人教版高中数学选择性必修一 题库 第三章　3.1.2　第1课时　椭圆的简单几何性质

3.1.2椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质学习目标1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义.2.会用椭圆的几何意义解决相关问题(重点).导语与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样，我们利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，包括椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等.一、椭圆的简单几何性质问题1观察椭圆x2a2+y2b2=1(a>提示范围：-a≤x≤a，-b≤y≤b；对称性：对称轴为x轴、y轴，对称中心为原点；顶点：A1(-a，0)，A2(a，0)，B1(0，-b)，B2(0，b).知识梳理焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2+y2by2a2+x2b范围-a≤x≤a，-b≤y≤b-b≤x≤b，-a≤y≤a顶点A1(-a，0)，A2(a，0)，B1(0，-b)，B2(0，b)A1(0，-a)，A2(0，a)，B1(-b，0)，B2(b，0)轴长短轴长等于2b，长轴长等于2a焦点(±a2-(0，±a2焦距|F1F2|=2a对称性对称轴：x轴、y轴，对称中心：原点注意点：(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上.(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点.(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a+c，最小值为a-c.问题2扁平程度是椭圆的重要形状特征，观察图象，我们可以发现，不同椭圆的扁平程度不同，我们常用离心率e=ca来刻画椭圆的扁平程度.提示题干图中，保持长半轴长a不变，随着短半轴长b的增大，即离心率e=ca=1-b2a2减小，椭圆越圆；随着短半轴长b的减小，即离心率e=ca知识梳理椭圆的离心率：e=ca∈(0，注意点：(1)e=1-b(2)离心率的范围为(0，1).(3)e越接近于1，椭圆越扁平；e越接近于0，椭圆越接近于圆.(可以结合数字的特点来帮助记忆，“1”很扁平，“0”很圆)例1(课本例4)求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.解把原方程化成标准方程，得x252+于是a=5，b=4，c=25-16=3.因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a=10和2b=8，离心率e=ca=35，两个焦点坐标分别是F1(-3，0)和F2(3，0)，四个顶点坐标分别是A1(-5，0)，A2(5，0)，B1(0，-4)和B2(0，4)例1求下列椭圆的长轴长、短轴长、离心率、顶点坐标和焦点坐标：(1)x23+y(2)4x2+y2=16.解(1)由椭圆方程知，a=3，b=2，c=3-2=1，所以椭圆的长轴长为23，短轴长为22，离心率为33顶点坐标为(-3，0)，(3，0)，(0，-2)，(0，2)，焦点坐标为(-1，0)，(1，0).(2)椭圆方程可变形为y216+x所以a=4，b=2，c=42-2所以椭圆的长轴长为8，短轴长为4，离心率为32顶点坐标为(-2，0)，(2，0)，(0，-4)，(0，4)，焦点坐标为(0，-23)，(0，23).反思感悟用椭圆的标准方程研究几何性质的步骤(1)将椭圆方程化为标准形式.(2)确定焦点位置.(焦点位置不确定的要分类讨论)(3)求出a，b，c.(4)写出椭圆的几何性质.跟踪训练1已知椭圆C1：x2100+(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上.写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质.解(1)由椭圆C1：x2100+y264=1，可得其长半轴长为10焦点坐标为(6，0)，(-6，0)，离心率e=35(2)椭圆C2：y2100+x①范围：-8≤x≤8，-10≤y≤10；②对称性：对称轴：x轴、y轴，对称中心：原点；③顶点：长轴端点为(0，10)，(0，-10)，短轴端点为(-8，0)，(8，0)；④焦点：(0，6)，(0，-6)，焦距为12；⑤离心率：e=35二、由椭圆的几何性质求标准方程例2分别求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6；(2)过点(3，0)，离心率e=63解(1)依题意可设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|=c，|A1A2|=2b，所以c=b=3，所以a2=b2+c2=18，故所求椭圆的标准方程为x218+(2)当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(由题意，得a=3，因为e=63，所以c=6，从而b2=a2-c2=3，所以椭圆的标准方程为x29+当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为y2a2+x2b2=1(由题意，得b=3，因为e=63所以a2-b把b=3代入，得a2=27，所以椭圆的标准方程为y227+综上可知，所求椭圆的标准方程为x29+y23=1或反思感悟利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤(1)确定焦点位置.(2)设出相应椭圆的标准方程.(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数.(4)写出椭圆的标准方程.跟踪训练2(1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3，0)，则椭圆的标准方程为.

答案x225+解析可设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(由题意，得2解得a所以椭圆的标准方程为x225+(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos∠OFA=23，则椭圆的标准方程是.答案x29+y25=1或解析因为椭圆的长轴长是6，cos∠OFA=23所以点A是短轴的端点.所以|OF|=c，|AF|=a=3，所以c3=23，所以c=2，b2=32-22所以椭圆的标准方程是x29+y25=1或三、求椭圆的离心率例3设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，答案3解析方法一由题意可设|PF2|=m，结合条件可知|PF1|=2m，|F1F2|=3m，故离心率e=ca=2c2a=|F方法二由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x=c代入椭圆方程可得y=±b2a，所以|PF2|=b2a.又由∠PF1F2=30°可得|F1F2|=3|PF2|，故2c=3·b2a，变形可得3(a2-c2)=2ac，等式两边同除以a2，得3(1-e2)=2e，解得e=33或延伸探究1若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°”改为“∠PF2F1=75°，∠PF1F2=45°”，求椭圆C的离心率.解在△PF1F2中，∵∠PF1F2=45°，∠PF2F1=75°，∴∠F1PF2=60°，设|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c，则m+n=2a，则在△PF1F2中，有msin75°=nsin45°=∴m+nsin75°+sin45°∴e=ca=2c2a=延伸探究2若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°”改为“椭圆C上存在点P，使∠F1PF2为钝角”，求椭圆C的离心率的取值范围.解设|PF1|=m，|PF2|=n，则m+n=2a，∴mn≤m+n22当且仅当m=n时取等号.由余弦定理知cos∠F1PF2=m2+=4a2-4c2-2mn当且仅当m=n时取等号，即P为短轴端点时，cos∠F1PF2最小，此时∠F1PF2最大.椭圆C上存在点P，使∠F1PF2为钝角，只需当点P位于短轴端点时，∠F1PF2为钝角，则c>b，∴c2>b2.又b2=a2-c2，∴c2>a2-c2，即2c2>a2，∴e2=c2a2∴e>22，又0<e<1∴椭圆C的离心率的取值范围为22反思感悟求椭圆的离心率及离心率的取值范围的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e=ca求解.若已知a，b或b，c可借助于a2=b2+c2求出c或a，再代入公式e=ca(2)方程法或不等式法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2=b2+c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围.跟踪训练3椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作与x轴垂直的直线，交椭圆于M，N两点，MN的长为185，若△MF2N的周长为20，则椭圆的离心率为(A.325 B.35 C.答案C解析设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(则由椭圆的定义，可得|MF1|+|MF2|=|NF1|+|NF2|=2a.由△MF2N的周长为20，可得4a=20，即a=5.令x=-c，代入椭圆的方程，可得y=±b2则|MN|=2b2a=185，解得所以c=a2-所以椭圆的离心率e=ca=41.知识清单：(1)椭圆的简单几何性质.(2)由椭圆的几何性质求标准方程.(3)求椭圆的离心率.2.方法归纳：分类讨论、方程法(不等式法).3.常见误区：忽略椭圆离心率的取值范围及长轴长与a的关系.1.已知椭圆的离心率为12，焦点是(-3，0)和(3，0)，则该椭圆的方程为(A.x236+y227=1 B.C.x227+y236=1 D.答案A解析由题意知c=3，ca=1则a=6，∴b2=a2-c2=27，∴椭圆的方程为x236+2.(多选)已知椭圆C：16x2+4y2=1，则下列结论正确的是()A.长轴长为1B.焦距为3C.焦点坐标为0D.离心率为3答案CD解析由椭圆方程16x2+4y2=1化为标准方程可得y214+所以a=12，b=14，c=3所以长轴长2a=1，焦距2c=32，焦点坐标为0离心率e=ca=33.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为()A.12 B.32 C.3答案A解析如图，不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点.依题意可知，△BF1F2是正三角形.∵在Rt△OBF2中，|OF2|=c，|BF2|=a，∠OF2B=60°，∴cos60°=ca=1即椭圆的离心率e=124.若椭圆C：x2m+y2m2-1=1的一个焦点坐标为(0，1)，答案23解析∵椭圆的一个焦点坐标为(0，1)，∴m2-1-m=1，即m2-m-2=0，解得m=2或m=-1，由于x2m+y2则m>1，∴m=2，则椭圆方程为y23+x∴a=3，2a=23.课时对点练[分值：100分]单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分1.已知椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为()A.12 B.2 C.1答案C解析由题意，椭圆x2+my2=1的标准形式为y21m+x2=1.因为长轴长是短轴长的所以1m=2，所以m=12.曲线x225+y29=1与x29-k+yA.有相等的焦距，相同的焦点B.有相等的焦距，不同的焦点C.有不等的焦距，不同的焦点D.以上都不对答案B解析曲线x225+y29=1的焦距为2c=8，而曲线x29-k+y225-k=13.(2023·新高考全国Ⅰ)设椭圆C1：x2a2+y2=1(a>1)，C2：x24+y2=1的离心率分别为e1，e2.若e2=3e1，则A.233 B.2 C.3答案A解析由e2=3e1，得e22=3因此4-14=3×a而a>1，所以a=234.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)有两个顶点在直线x+2y=2A.(±3，0) B.(0，±3)C.(±5，0) D.(0，±5)答案A解析在x+2y=2中，由y=0得x=2，由x=0得y=1，则该直线交x轴于点(2，0)，交y轴于点(0，1)，依题意得a=2，b=1，则c=a2-b显然，椭圆焦点在x轴上，所以椭圆的焦点坐标是(±3，0).5.如图，某同学用两根木条钉成十字架，制成一个椭圆仪.木条中间挖一道槽，在另一活动木条PAB的P处钻一个小孔，可以容纳笔尖，A，B各在一条槽内移动，可以放松移动以保证PA与PB的长度不变，当A，B各在一条槽内移动时，P处笔尖就画出一个椭圆E.已知|PA|=2|AB|，且P在右顶点时，B恰好在O点，则E的离心率为()A.12 B.23 C.2答案D解析已知|PA|=2|AB|，设|AB|=x，则|PA|=2x，当A滑动到O位置处时，P点在上顶点或下顶点，则短半轴长b=2x，当P在右顶点时，B恰好在O点，则长半轴长a=3x，故离心率为ca=9x26.(多选)为使椭圆x22+y2m=1的离心率为12，正数A.1 B.3 C.83 D.答案CD解析当0<m<2时，焦点在x轴上，此时a2=2，b2=m，所以c2=a2-b2=2-m，所以e2=c2a2=2-解得m=32，当m>2时，焦点在y轴上，此时a2=m，b2=2，所以c2=a2-b2=m-2，所以e2=c2a2=m解得m=83，符合题意故正数m的值可以是32或87.(5分)已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e≤32，则长轴长的取值范围为.答案(2，4]解析∵e=1-ba2，b=1，0<e∴1-ba2≤32，则1<a≤2，∴2<2即长轴长的取值范围是(2，4].8.(5分)我们把焦点在同一条坐标轴上，且离心率相同的椭圆叫做“相似椭圆”.若椭圆E：x216+y212=1，则以椭圆E的焦点为顶点的相似椭圆F答案x24+解析椭圆E的离心率为e=16-1216=1设椭圆F的标准方程为x2a2+y2b2=1(则a=16-12=2，∴椭圆F的半焦距c=1，b2=a2-c2=3，即椭圆F的标准方程为x24+9.(10分)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(-c，0)，F2(c，0)(c>0)，过点Ea2c，0的直线与椭圆相交于A，B两点，且F1A∥F2B，|F解由F1A∥F2B，|F1A|=2|F2B|，得EF2|EF从而a2c-整理得a2=3c2.故离心率e=ca=310.(10分)如图，已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，(1)若∠F1AB=90°，求椭圆的离心率；(4分)(2)若椭圆的焦距为2，且AF2=2F2B，解(1)若∠F1AB=90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有|OA|=|OF2|，即b=c.所以a=2c，e=ca=2(2)由题意知A(0，b)，F2(1，0)，设B(x，y)，由AF2=2解得x=32，y=-b代入x2a2+得94a2+b24b2=1解得a2=3，又c2=1，所以b2=2，所以椭圆的标准方程为x23+11.(多选)若椭圆绕其对称中心旋转90°，所得新椭圆的两个顶点恰好是旋转前椭圆的两个焦点，就称该椭圆为“对称椭圆”.下列方程所表示的椭圆是“对称椭圆”的有()A.x26+y23=1 B.C.x210+y25=1 D.答案AC解析因为新椭圆的两个顶点恰好是旋转前椭圆的两个焦点，所以2b=2c，即b=c，对于A，a2=6，b2=3，则c2=a2-b2=3，所以b=c，所以A正确；对于B，a2=12，b2=8，则c2=a2-b2=4，所以b≠c，所以B错误；对于C，a2=10，b2=5，则c2=a2-b2=5，所以b=c，所以C正确；对于D，a2=5，b2=3，则c2=a2-b2=2，所以b≠c，所以D错误.12.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点是F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|=5|PF2A.0，2C.23，答案C解析由题意可知|PF1|+|PF2|=2a，|PF1|=5|PF2|，则|PF1|=5a3，|PF2|=∵|PF1|-|PF2|≤|F1F2|，∴4a3≤2c，e≥又e<1，∴椭圆离心率的取值范围是2313.椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y=33(x+c)与椭圆C的一个交点M在x轴上方，满足∠F1MF2=32∠MFA.3-1 B.5C.5-2 D.3答案A解析直线y=33(x+c)过定点F1(-c，0)，斜率k=33，所以∠MF1F2由∠解得∠又因为|F1F2|=2c，可得|MF2|=c，|MF1|=3c，结合椭圆的定义可得2a=|MF1|+|MF2|=3c+c，整理得e=ca=23+114.(5分)焦点在y轴上且中心为原点的椭圆C2与椭圆C1：x22+y2=1的离心率相同，且C1，C2在第一象限内公共点的横坐标为1，则C2的方程为答案2y25解析椭圆C1中，a=2，c=2-1=1，故椭圆C1的离心率为12=2在x22+y2=1中，令x=1，得y=±故C1，C2在第一象限内公共点的坐标为1，设C2：y2a12+x2b12=1(将1，22代入可得12又a12-