高中数学导学案 第八节　函数的图象

第八节函数的图象新课标要求真题分布1.了解用图象表示函数的方法，会画简单函数的图象，理解函数图象的作用．2．能够借助不同的情境识别函数的图象并能够应用函数的图象解决实际问题．2025年全国Ⅰ卷T8必备知识·助学教材清单式排查彰显一个“准”知识清单1.利用描点法作函数图象的方法步骤：列表、描点、连线．剖析运用描点法作图前，必须对图象的特征(包括图象的存在范围、大致形状、变化趋势等)做到心中有数，这样可减少列表的盲目性和连点成线的随意性，从而确保表列在关键处，线连在恰当处．2．利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)对称变换①y＝f(x)的图象关于x轴对称y＝②y＝f(x)的图象关于y轴对称y＝③y＝f(x)的图象关于原点对称y＝________的④y＝ax(a>0，且a≠1)的图象关于直线y=x对称y＝(3)伸缩变换y＝f(x)的图象纵坐标不变,各点横坐标变为原来的1a(a>0)y＝f(ax)的图象y＝f(x)的图象横坐标不变,各点纵坐标变为原来的A(A>0)倍y＝Af(x)的图象．(4)翻折变换①y＝f(x)的图象保留x轴上方图象,将x轴下方图象翻折上去y＝________的图象．②y＝f(x)的图象保留y轴右侧图象，并作其,关于y轴对称的图象y＝________的图象．剖析图象的左右平移仅仅是相对于x而言的，如果x的系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换．图象的上下平移仅仅是相对于y而言的，利用“上加下减”进行．自主诊断1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝|f(x)|为偶函数．()(2)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位长度得到．()(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．()(4)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称．()2．(人教A版必修一P101T12改编)函数f(x)＝x－1x的图象关于(A．y轴对称B．x轴对称C．原点对称D．直线y＝x对称3．(人教A版必修一P72练习T1改编)所给四个图象中，与下列所给3件事吻合最好的顺序为()(1)我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；(2)我骑着车离开家后一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；(3)我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进．A．①②④B.②③④C．①③④D.④①②4．函数y＝f(x)的图象与y＝ex的图象关于y轴对称，把y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝________．考教衔接·活用教材探究式精练收获一个“赢”命题点一函数图象的变换例1(1)(链接·2025年北京卷)为得到函数y＝9x的图象，只需把函数y＝3x的图象上的所有点()A．横坐标变成原来的12B．横坐标变成原来的2倍，纵坐标不变C．纵坐标变成原来的13D．纵坐标变成原来的3倍，横坐标不变(2)作出下列函数的图象：①y＝2x-1x-1②y＝|log2(x＋1)|.[听课笔记]学霸笔记：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称变换得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响．跟踪训练(1)要得到y＝lgx－1的图象，只需将函数y＝lgx的图象上所有点的横坐标()A．缩小到原来的110(纵坐标不变B．扩大到原来的10倍(纵坐标不变)C．向左移动1个单位(纵坐标不变)D．向右移动1个单位(纵坐标不变)(2)作出下列函数的图象：①f(x)＝|2x－2|(x∈R)；②y＝x2－2|x|－1.命题点二函数图象的识别考向1由式选图例2函数f(x)＝－x2＋(ex－e－x)sinx在区间[－2.8，2.8]的图象大致为()[听课笔记]学霸笔记：(1)由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置．(2)由函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)由函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)由函数的周期性，判断图象是否循环往复．(5)由函数的特殊点，排除不符合要求的函数图象．跟踪训练函数f(x)＝(x3－5x)cosx的部分图象大致为()考向2由图选式(求参)例3(1)已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为()A．f(x)＝sinxx2+1 B．f(C．f(x)＝(x2＋1)sinx D．f(x)＝xsinx(2)(多选)已知函数f(x)＝ax+bx+c2的部分图象如图所示，则下列结论正确的为(A．a<0B．b>0C．1a>1bD．a[听课笔记]学霸笔记：(1)从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域．(2)从图象的变化趋势，观察函数的单调性．(3)从图象的对称性，观察函数的奇偶性．(4)从图象是否循环往复，观察函数的周期性．(5)从图象与x轴的交点情况，观察函数的零点．跟踪训练(1)如图，下列函数的图象和如图最接近的是()A．y＝2x－x2－1B．y＝(x2－2x)exC．y＝2D．y＝x(2)(2026·商丘模拟)函数f(x)＝ax+bx+c2的图象如图所示，则(A．a<0，b<0，c<0B．a>0，b<0，c<0C．a>0，b>0，c>0D．a<0，b>0，c>0命题点三函数图象的应用考向1解不等式例4函数y＝f(x)的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧(如图所示)，则不等式f(x)<f(－x)＋2x的解集为()A．{x|－22<x<0，或22<xB．{x|－1≤x<－22，或22<xC．{x|－1≤x<－22，或0<x<2D．{x|－22<x<22，或x[听课笔记]学霸笔记：当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解．跟踪训练已知函数f(x)在R上单调且其部分图象如图所示，若不等式－2<f(x＋t)<4的解集为(－1，2)，则实数t的值为________．考向2求参数的范围例5已知函数若关于x的方程f(x)＝m有5个不等的实根，则实数m的取值范围为()A．(0，2)B．(0，2]C．(1，2]D．(1，2)[听课笔记]学霸笔记：利用函数图象求参数范围问题，一般先准确地作出函数图象，利用函数图象的直观性，结合其性质，求解参数问题．跟踪训练已知函数f(x)＝x|2x－a|.若存在实数m，使得f(x)＝m在区间[1，2]上有两个不等实数根，则实数a的取值范围为()A．(2，4)B．(4，8)C．(2，8)D．(2，4)∪提示：请完成课时作业13第八节函数的图象必备知识·助学教材知识清单2．(1)f(x)＋kf(x＋h)f(x－h)f(x)－k(2)①－f(x)②f(－x)③－f(－x)④logax(a>0，且a≠1)(4)①|f(x)|②f(|x|)自主诊断1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．解析：函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，关于原点对称．故选C.答案：C3．解析：(1)根据描述，离家的距离先增加，再减少到零，再增加，如此只有图象④符合；(2)根据描述，离家的距离应该先沿直线上升，然后在一段时间内保持不变，最后继续沿直线上升，符合的图象为①；(3)根据描述，符合的图象为②.故选D.答案：D4．解析：由题意可知f(x)＝e－x，把y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到g(x)＝e－(x-1)＝e－x+1的图象．答案：e－x+1考教衔接·活用教材例1解析：(1)因为y＝9x＝32x，所以将函数y＝3x的图象上所有点的横坐标变成原来的12，纵坐标不变，即可得到函数y＝9x的图象．故选A.答案：(2)①由y＝2x-1x-1得y＝1x-1＋作出y＝1x的图象，将y＝1x的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位，即得y＝1x-1＋2②作出y＝log2x的图象，将此图象向左平移1个单位，得到y＝log2(x＋1)的图象，再保留其y≥0部分，加上其y＜0的部分关于x轴的对称部分，即得y＝|log2(x＋1)|的图象．答案：(1)A(2)见解析跟踪训练解析：(1)因为y＝lgx－1＝lgx10，所以由函数图象的变换知，只需将函数y＝lgx的图象上所有点的横坐标扩大到原来的10倍(纵坐标不变)．故选B(2)①作出函数y＝2x的图象，并沿y轴负方向平移2个单位得到y＝2x－2的图象，再将所得的图象在x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方与y＝2x－2在x轴上方的图象合在一起得到y＝|2x－2|的图象，如图中实线．②因为y＝x2-2x-1，x≥0，x2+2x-1，x<0，且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的答案：(1)B(2)见解析例2解析：f(－x)＝－x2＋(e－x－ex)sin(－x)＝－x2＋(ex－e－x)sinx＝f(x)，又函数的定义域为[－2.8，2.8]，故该函数为偶函数，可排除AC；又f(1)＝－1＋e-1esin1>－1＋e-1esinπ6＝e2-1-答案：B跟踪训练解析：函数f(x)＝(x3－5x)cosx的定义域为R，且f(－x)＝(－x3＋5x)cos(－x)＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数，图象关于原点对称，AD不符合要求；又f(1)＝－4cos1<0，C不符合要求，B符合．故选B.答案：B例3解析：(1)由题图可得f(x)为奇函数，而f(x)＝xsinx为偶函数，故D错误；由图可得f(x)在x＝0处有定义，而f(x)＝sinxx2的定义域为{xx≠0，故B错误；由图可得1>f1>fπ解析：(2)由题图反映的函数定义域得c＝1，f(x)＝ax+bx+12，f(0)＝b>0，B正确；f(x)＝0⇒x＝－ba，所以－ba<－1，所以b>a>0，A错误，所以1b<1a，C正确，又ab-a+c答案：(1)A答案：(2)BC跟踪训练解析：(1)由题图可得[0，＋∞)为函数定义域的真子集，且当x<0时函数为正，对于A，当x＝－2时，2-2－(－2)2－1＝－5＋14＝-194<0，故A不符合；对于D，y＝xlnx的定义域为(0，1)∪(1，＋∞)，故D不符合；对于C，当x＝－π解析：(2)依题意，函数f(x)的定义域为{x|x≠－c}．由图象可得－c>0，所以c<0；由f(0)＝bc2<0，所以b<0；由图可知a≠0，否则当a＝0时，f(x)＝0无解，和x轴无交点，不符合题意，令f(x)＝0，得x＝－ba>0，所以a答案：(1)B答案：(2)B例4解析：根据图象可知函数f(x)是定义在[－1，0)∪(0，1]上的奇函数，故f(－x)＝－f(x).所以原不等式转化为f(x)<－f(x)＋2x.即f(x)<x，如图所示．由图可知A22，22，B-22，-22答案：A跟踪训练解析：由题图可知不等式－2<f(x＋t)<4，即f(3)<f(x＋t)<f(0)，由题图知函数f(x)单调递减，所以x＋t∈(0，3)，即不等式的解集为(－t，3－t)，又因为等式－2<f(x＋t)<4的解集为(－1，2)，所以－t＝－1且3－t＝2，可得t＝1.答案：1例5解析：因为当x≤0时，f′(x)＝－32(x2＋4x＋3)＝－32(x＋3)(x＋1)，所以当x∈(－∞，－3)∪(－1，0)时，f′(x)<0，当x∈(－3，－1)时，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，－3)，(－1，0)上单调递减，在(－3，－1)上单调递增，所以f(x)的极小值为f(－3)＝0，f(x)的极大值为f(－1)＝2；当x>0时，f(x)＝log32x＝-log32x，0<