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2026年线性代数大学试题及答案一、单项选择题（每题3分，共15分）1.设A为n阶方阵，且|A|=A.−B.(C.(D.(2.若向量组α1A.αB.αC.αD.α3.设A是m×n矩阵，AXA.若AX=0B.若AX=0C.若AX=bD.若AX=b4.设n阶方阵A满足A2−3A.1或2B.1或−C.−1或D.−1或5.二次型f(A.1B.1C.1D.1二、填空题（每题3分，共15分）1.设A=122.设α1=(1,0,3.若3阶方阵A的特征值为1,−14.齐次线性方程组x15.设向量β可由向量组α1,α三、计算题（每题10分，共50分）1.计算行列式D答案：12解析：该行列式为范德蒙德行列式，各列依次为x0,xD2.设A求AB及|答案：A解析：直接计算矩阵乘法得AB|所以|A3.求非齐次线性方程组x的解。答案：x1解析：对增广矩阵作初等行变换：1由第三行得x3=14，回代得4.求矩阵A的特征值与特征向量。答案：特征值为λ1=λ属于λ=1的全部特征向量为k1属于λ=10的全部特征向量为k(解析：矩阵A为实对称矩阵，先求特征值。由A−I的秩为1可知1至少为二重特征值；再由迹2+对λ=1，解1得x1+2x2对λ=10，解(A5.求一个正交变换X=f化为标准形，并写出标准形。答案：二次型矩阵为A取正交矩阵Q在正交变换X=5解析：矩阵A的特征多项式为|λE−A|=(λ−5)(λ+1)2，特征值为5四、证明题（每题10分，共20分）1.设A为n阶方阵，且A2=A。证明：A的特征值只能是0或1；若AA另一方面，由A2=A得A2x=Ax=λx。因此λ若A可逆，则A−1存在。在A2=A解析：本题利用特征值与特征向量的定义，以及幂等矩阵的性质。可逆时由A(A−2.设向量组α1,α2,α3线性无关，βk代入β1(由于α1k解得k1=k解析：证明向量组线性无关的基本方法是设线性组合为零，利用已知线性无关性建立齐次方程组，推出组合系数全为零。参考答案与解析一、单项选择题1.答案：C解析：由行列式性质，|−2.答案：B解析：B中第三个向量等于前两个向量之和，因此线性相关；A、C、D中的向量组均可通过线性无关条件推出组合系数全为零，故线性无关。3.答案：D解析：AX=b有唯一解的充要条件是r(A)=r(4.答案：A解析：设λ是A的特征值，x≠0为对应特征向量，则A2x=λ2x。代入矩阵方程得5.答案：A解析：二次型矩阵为对称矩阵，主对角线为平方项系数，ai二、填空题1.答案：−解析：A−2.答案：2解析：α3=α1+3.答案：112解析：矩阵A2+3E的特征值为12+34.答案：1解析：系数矩阵秩为2，未知数个数为3，基础解系含3−5.答案：无关解析：向量

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