2026年安徽高二数学竞赛试题及答案

2026年安徽高二数学竞赛试题及答案考试时长：120分钟满分：100分班级：__________姓名：__________学号：__________得分：__________一、单选题（总共10题，每题2分，总分20分）1.已知集合A={x|1＜x＜3}，B={x|x≤0或x≥2}，则集合A∩B等于（）A.{x|1＜x＜2}B.{x|0＜x＜3}C.{x|2≤x＜3}D.{x|x＜0或x≥2}2.函数f(x)=log₃(x²-2x+1)的定义域为（）A.(0,2)B.(0,1)∪(1,2)C.RD.{1}3.若向量a=(1，k)，b=(3，-2)，且a⊥b，则实数k的值为（）A.6B.-6C.3D.-34.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记两次出现的点数之和为X，则P(X=7)等于（）A.1/6B.1/12C.5/36D.1/185.已知函数f(x)=sin(2x+π/3)，则其最小正周期为（）A.πB.2πC.π/2D.3π/26.不等式|3x-1|＜5的解集为（）A.{x|-2＜x＜2}B.{x|0＜x＜4}C.{x|-4＜x＜2}D.{x|1/3＜x＜6/3}7.已知点A(1，2)，B(3，0)，则线段AB的垂直平分线的方程为（）A.x-y+1=0B.x+y-3=0C.2x+y-4=0D.x-2y+3=08.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，且BC=6，则AB的长度为（）A.4√2B.4√3C.3√2D.3√39.已知数列{aₙ}是等差数列，且a₁=2，a₃=8，则a₅的值为（）A.12B.14C.16D.1810.已知圆C的方程为(x-1)²+(y+2)²=4，则圆心到直线3x-4y+5=0的距离为（）A.1B.2C.3D.4二、填空题（总共10题，每题2分，总分20分）11.若函数f(x)=x²-2ax+3在x=1处取得最小值，则实数a的值为________。12.已知向量a=(2，-1)，b=(1，k)，若|a+b|=√10，则实数k的值为________。13.在等比数列{bₙ}中，若b₁=1，b₄=16，则公比q的值为________。14.函数f(x)=tan(π/4-x)的图像关于________对称。15.不等式3x²-5x-2＞0的解集为________。16.已知点P在圆x²+y²=9上，则点P到直线x+y-1=0的距离的最大值为________。17.在△ABC中，若角A=30°，角B=60°，且AC=4，则BC的长度为________。18.已知数列{cₙ}的前n项和为Sₙ=2n²-3n，则c₃的值为________。19.函数f(x)=e^x在点(1，e)处的切线方程为________。20.已知直线l₁:ax+y-1=0与直线l₂:x+by=2垂直，则ab的值为________。三、判断题（总共10题，每题2分，总分20分）21.若a²=b²，则a=b。22.函数f(x)=cos(2x)的图像关于原点对称。23.在等差数列中，若m+n=p+q，则aₘ+aₙ=aₚ+aₖ。24.若事件A和事件B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)。25.抛掷一枚均匀的硬币三次，恰好出现两次正面的概率为1/8。26.函数f(x)=ln(x+1)在(0，+∞)上单调递增。27.若直线l₁与直线l₂的斜率之积为-1，则l₁⊥l₂。28.在△ABC中，若a²=b²+c²，则角A=90°。29.已知数列{aₙ}是等比数列，若aₙ>0，则数列{aₙ}一定单调递增。30.圆(x-1)²+(y-2)²=4与直线x-y+1=0相切。四、简答题（总共4题，每题4分，总分16分）31.求函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值及取得最小值时的x值。32.已知函数f(x)=2cos²x-3sinx+1，求其最大值及取得最大值时的x值。33.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，且AB=√2，求BC的长度。34.已知数列{aₙ}是等差数列，且a₁=3，a₅=11，求该数列的前10项和S₁₀。五、应用题（总共4题，每题6分，总分24分）35.某工厂生产一种产品，其成本C（元）与产量x（件）的关系为C=50x+1000，售价P（元）与产量x（件）的关系为P=200-2x。求该工厂的利润函数，并求产量为何值时利润最大。36.在直角坐标系中，点A(1，2)，点B(3，0)，点C在直线x+y=4上，求△ABC面积的最小值。37.已知数列{aₙ}是等比数列，且a₂=4，a₅=32，求该数列的通项公式。38.某学校组织一次数学竞赛，共有100名参赛选手，成绩分布如下表：成绩（分）人数60-701070-802080-903090-10040求样本的平均成绩和方差。【标准答案及解析】一、单选题1.C2.C3.A4.A5.A6.C7.A8.B9.C10.A解析：1.A∩B={x|1＜x＜2}，因为A在(1，3)，B在(-∞，0)∪[2，+∞)，取交集得(1，2)。2.定义域为{x|x≠1}，因为x²-2x+1=(x-1)²≥0，等号成立时x=1，舍去。3.a•b=1×3-2k=0，解得k=6。4.P(X=7)包括(1，6)、(2，5)、(3，4)、(4，3)、(5，2)、(6，1)，共6种情况，概率为1/6。5.周期为2π/2=π。6.|3x-1|＜5⇔-5＜3x-1＜5⇔-4＜3x＜6⇔-4/3＜x＜2。7.中点(2，1)，斜率k=-1/斜率AB=-1/(0-2)=-1，方程为y-1=-1(x-2)，即x+y-3=0。8.由正弦定理BC/sinA=AB/sinB⇔6/sin60°=AB/sin45°⇔AB=4√3。9.公差d=(8-2)/2=3，a₅=2+4×3=14。10.圆心(1，-2)，距离d=|3×1-4×(-2)+5|/√(3²+4²)=1。二、填空题11.-112.±√513.214.x=1/415.(-∞，-2/3)∪(2，+∞)16.3√217.4√318.719.y=e(x-1)+e20.-1解析：11.f(1)=-2a+3最小，f'(x)=2x-2，f'(1)=0⇔a=1。12.|a+b|²=5+1+2k+(-1)²+k²=10⇔k²+2k-4=0⇔k=±√5。13.b₄=b₁q³⇔16=1×q³⇔q=2。14.tan(π/4-x)=-tan(x-π/4)，对称轴x=π/4+kπ。15.(3x+2)(x-2)＞0⇔x＞2或x＜-2/3。16.圆心(0，0)，距离d=|0+0-1|/√2=1/√2，最大值为√9-1/√2=3√2。17.BC=AC/sinB=4/sin30°=8/sin60°=4√3。18.c₃=S₃-S₂=2×3²-3×3-(2×2²-3×2)=7。19.f'(x)=e^x⇔f'(1)=e，切线方程y-e=e(x-1)+e⇔y=ex。20.l₁⊥l₂⇔a×1+b×1=0⇔a+b=0⇔ab=-1。三、判断题21.×22.×23.√24.√25.×26.√27.√28.√29.×30.√解析：21.a=-b也成立。22.cos(2x)是偶函数，图像关于y轴对称。25.概率为C(3，2)/2^3=3/8。29.若q<0，则数列不单调。30.圆心(1，2)，距离d=|1-2+1|/√2=√2=半径。四、简答题31.最小值为3，取得最小值时x=-2。解析：f(x)=|x-1|+|x+2|分段：x<-2：-(x-1)-(x+2)=-2x-1；-2≤x≤1：-(x-1)+(x+2)=3；x>1：x-1+(x+2)=2x+1。最小值为3，在-2处取得。32.最大值为3，取得最大值时x=7π/6+kπ。解析：f(x)=2cos²x-3sinx+1=2(1-sin²x)-3sinx+1=-2sin²x-3sinx+3，令t=sinx，-1≤t≤1，g(t)=-2t²-3t+3，对称轴t=-3/4，g(-3/4)=17/8>g(1)=0，最大值为17/8=3（当sinx=-3/4）。33.BC=4。解析：由正弦定理AB/sinC=BC/sinA⇔√2/sin75°=BC/sin60°⇔BC=4sin60°/sin75°=4。34.S₁₀=190。解析：d=(11-3)/4=2，aₙ=3+9(n-1)=2n+1，S₁₀=10/2[2×3+9×9]=190。五、应用题35.利润函数L(x)=200x-2x²-50x-1000=-2x²+150x-1000，x=-b/2a=75，L(75)=5625-5625-1000=5625-1000=4625。36.面积S=1/2|1×0+3×2+x×(4-x)|/2=1/2|6