2026年福建高二数学期末考试试卷含答案

2026年福建高二数学期末考试试卷含答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足z(1-i)=2+3i（i为虚数单位），则z的虚部为（）A.5/2B.1/2C.-5/2D.5i/22.某校高二年级为弘扬福建朱子文化，开设“朱子家训诵读”“朱子理学探究”“朱子遗迹考察”3门校本选修课程，每名学生需从中任选2门课程学习，则甲、乙两名学生的选课方案恰好完全相同的概率为（）A.1/3B.1/6C.1/9D.2/93.在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=1，则直线BC₁与平面BB₁D₁D所成角的正弦值为（）A.√6/3B.2√5/5C.√10/5D.√15/54.已知等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若a₃+a₇=12，S₇=35，则a₁₁=（）A.12B.14C.16D.185.已知双曲线C:x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F₁,F₂，过F₂作垂直于x轴的直线交双曲线C于A,B两点，若△ABF₁的面积为4b²，则双曲线C的渐近线方程为（）A.y=±√2xB.y=±√3xC.y=±√2/2xD.y=±√3/3x6.已知函数f(x)=xlnx+ax²在x=1处的切线与直线x+2y-1=0垂直，则实数a的值为（）A.1/2B.1C.3/2D.27.福建名茶铁观音的制作需要经过摇青、杀青、揉捻、烘焙等多道工序，某茶厂对两批铁观音茶青进行加工，已知第一批茶青的优品率为0.8，第二批茶青的优品率为0.6，工作人员将两批加工好的茶叶按2:3的比例混合后装袋，若从混合后的茶叶中随机抽取1袋检测为优品，则该袋茶叶来自第一批茶青的概率为（）A.8/17B.12/25C.16/25D.9/178.已知函数f(x)=e^x-a(x+1)（e为自然对数的底数）有两个零点，则实数a的取值范围是（）A.(0,1)B.(1,+∞)C.(1/e,1)D.(1/e,+∞)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.下列关于统计与概率的说法正确的有（）A.若随机变量X服从二项分布B(10,0.6)，则E(X)=6，D(X)=2.4B.若样本数据x₁,x₂,…,x₁₀的方差为1，则数据2x₁-1,2x₂-1,…,2x₁₀-1的方差为4C.若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近1A.若q>1，则数列{aₙ}为递增数列B.若0<q<1，且a₁>0，则数列{aₙ}为递减数列C.若a₁>0，且a₃,a₄,a₅成等差数列，则q=1D.若a₁>0，则a₃+a₅≥2a₄11.已知圆M:x²+y²-2x-4y+1=0，直线l过点P(3,0)，则下列说法正确的有（）A.圆M的圆心为(1,2)，半径为2B.过点P与圆M相切的直线方程为x=3C.当直线l的斜率为-1时，直线l被圆M截得的弦长为4D.若直线l与圆M交于不同的两点A,B，则△MAB面积的最大值为212.已知函数f(x)=xlnx，g(x)=-x²+ax-2，下列说法正确的有（）A.函数f(x)在(0,1/e)上单调递减，在(1/e,+∞)上单调递增B.函数f(x)的最小值为-1/eC.若对任意x>0，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围为(-∞,4]D.若方程f(x)=g(x)在(1/e,e)上有两个不同的实根，则实数a的取值范围为(3,e+2/e-2)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.二项式(2x-1/√x)^6的展开式中，常数项为______（用数字作答）。16.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=2，△ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为______。四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）已知等差数列{aₙ}的公差d=2，且a₁,a₂,a₄成等比数列；数列{bₙ}的前n项和为Sₙ，满足Sₙ=2bₙ-1。（1）求数列{aₙ}和{bₙ}的通项公式；（2）设cₙ=aₙ+bₙ，求数列{cₙ}的前n项和Tₙ。18.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，AD=1，点E为PB的中点。（1）求证：AE⊥平面PBC；（2）求平面EAC与平面PCD所成锐二面角的余弦值。19.（12分）2025年福建省青少年科技创新大赛在福州举办，某中学组织学生参与志愿者服务，需要从5名男生和5名女生中选拔4名志愿者到场馆服务。（1）若采用分层抽样的方法从男生和女生中共选拔4人，求应选拔男生和女生的人数；（2）在（1）的前提下，若从选拔的4人中随机指定2人为场馆引导员，求这2人中至少有1名女生的概率；（3）若选拔不限制性别，设选拔的4人中女生人数为X，求X的分布列和数学期望。20.（12分）已知椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的离心率为√3/2，且过点(1,√3/2)。（1）求椭圆C的标准方程；（2）若过点(0,-2)的直线l与椭圆C交于不同的两点M,N，且∠MON为锐角（O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围。21.（12分）已知函数f(x)=lnx+ax²-(2a+1)x，a∈R。（1）当a=1时，求函数f(x)在x=1处的切线方程；（2）讨论函数f(x)的单调性；（3）当a=0时，若关于x的方程f(x)=b有两个实数根x₁,x₂，求证：x₁x₂>e²。参考答案一、单项选择题1.A解析：由复数运算法则，z=(2+3i)(1+i)/[(1-i)(1+i)]=(-1+5i)/2=-1/2+(5/2)i，根据虚部定义，z的虚部为5/2。2.A解析：每名学生从3门课中选2门的方案共C(3,2)=3种，甲、乙两人选课的总方案数为3×3=9种，其中两人选课完全相同的情况共3种（同选任意两门课程），故所求概率为3/9=1/3。二、多项选择题三、填空题13.60解析：二项展开式通项T_{r+1}=C(6,r)·(2x)^{6-r}·(-1/√x)^r=C(6,r)·2^{6-r}·(-1)^r·x^{6-3r/2}，令指数6-3r/2=0得r=4，代入得常数项C(6,4)×2²×(-1)^4=15×4=60。16.28π/3解析：将三棱锥补为侧棱垂直底面的直三棱柱，上下底面为边长2的正三角形，底面正三角形外接圆半径r=2/√3=2√3/3，外接球心为上下底面外心连线的中点，到底面距离d=PA/2=1，故外接球半径R=√(r²+d²)=√(4/3+1)=√(7/3)，表面积4πR²=28π/3。四、解答题17.解：（1）对于等差数列{aₙ}，由题意a₂=a₁+2，a₄=a₁+6，因为a₁,a₂,a₄成等比数列，故a₂²=a₁a₄，代入得(a₁+2)²=a₁(a₁+6)，展开整理得2a₁=4，解得a₁=2，因此aₙ=2+2(n-1)=2n。对于数列{bₙ}，当n=1时，b₁=S₁=2b₁-1，解得b₁=1；当n≥2时，bₙ=Sₙ-S_{n-1}=2bₙ-1-(2b_{n-1}-1)=2bₙ-2b_{n-1}，整理得bₙ=2b_{n-1}，故{bₙ}是首项为1、公比为2的等比数列，通项为bₙ=2^{n-1}。（2）由（1）得cₙ=2n+2^{n-1}，因此前n项和：Tₙ=Σ（从k=1到n）(2k+2^{k-1})=2×n(n+1)/2+(2ⁿ-1)=n²+n+2ⁿ-1。18.解：以A为坐标原点，分别以AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，可得各点坐标：A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,1,0)，D(0,1,0)，P(0,0,2)，E为PB中点，故E(1,0,1)。（1）证明：向量AE=(1,0,1)，PB=(2,0,-2)，BC=(0,1,0)，计算点积得AE·PB=1×2+0×0+1×(-2)=0，故AE⊥PB；AE·BC=1×0+0×1+1×0=0，故AE⊥BC。又PB∩BC=B，且PB、BC均在平面PBC内，因此AE⊥平面PBC。（2）取平面EAC的法向量n₁=(x₁,y₁,z₁)，则n₁⊥AE、n₁⊥AC，即x₁+z₁=0，2x₁+y₁=0，令x₁=1，解得y₁=-2，z₁=-1，即n₁=(1,-2,-1)；取平面PCD的法向量n₂=(x₂,y₂,z₂)，向量PC=(2,1,-2)、PD=(0,1,-2)，则2x₂+y₂-2z₂=0，y₂-2z₂=0，令z₂=1，解得y₂=2，x₂=0，即n₂=(0,2,1)。（2）选拔的4人中包含2名男生、2名女生，从中选2人全为男生的概率为C(2,2)/C(4,2)=1/6，因此至少有1名女生的概率为1-1/6=5/6。（3）由题意，X服从参数N=10、M=5、n=4的超几何分布，X的可能取值为0,1,2,3,4：P(X=0)=C(5,0)C(5,4)/C(10,4)=5/210=1/42；P(X=1)=C(5,1)C(5,3)/C(10,4)=50/210=5/21；P(X=2)=C(5,2)C(5,2)/C(10,4)=100/210=10/21；P(X=3)=C(5,3)C(5,1)/C(10,4)=50/210=5/21；P(X=4)=C(5,4)C(5,0)/C(10,4)=5/210=1/42。数学期望E(X)=n×M/N=4×5/10=2。20.解：（1）由椭圆离心率e=c/a=√3/2，得c=√3a/2，结合b²=a²-c²得b²=a²/4，椭圆方程可写为x²/a²+4y²/a²=1；将点(1,√3/2)代入方程，得1/a²+4×(3/4)/a²=1，解得a²=4，b²=1，因此椭圆标准方程为x²/4+y²=1。（2）设直线l的方程为y=kx-2，交点M(x₁,y₁)、N(x₂,y₂)，联立直线与椭圆方程得(1+4k²)x²-16kx+12=0。由直线与椭圆交于两点，得判别式Δ=256k²-48(1+4k²)=16(4k²-3)>0，解得k²>3/4。由韦达定理，x₁+x₂=16k/(1+4k²)，x₁x₂=12/(1+4k²)。∠MON为锐角等价于向量OM·ON>0，即x₁x₂+y₁y₂>0，其中y₁y₂=(kx₁-2)(kx₂-2)=k²x₁x₂-2k(x₁+x₂)+4，代入得：(1+k²)x₁x₂-2k(x₁+x₂)+4>0，通分整理得16-4k²>0，即k²<4。结合判别式条件，直线斜率k的取值范围为(-2,-√3/2)∪(√3/2,2)。21.解：（1）当a=1时，f(x)=lnx+x²-3x，f(1)=0+1-3=-2；求导得f’(x)=1/x+2x-3，f’(1)=1+2-3=0，因此函数在x=1处的切线方程为y=-2。（2）函数f(x)定义域为(0,+∞)，求导得：f’(x)=1/x+2ax-(2a+1)=(2ax²-(2a+1)x+1)/x=(2ax-1)(x-1)/x。分情况讨论单调性：①当a≤0时，2ax-1<0恒成立，x∈(0,1)时f’(x)>0，f(x)单调递增；x∈(1,+∞)时f’(x)<0，f(x)单调递减；②当a>0时，令f’(x)=0得x=1/(2a)和x=1：（i）若1/(2a)=1即a=1/2时，f’(x)=(x-1)²/x≥0恒成立，f(x)在(0,+∞)单调递增；（ii）若1/(2a)<1即a>1/2时，x∈(0,1/(2a))时f’(x)>0，f(x)单调递增；x∈(1/(2a),1)时f’(x)<0，f(x)单调递减；x∈(1,+∞)时f’(x)>0，f(x)单调递增；（iii）若1/(2a)>1即0<a<1/2时，x∈(0,1)时f’(x)>0，f(x)单调递增；x∈(1,1/(2a))时f’(x)<0，f(x)单调递减；x∈(1/(2a),+∞)时f’(x)>0，f(x)单调递增。（3）证明：当a=0时，f(x)=lnx-x，由题意lnx₁-x₁=lnx₂-x₂=b，不妨设0<x₁<x₂，两式作差得ln(x₂/x₁)=x₂-x₁。要证x₁x₂>e²，即证lnx₁+lnx₂>2。令t=x₂/x₁>1，则x₂=tx₁，代入