2023年华数之星科学创新能力实践活动三级组真题试卷含答案

2023年华数之星科学创新能力实践活动三级组真题试卷含答案(三级组)(2023年3月26日10:00-11:30)题号1234567总成绩得分评阅人一、填空题(共三题,每题25分,共75分)如图所示,从第1层分数开始,往左下方写,即分子不变,而分母是上层分数的分子分母之和;往右下方写,即分母不变，而分子是上层分数的分子分母之和;得到的两个分数作为第2层,继续按照这样的办法在第2层分数下方写第3层;然后写第4层,…….若第1层从开始(即a=2，b=3),则第2层2个分数依次为,第3层4个分数依次为,如此等等.则第7层中从左往右的第57个分数是______.将2,3,4,5,6,7,8,9,10,11这10个自然数填到图中10个格子里,每个格子只填一个数,使得每个“田”字形的4个格子中所填入的数字之和都等于(共三个“田”字形),那么的最大值是______.如图,在边长为8的正方形中,为上一点,的角平分线交于.已知的面积为24,则的面积为______.二、解答题(共三题,每题25分,共75分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程)某商店举办返券销售活动.活动的规则是:使用现金100元购物可获得50元的购物券,不足100元的部分略去(例如使用现金150元购物仅可获得50元购物券)；购物券不能单独支付物价，使用购物券购物时,至少需要使用同等数额的现金搭配支付物价.如果在活动期间使用1000元现金购物,至多可以购买价格为多少元的商品?给出达到最高价格的购买商品方案(购物结束后剩下的购物券视为作废.)已知面积为,四条边长都是整数的矩形恰有6个互不全等的(没有正方形,即不是平方数且可以6种形式分解成两个不同因子的乘积),6个矩形的周长总和为390.求的值.考虑不超过40的正奇数,它可以写成两个质数的和,也可以写成两个质数的差,如5=2+3=7-2.求所有满足这样条件的之和.三、建模计算题(共一题,20分)将一个不大于100的正整数n输入到程序中,程序将按照以下步骤执行:步骤1:令a的值等于1,令b的值等于100,令p的值等于0;步骤2:令s的值等于a与b的和,令q的值等于s除以2的商的正整数部分;将p的值加1;步骤3:如果q等于n,输出p,结束整个程序;否则,执行步骤4;步骤4:如果q小于n,则令a的值等于q,跳转至步骤2;否则,令b的值等于q,跳转至步骤2.现在将正整数n=46输入到程序中,依次列出程序运算过程中q的值,确定程序最后输出p的值是多少.

（三級）參考答案及評閱標準一、填空題（共3題,每題25分,共75分）1.如圖所示，從第1層分數開始，往左下方寫，即分子不變，而分母是上層分數的分子分母之和；往右下方寫，即分母不變，而分子是上層分數的分子分母之和；得到的兩個分數作為第2層，繼續按照這樣的辦法在第2層分數下方寫第3層；然後寫第4層，…….若第1層從開始(即𝑎=2，𝑏=3)，則第2層2個分數依次為，第3層4個分數依次為,如此等等.則第7層中從左往右的第57個分數是______.解法一.用表示第層第個分數的位置，容易看到這個分數產生的下一層的兩個分數的位置為和；由此反觀，位置的分數是位置的分數產生的第1個分數；位置的分數是位置的分數產生的第1個分數；位置的分數是位置的分數產生的第1個分數；依次類推得到的位置來源逆向路徑：，，，，，，；相當於依次3次向右寫分數，再接著3次左向寫分數，即從開始連續3次分子變化得，又作3次分母變化得.解法二：注意到第層共有個分數，將它們從左往右依次編號為，且將編號寫成二進位數字.那麼第7層第57個數編號為111000，這說明它從上到下按路徑“右右右左左左”到達.由第一層分數為，向右下方行進三次為，再向左下方行進三次為，代入，得到.答案.評分標準.按照5分一檔給分，不分更細節的檔次，以儘量給分為原則.給出答案，並有一個較完整的說明即可得25分；若給出答案，但說明有錯誤或漏洞,可視具體情況給20分或15分；沒有給出答案，最高給15分,可如下按照得分點給分：由上層分數的位置得出下層兩個分數的位置之間的關係，給5分；由下層分數的位置得出上層分數的位置，給5分；由具體的分數演算推演得出下層分數的逐次表達，給5分.2.將2,3,4,5,6,7,8,9,10,11這10個自然數填到圖中10個格子裡，每個格子只填一個數，使得每個“田”字形的4個格子中所填入的數字之和都等於(共三個“田”字形)，那麼的最大值是______.解.將2,3,4,5,6,7,8,9,10,11填入這10個格子中，因“田”字格中4個數之和均等於，其總和為.設如圖居中兩個格子所填之數為與，則均被加了兩次，所以這3個“田”字形所填數的總和為.於是得.要使最大，必須最大，由於，所以,解得.所以取得最大整數值應為28,這時取最大整數值.事實上,如圖填法可取到.答案.28評分標準.按照5分一檔給分，不分更細節的檔次，以儘量給分為原則.給出答案28，並有一個較完整的說明即可得25分；若給出答案28，但說明有錯誤或漏洞,可視具體情況給20分或15分；未給出答案28，最高給15分,可如下按照得分點給分：給出𝑝與中間兩個數𝑥,𝑦之間的關係，給5分；給出𝑥+𝑦可能的最大值21，給5分；給出𝑝的最大值，給5分.3、如圖，在邊長為8的正方形中，為上一點，的角平分線交於.已知的面積為24，則的面積為______.解法一.本題的關鍵是證明.將轉到位置，容易證明是等腰三角形，，而，，所以.由已知的面積為，.由畢氏定理得到，得，所以的面積為16.類似的辦法是將轉到位置，容易證明是等腰三角形.解法二：也可以直接計算所需要的量.由已知面積有，，由畢氏定理知.過作垂直於，由角平分線性質，.，得到面積，故.或者，因此是中點.所以，所以的面積為16.解法三：連接，交於，過分別作的平行線和垂線和.由已知面積有，，由畢氏定理知.由相似三角形和角平分線定理知，得到.由，.由，得，所以的面積為16.解法四：延長與直線交於.由可得，再由畢氏定理可得.由，可得，，從而，.由於是平分線，有，由此得，從而.答案.16評分標準.按照5分一檔給分，不分更細節的檔次，以儘量給分為原則.給出答案16，並有一個較完整的說明即可得25分；若給出答案16，但說明有錯誤或漏洞,可視具體情況給20分或15分；沒有給出答案16，則可以適當確定得分點，每個給5分；最高給15分.二、解答題（共3題,每題25分,共75分,解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程）4.某商店舉辦返券銷售活動.活動的規則是:使用現金100元購物可獲得50元的購物券,不足100元的部分略去(例如使用現金150元購物僅可獲得50元購物券)；購物券不能單獨支付物價，使用購物券購物時,至少需要使用同等數額的現金搭配支付物價.如果在活動期間使用1000元現金購物,至多可以購買價格為多少元的商品?給出達到最高價格的購買商品方案(購物結束後剩下的購物券視為作廢.)解.首先,使用1000元現金至多可以獲得500元的購物券.如果有一次購物使用的現金不是整百元,那麼所獲得的購物券少於500元,至多450元；而如果每次購物使用的現金都是整百元,則最後一次購物所獲得的購物券無用,所以實際使用的購物券少於500元,至多450元.總之無論如何所能使用的購物券不超過450元.另一方面,使用購物券450元是可能的,例如第一次購物支付500元現金,獲得250元購物券；第二次購物使用250元購物券並支付300元現金,獲得150元購物券；第三次購物使用100元購物券並支付100元現金,獲得50元購物券,連同第二次購物剩下的50元購物券,共有100元購物券；最後一次購物使用100元購物券並支付100元現金,獲得50元購物券(作廢),這樣總共使用了450元購物券,連同支付的1000元現金,購買了價格共1450元的商品.答案.1450評分標準.按照5分一檔給分，不分更細節的檔次，以儘量給分為原則.給出答案1450，並有一個較完整的說明即可得25分；若給出答案1450，但說明有錯誤和漏洞,可視具體情況給20分或15分；沒有給出答案1450，則可以適當確定得分點，每個給5分；最高給15分.5.已知面積為，四條邊長都是整數的矩形恰有6個互不全等的(沒有正方形，即不是平方數且可以6種形式分解成兩個不同因數的乘積)，6個矩形的周長總和為390.求的值.解.每個矩形的長和寬都是的兩個因數，令為的質因數分解式，因為恰好有6個長方形，所以恰好有12個因數.因此，且.由此可見，分情況討論.情況1：，，，，，均不滿足要求.情況2：，.為簡單起見不妨設𝑠1≤𝑠2.若，有，必有，，，，均不滿足要求.若，有，必有，因此，得，，滿足要求.情況3：，至少一個是奇數，並且要滿足，不可能.答案.72.評分標準.按照5分一檔給分，不分更細節的檔次，以儘量給分為原則.給出答案72，並有一個較完整的說明即可得25分；若給出答案72，但說明有錯誤和漏洞,可視具體情況給20分或15分；沒有給出答案72，最高給15分,可如下按照得分點給分：給出A的分解方式與因數個數之間的關係，給5分；對質因數個數分類討論，每討論對一種情況，給5分.6.考慮不超過40的正奇數，它可以寫成兩個質數的和，也可以寫成兩個質數的差，如5=2+3=7-2.求所有滿足這樣條件的之和.解.由是奇數，必有，其中都是奇質數且.由於除了之外，不是3的倍數.容易看出只能分別是模3餘1和2，所以都是3的倍數，並且還要求均為質數.因此窮舉可得，的所有取值為5，9，15，21，39.總和為.答案.89評分標準.按照5分一檔給分，不分更細節的檔次，以儘量給分為原則.給出答案89，並有一個較完整的說明即可得25分；若給出答案89，但說明有錯誤和漏洞,可視具體情況給20分或15分；沒有給出答案89，最高給15分,可如下按照得分點給分：給出與質數之間的關係，給5分；給出質數的性質，給5分；給出的一些列舉數值，給5分.三、建模計算題（共1題,20分）7.將一個不大於100的正整數n輸入到程式中，程式將按照以下步驟執行：步驟1：令a的值等於1，令b的值等於100，令p的值等於0；步驟2：令s的值等於a與b的和，令q的值等於s除以2的商的正整數部分；將p的值加1;步驟3：如果q等於n，輸出p，結束整個程式；否則，執行步驟4；步驟4：如果q小於n，則令a的值等於q，跳轉至步驟2；否則，令b的值等於q，跳轉至步驟2.現在將正整數n=46輸入到程式中，依次列出程式運算過程中q的值，確定程式最後輸出p的值是多少.解析.該程式是用折半查找法實現1~100以內的猜數位遊戲，用最少的次數猜到數位n.先設置左邊界a等於1，右邊界b等於100，q的值等於區間[a,b]的中值，也就是(a+b)除以2的商.如果q等於n，說明猜到了，輸出猜的次數p結束程式，否則的話，要麼q小於n，則調整區間為[q,b]，也就是把