过点A′，M，N作该正方体的截面，则截面图形的周长为_____________，面积为____________．作多面体截面的方法(1)直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程；(2)若面上只有一个已知点，应设法在同一平面上再找出第二个确定的点；(3)若两个已知点分别在相邻的面上，应找出这两个相邻平面的交线与截面的交点；(4)同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点；(5)平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线；(6)若已知点在几何体内部，则可通过辅助平面找出面上的交点，再找出棱上的交点．变式1(1)在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1，B，M作正方体的截面，则这个截面的形状是_________，截面的面积是_________．(2)已知三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分别为棱BB1，A1C1的中点，过A，M，N作三棱柱的截面交B1C1于点E，且B1E＝2，则B1C1＝_________．轨迹问题例2(1)在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是棱BC的中点，点Q满足eq\o(CQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CC1,\s\up6(→))，点F在侧面BB1C1C内，且A1F∥平面APQ，则点F的轨迹长度为___________．(2)设P为棱长是2eq\r(,5)的正方体ABCD－A1B1C1D1的内切球O球面上的动点，M为B1C1的中点．若DP⊥BM，则动点P的轨迹的长度为_________．(3)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，M为A1D1的中点，动点P在正方形ABCD内(包含边界)运动，且MP＝eq\r(,5)，则动点P的轨迹长度为_________．(4)(2025·九江一模)在棱长为eq\r(3)的正方体ABCD－AB1C1D1中，点P在正方体内(包含边界)运动．若直线A1P与DC所成角为eq\f(π,6)，则动点P所围成的图形的面积是()A．eq\f(π,4) B．eq\f(π,2)C．eq\f(3π,4) D．π(5)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，动点P在正方形ABCD及其边界上运动，且满足〈eq\o(D1A,\s\up6(→))，eq\o(D1P,\s\up6(→))〉＝eq\f(π,6)，则动点P的轨迹为()A．抛物线的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．以上都不对动点轨迹问题，若不能直接判断轨迹形状，则可以通过建系的办法来计算，通过位置或长度关系得到动点在对应平面内的方程，从而结合平面几何知识确定轨迹的位置和形状．变式2(多选)如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是CC1的中点，N是底面正方形ABCD内的动点(包括边界)，则下列说法正确的是()A．不存在点N满足∠A1NM＝eq\f(π,2)B．满足A1N＝eq\r(,5)的点N的轨迹长度是eq\f(π,2)C．满足MN∥平面A1BC1的点N的轨迹长度是1D．满足B1N⊥A1M的点N的轨迹长度是eq\r(,2)配套精练一、单项选择题1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，Q是棱DD1上的动点，则过A，Q，B1三点的截面图形不可能是()A．等边三角形 B．矩形C．等腰梯形 D．正方形2．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为截面A1C1B上的动点，若DP⊥A1C，则点P的轨迹长度是()A．eq\f(\r(2),2) B．eq\r(2)C．eq\f(1,2) D．13．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BC的中点，用过点A1，E，C1的平面截正方体，则截面周长为()A．3eq\r(2)＋2eq\r(5) B．9C．2eq\r(2)＋2eq\r(5) D．3eq\r(2)＋2eq\r(3)4．如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AD⊥平面PAB，AD＝4，BC＝8，AB＝6，∠APD＝∠BPC，则满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹为()A．圆 B．不完整的圆C．抛物线 D．抛物线的一部分5．已知P是棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1表面上的动点，若直线AP与平面ABCD所成的角的大小为eq\f(π,4)，则点P的轨迹长度为()A．3eq\r(2) B．2eq\r(2)＋πC．eq\f(\r(2),2)(4＋π) D．2eq\r(2)＋eq\f(π,2)二、填空题6．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面ADD1A1上的动点，且PC1∥平面AEF，则点P的轨迹长度为____________．7．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为B1C1的中点，若点Q在侧面正方形ADD1A1内(包含边界)且MQ⊥A1C，则点Q的轨迹长度为___________．8．已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的侧棱长为3，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝eq\f(π,3)，M为棱DD1上的一点且MD＝1，P为底面ABCD内一动点(含边界)，且PM与平面ABCD所成的角为eq\f(π,4)，则点P的轨迹与直四棱柱的交线长为____________．9．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，M，N分别为A1D，D1C的中点，则过B，M，N三点的截面面积是___________．10．(2025·郑州二检节选)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点：(1)若过A，D1，E三点的截面把正方体分成两部分，则该截面的周长为___________；(2)若Q是正方形B1BCC1内的动点，A1Q⊥BC1，则点Q的轨迹长度为___________．11．(2025·石家庄一检节选)在正方体ABCD－A1B1C1D1