高中数学导学案 微专题4　导数中的构造问题

微专题4导数中的构造问题多元视角·拓展教材开放式拓展实现一个“广”视角一构造具体函数比较大小例1：(1)若a＝1618，b＝e1e，c＝3A．a<b<cB．a<c<bC．b<c<aD．c<b<a(2)(2026·广州期末)已知函数f(x)＝－xex，若0<a<1，0<b<1且满足aea+1＝beb，则(A．f(a)>f(b)B．f(a)<f(b)C．f(a)＝f(b)D．f(a)，f(b)的大小关系不能确定学霸笔记：根据所给代数式(等式、不等式)中数学运算的相同点或者结构形式的相同点，构造具体的函数解析式，利用导数研究该函数的性质从而解决问题．跟踪训练(1)已知5a＝2(ln5－ln2)，b＝1e，2c＝ln2，则a，b，c的大小关系为(A．b>a>cB．a>c>bC．a>b>cD．b>c>a(2)已知x，y∈(0，＋∞)，x，y满足x2－y>lny－2lnx，则()A．y－2x>0B．y－x2>0C．2x－y>0D．x2－y>0视角二构造抽象函数解不等式或比较大小题型1构造f(x)±g(x)型可导函数例2：(2026·唐山模拟)设f′(x)是函数f(x)的导函数，若对任意x∈R都有f′(x)<2，f(2)＝3，则使得f(ex)<2ex－1成立的x的取值范围是________．学霸笔记：当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f′(x)±g′(x)”时，不妨联想、逆用“f′(x)±g′(x)＝(f(x)±g(x))′”，构造可导函数y＝f(x)±g(x)，然后利用该函数的性质巧妙地解决问题．跟踪训练定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，若f′(x)>3，f(2)＝6，则f(x)>3x的解集为()A．(－∞，0)B．(－∞，2)C．(0，＋∞)D．(2，＋∞)题型2构造f(x)·g(x)型可导函数例3：(1)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，满足f(x)＋f′(x)>0(f′(x)为f(x)的导函数)，设a＝ef(1)，b＝e3f(3)，c＝e2f(2)，则()A．a>b>cB．b>c>aC．b>a>cD．a>c>b(2)(2026·驻马店模拟)定义在R上的奇函数f(x)(f(x)不是常数函数)的导函数为f′(x)，当x≥0时，恒有3f(x)＋xf′(x)≥0，则不等式x3f(x)<(3x－1)3f(3x－1)的解集为()A．-∞，1B．1C．-∞D．1学霸笔记：当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)”时，可联想、逆用“f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)＝(f(x)·g(x))′”，构造可导函数y＝f(x)·g(x)，然后利用该函数的性质巧妙地解决问题．跟踪训练已知定义在0，π2上的函数f(x)，f′(x)是它的导函数，且恒有f(x)cosx＋f′(x)sinx>0成立，则A．2fπ4>3fπB．f(1)sin1<12fC．fπ6>2fπD．fπ6<3f题型3构造fx例4：(2026·萍乡模拟)已知函数y＝f(x)定义域为(0，＋∞)，f′(x)为其导函数，若xf′(x)－2f(x)>0恒成立，且f12＝14，则不等式f(x)<x2的解集为(A．(0，1)B．0C．12，+∞D．(1[听课笔记]学霸笔记：当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f′(x)·g(x)－f(x)·g′(x)”时，可联想、逆用“f'x·gx-fx·跟踪训练已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(x)－f(x)<0，f(1)＝e，则不等式f(x)>ex的解集为__________．提示：请完成微专题4微专题4导数中的构造问题例1解析：(1)因为a＝1618＝414>0，b＝e1e>0，c＝313>0，所以lna＝ln44，lnb＝lnee，lnc＝ln33.设函数f(x)＝lnxx，则f′(x)＝1-lnxx2，当x∈[e，＋∞)(2)因为aea+1＝beb，所以aea·e＝beb，所以aea<beb，令g(x)＝xex(0<x<1)，求导可得g′(x)＝ex＋xex＝(x＋1)ex，当0<x<1，可得g′(x)>0，所以g(x)在(0，1)上单调递增，所以a<b，由f(x)＝－xex，可得f′(x)＝－1×ex-xexex2＝-1-xe答案：(1)B(2)A跟踪训练解析：(1)因为a＝ln5252，b＝1e＝lnee，c＝ln22，所以令f(x)＝lnxx，则f′(x)＝1-lnxx2>0(2)设g(x)＝x＋lnx，x>0，所以g′(x)＝1＋1x>0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为x2－y>lny－2lnx，所以x2+lnx2>y＋lny，所以g(x2)>g(y)，所以x2>y，即x答案：(1)A(2)D例2解析：设g(x)＝f(x)－2x，则g′(x)＝f′(x)－2<0，g(2)＝f(2)－2×2＝－1，可知g(x)在R上单调递减，由f(ex)<2ex－1，得f(ex)－2ex<－1，即g(ex)<g(2)，故ex>2，则x>ln2，即使得f(ex)<2ex－1成立的x的取值范围是(ln2，＋∞)．答案：(ln2，＋∞)跟踪训练解析：令函数g(x)＝f(x)－3x，求导得g′(x)＝f′(x)－3，而f′(x)>3，则g′(x)>0，函数g(x)在R上单调递增，又f(2)＝6，则g(2)＝f(2)－6＝0，不等式f(x)>3x⇔f(x)－3x>0⇔g(x)>g(2)，解得x>2，所以所求解集为(2，＋∞)．故选D.答案：D例3解析：(1)令g(x)＝exf(x)，x∈(0，＋∞)，则g′(x)＝exf(x)＋exf′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)]，因为f(x)＋f′(x)>0，所以g′(x)>0，所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为1<2<3，所以b>c>a.故选B.(2)根据题意可构造函数g(x)＝x3f(x)，则g′(x)＝3x2f(x)＋x3f′(x)＝x2[3f(x)＋xf′(x)].因为当x≥0时，3f(x)＋xf′(x)≥0，则g′(x)＝x2[3f(x)＋xf′(x)]≥0，所以g(x)＝x3f(x)在区间[0则g(x)＝x3f(x)在区间(-∞，0]上单调递减"."又"x3f(x)<(3x-1)3f(3x-1)，"即"g(x)<g(3x-1)，"所以"|x|<|3x-1|答案：(1)B(2)A跟踪训练解析：令h(x)＝f(x)sinx，x∈0，π2，则h′(x)＝f(x)cosx＋f′(x)sinx>0，所以h(x)在0，π2上单调递增．对于A，hπ4<hπ3⇒fπ4sinπ4<fπ3sinπ3⇒2fπ4<3fπ3，故A错误；对于B，h(1)>hπ6⇒f(1)sin1>fπ6sinπ6⇒f(1)sin1>12fπ6，故B错误；对于C，hπ6<hπ4⇒fπ6sinπ6<fπ4sinπ4⇒fπ6<2fπ4，故C答案：D例4解析：令g(x)＝fxx2，则g′(x)＝xf'x-2fxx3.因为在(0，＋∞)上，xf′(x)－2f(x)>0恒成立，可知g(x)在(0，＋∞)上单调递增．因为f12＝