30.2 三角形的内切圆 课后进阶练（含解析）2026-2027学年人教版九年级数学上册

试卷第=page11页，共=sectionpages22页试卷第=page11页，共=sectionpages22页30.2三角形的内切圆课后进阶练2026-2027学年人教版九年级数学上册一、单选题1．下列命题为真命题的是（）A．三角形的外心是三角形三个内角角平分线的交点B．同位角相等C．三角形的内心到三边的距离相等D．正多边形都是中心对称图形2．如图，点I是△ABC的内心，点O是△ABC的外心，若∠BOA=160°，则∠BIA的度数是（

）A．120° B．125° C．130° D．135°3．下列结论：①三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③经过半径的端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；④圆内接四边形对角互补；⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等；⑥直角三角形的内心在斜边的中点上．正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．如图，在△ABC中，AG平分∠CAB，使用尺规作射线CD，与AG交于点E，下列判断正确的是（

）

A．AG平分CDB．∠AED=∠ADEC．点E是△ABC的内心D．点E到点A，B，C的距离相等5．如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（）A．23 B．3 C．1 6．如图，△ABC是一张周长为24cm的三角形的纸片，BC=7cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（A．12cm B．C．10cm D．随直线MN7．如图，AC为⊙O直径，P为下半圆上一点，∠APC的平分线交⊙O于B，AB＝2，I是△APC的内心．当P点从A点运动到C点时，I走过的路径长为（）A．π2 B．π C．2π 8．将三角形ABC按下列方式折叠得到线段AD，其中满足三角形ABC的内心一定在AD上的是（

）A． B．C． D．二、填空题9．三角形的三条角平分线的交点是这个三角形的_______心．10．已知△ABC的周长为10，面积为15，则△ABC的内切圆的周长为___________．11．设两直角边分别为3、4的直角三角形的外接圆和内切圆的半径长分别为R和r，则R—r=______．12．如图，△ABC内接于⊙O，∠A=60°，BC=63，D是AC的中点，则⊙O的半径为____，BD13．如图，我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若小正方形和大正方形的面积分别为49和289，则图中直角三角形内切圆的半径为______．三、解答题14．如图，已知△ABC，BD平分∠ABC交AC于点D，请利用尺规作△ABC的内心O．（保留作图痕迹，不要求写作法）15．如图，△ABC中，∠ABC=50°,∠ACB=75°，点O是△ABC的内心．求∠BOC的度数．16．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，⊙O是它的内切圆，与AB，BC，CA分别切于点D，E，F(1)若∠DOE=130°，则∠ACB=；(2)若AB=3，AC=4，求⊙O的半径．17．直角△ABC的两直角边CB=1,CA=2．(1)分别求△ABC的外接圆半径R与内切圆半径r；(2)斜边AB上的动点M作MH⊥BC，垂足为H，求CH+CM的最小值．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案题号12345678答案CCBCACBA1．【答案】C【知识点】两直线平行同位角相等、三角形外接圆的概念辨析、三角形内心有关应用、中心对称图形的识别【分析】本题考查了三角形的外心、内心的定义，平行线的性质，中心对称图形的定义进行逐项分析，即可作答．在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．【详解】解：A、三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，故此选项不合题意；B、两直线平行，同位角相等，故此选项不合题意；C、三角形的内心到三边的距离相等，故此选项符合题意；D、正多边形不一定是中心对称图形，比如正五边形就不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：C．2．【答案】C【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、已知外心的位置判断三角形的形状、三角形内心有关应用【分析】本题考查了三角形的内心和外心性质以及三角形的内角和定理，求三角形的外心的性质得到∠C的度数是解决本题的关键．根据点O是△ABC的外心，可求∠C的度数，由内心的性质可得角平分线的性质，再根据三角形内角和求解即可．【详解】解：因为点O是△ABC的外心，且∠BOA=160°，所以∠C=1在△ABC中有，∠CAB+∠CBA=180°−80°=100°，又因为点I是△ABC的内心，所以AI为∠CAB的角平分线，BI为∠CBA的角平分线，所以∠IAB=12∠CAB所以∠IAB+∠IBA=1所以∠BIA=180°−∠IAB+∠IBA故选：C．3．【答案】B【知识点】圆的基本概念辨析、三角形内切圆与外接圆综合、三角形内心有关应用、已知圆内接四边形求角度【分析】本题考查圆的性质，涉及确定圆的条件、圆心角与弧的关系、切线判定、圆内接四边形、三角形的内心与外心定义等知识，根据相关概念，逐项判断即可得到答案，熟记与圆有关的概念与性质是解决问题的关键．【详解】解：①当三点在一条直线上时，无法确定一个圆；故①结论错误；②圆的大小不同，相等的圆心角所对的弧不相等；故②结论错误；③经过半径的端点（不是圆心）并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；故③结论错误；④圆内接四边形对角互补；故④结论正确；⑤三角形的外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离都相等；故⑤结论正确；⑥直角三角形的外心在斜边的中点上；故⑥结论错误；综上所述，正确的结论是④⑤，共2个，故选：B．4．【答案】C【知识点】作角平分线(尺规作图)、三角形内心有关应用【分析】根据作法可得CD平分∠ACB，结合题意即可求解．【详解】解：由作法得CD平分∠ACB，∵AG平分∠CAB，∴E点为△ABC的内心故答案为：C．【点睛】此题考查了尺规作图（角平分线），以及三角形角平分线的性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．5．【答案】A【知识点】用勾股定理解三角形、一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系【分析】本题主要考查等边三角形的性质、三角形内切圆的性质及勾股定理，关键在于作辅助线构建直角三角形．欲求三角形的边长，已知内切圆半径，可过内心向正三角形的一边作垂线，连接顶点与内切圆心，构造直角三角形求解．【详解】解：过O点作OD⊥AB，则OD=1．∵O是△ABC的内心，∴∠OAD=30°；Rt△OAD中，∠OAD=30°，OD=1∴OA=2，∴AD=O∴AB=2AD=23故选：A．6．【答案】C【知识点】三角形内切圆与外接圆综合、应用切线长定理求解【分析】此题重点考查三角形的周长、三角形的内切圆与内心、切线长定理等知识，推导出AD+AF=AB+AC−BD+CF=10cm，是解题的关键．设⊙O与AB、BC、AC、直线MN分别相切于点D、E、F、H，由△ABC的周长为24cm，BC=7cm，求得AB+AC=17cm，由BD=BE，CF=CE，求得AD+AF=AB+AC−BD+CF【详解】解：设⊙O与AB、BC、AC、直线MN分别相切于点D、E、F、H，∵△ABC的周长为24cm，BC=7∴AB+AC=AD+BD+CF+AF=24−7=17cm，∵BD=BE，CF=CE，∴BD+CF=BE+CE=BC=7cm∴AD+AF=AB+AC−BD+CF∵HM=DM，HN=FN，∴AM+MN+AN=AM+HM+HN+AN=AM+DM+FN+AN=AD+AF=10cm∴剪下的三角形的周长为10cm故选：C．7．【答案】B【知识点】圆周角定理、三角形内心有关应用、求弧长【分析】本题考查了圆周角定理、三角形内切圆的定义，三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，所以△APC的内心是∠APC和∠PAC的角平分线的交点I，根据三角形外角的性质可知∠BIA=∠BAI，从而可知点I在以点B为圆心且半径长为2的AC⏜【详解】解：如下图所示，连接AI，∵AC为⊙O的直径，∴∠APC=∠ABC=90°，∵∠APC的平分线交⊙O于B，∴∠BPA=∠BPC=1∴∠BAC=∠BPC=45°，∵I是△APC的内心，∴AI平分∠PAC，∴∠IAP=∠IAC=1∴∠BIA=∠BPA+∠IAP=45°+12∠PAC∴∠BIA=∠BAI，∴IB=AB=2，∴点I在以点B为圆心且半径长为2的AC⏜上运动，该弧所对的圆心角为90°∴L∴I走过的路径长为π，故选：B．8．【答案】A【知识点】三角形内心有关应用、折叠问题【分析】三角形内心的性质：因为三角形内心是三个内角角平分线的交点，所以若内心在AD上，则AD一定是△ABC某一个内角的角平分线，因为折叠前后对应角相等，所以分析各选项中折叠后得到的相等角，判断是否能推出AD平分△ABC的某一个内角，逐一验证选项即可．【详解】解：选项A：折叠后点C落在AB边上，根据折叠前后对应角相等，可得∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC，因此选项B：根据折叠前后对应角相等，可得∠EAD=∠CAD，即AD选项C：根据折叠前后对应角相等，可得∠BED=∠CED，即AD选项D：根据折叠前后对应角相等，可得∠ADE=∠CDE，即AD9．【答案】内【知识点】三角形内心有关应用【分析】本题考查了三角形内心的定义，根据三角形的三条角平分线的交点是这个三角形的内心即可解答．【详解】解：三条角平分线的交点是这个三角形的内心，故答案为：内．10．【答案】6π【知识点】一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系【分析】如图所示，点O是△ABC内切圆圆心，D、E、F分别是切点，设圆O的半径为r，利用三角形面积法可得S△ABC【详解】解：如图所示，点O是△ABC内切圆圆心，D、E、F分别是切点，设圆O的半径为r，∴OD=OE=OF=r，∴S==1∵△ABC的周长为10，面积为15，∴12∴r=3，∴内切圆周长=2πr=6π，故答案为：6π．【点睛】本题主要考查求三角形内切圆周长，解题的关键在于能够根据题意得到=111．【答案】1.5【知识点】三角形内切圆与外接圆综合、求特殊三角形外接圆的半径【分析】通过勾股定理计算出斜边的长，得到三角形的外接圆半径；再利用内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半，计算出内切圆半径，最后求它们的差．【详解】∵直角三角形的斜边=32∴三角形的外接圆半径R=2.5，内切圆半径r=(3＋4−5)÷2＝1，∴R−r＝1.5，故填1.5．【点睛】本题主要考查勾股定理，三角形的外接圆和内切圆半径，掌握直角三角形外接圆半径等于其斜边的一半，其内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半，是解题的关键．12．【答案】63【知识点】用勾股定理解三角形、圆周角定理、三角形内切圆与外接圆综合【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，求线段长的最大值，圆周角定理，勾股定理，关键是延长CB到E使BE=BC，连接AE构造△ACE的中位线，并应用相关定理，结合题目条件即可求得BD长的最小值．连接BO并延长交⊙O于E，连接CE，则∠E=∠A=60，∠BDE=90°，得到BO=12BE=6延长CB到E，使BE=BC，作OH⊥BC于H，连接AE，OB，OC，根据三角形的中位线定理得到BD=12AE，当AE长最小时，BD长最小，当EA的延长线过圆心【详解】解：连接BO并延长交⊙O于E，连接CE，则∠E=∠A=60，∠BDE=90°，∵BC=63∴BE=BC∴BO=即⊙O的半径为6，当BD⊥AC时，BD的长度的最小，∵D是AC的中点，延长CB到E，使BE=BC，作OH⊥BC于H，连接AE，OB，OC，∵D是AC的中点，∴BD是△CAE的中位线，∴BD=1当AE长最小时，BD长最小，当EA的延长线过圆心O时，AE长最小，∵OB=OC=6，OH⊥BC，∴∠BOH=1∵∠BAC=1∴∠BOH=∠BAC=60°，∵∠OBH=30°，∴OH=1∵EH=EB+BH=63∴OE=O∴AE=OE−AO=67∴BD=1∴BD的长度的最小值是37故答案为：6，3713．【答案】3【知识点】用勾股定理解三角形、三角形内切圆与外接圆综合【分析】本题主要考查了三角形的内切圆的性质，正方形的性质及勾股定理的应用，同时也利用了完全平方公式和一元二次方程，综合性强，能力要求高．解决本题的关键是掌握三角形的内切圆的性质．设内切圆的圆心为O，连接OE、OD，则四边形EODC为正方形，设直角三角形内切圆的半径为r，然后利用内切圆和直角三角形的性质得到AC+BC=AB+2r，根据已知条件得(BC−AC)2=49，AB【详解】解：如图，设内切圆的圆心为O，连接OE、OD，，则四边形EODC为正方形，设直角三角形内切圆的半径为r，∴OE=OD=r=1∴AC+BC−AB=2r，∴AC+BC=AB+2r，∴(AC+BC)∴BC而BC∴2BC×AC=4AB⋅r+4r∵小正方形和大正方形的面积分别为49和289，∴(BC−AC)2=49∴BC2+AC2把AB=17代入①得，2BC×AC=68r+4r把③代入②中，得：r2∴r−3∴r=3(负值舍去)，∴直角三角形内切圆的半径为3，故答案为：3.14．【答案】见解析【知识点】作角平分线(尺规作图)、三角形内心有关应用【分析】作∠C的平分线交BD于O点，即可．【详解】解：作∠C的平分线交BD于O点，如图．（作∠A的平分线也可）点O即为所求．证明：三角形中，两条内角的角平分线的交点即为该三角形的内心，故点O即为所求．【点睛】本题主要考查了三角形的内心以及角平分线的尺规作图的知识，理解三角形中，两条内角的角平分线的交点即为该三角形的内心，是解答本题的关键．15．【答案】117.5°【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内心有关应用【分析】由点O是ΔABC的内心，∠ABC=50°，∠ACB=75°，根据三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，即可求得∠OBC与∠OCB的度数，又由三角形内角和定理，即可求得∠BOC的度数．【详解】解：∵点O是△ABC的内心，∠ABC=50°，∠ACB=75°，∴∠OBC=12∠ABC=∴∠BOC=180°−∠OBC−∠OCB=180°−25°−37.5°=117.5°．【点睛】此题考查了三角形内心的性质．此题难度不大，解题的关键是掌握三角形的内心是三角形三条角平分线的交点．16．【答案】(1)40°(2)1【知识点】用勾股定理解三角形、切线的性质定理、一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系【分析】本题主要考查了三角形内切圆与内心、切线的性质、三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用这些性质是解题的关键．（1）由切线的性质可得∠BDO=∠BEO=90°，由四边形内角和定理和直角三角形的性质可求解；（2）由三角形面积的和差关系列出等式计算即可解答．【详解】（1）解：∵AB，BC是⊙O的切线，∴∠BDO=∠BEO=90°，又∵∠DOE=130°，∴∠B=50°，∵∠A=90°，∴∠ACB=40°，故答案为：40°；（2）解：如图，连接OF，AO，BO，CO，∵AB，AC，BC是⊙O的切线，∴OD⊥AB，OF⊥AC，OE⊥BC，∵AB=3，AC=4，∠BAC=90°，∴BC=A∵S∴12∴3×4=(3+4+5)OD．∴OD=1，∴⊙O的半径为1．17．【答案】(1)R=52(2)8【知识点】三角形内切圆与外接圆综合、解直角三角形的相关计算【分析】（1）根据勾股定理求出AB，可求出R，设△ABC的内切圆圆心为O，过点O作OE⊥BC,OF⊥AC，垂足分别为E，F，则∠OFC=∠OEC=∠C=90°,OE=OF=r，CE=CF,AD=AF,BE=BD，根据三角形内切圆的性质可得四边形OECF是正方形，从而得到AD=AF=2−r,BE=BD=1−r，可求出r，即可；（2）过点M作MG⊥AC于点G，作点G关于AB的对称点Q，连接AQ,MQ,CQ，求出AB=5，证明四边形CHMG是矩形，得到MG=CH,MH=CG，解直角三角形得到MH=2BH，设BH=x，则MH=CG=2x，求出AG=2−2x，MG=CH=BC−BH=1−x，由对称的性质得AG=AQ=2−2x,MG=MQ=1−x，易证△AMG≌△AMQSSS，得到∠AQM=∠AGM=90°，当C,M,Q三点共