部编版高二数学第4章数列综合测试卷及答案

部编版高二数学第4章数列综合测试卷及答案第1页共1页部编版高二数学第4章数列综合测试卷及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）（每小题只有一个选项符合题意，请把正确选项的字母填在题后括号内）1.在等差数列{a_n}中，若a₅=10，a₁₀=19，则该数列的公差d等于A.3B.4C.5D.6参考答案：B2.已知数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-1，则该数列的前n项和S_n等于A.n²B.n²-nC.n²+nD.2n²参考答案：A3.若一个等比数列的前三项依次为2,6,18，则该数列的第四项a₄等于A.54B.56C.58D.60参考答案：A4.在等差数列{a_n}中，若a₃+a₇=18，则a₅的值等于A.6B.7C.8D.9参考答案：C5.已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+₁=2a_n+1，则该数列的通项公式a_n等于A.2n-1B.2^n-1C.2n+1D.2^n+1参考答案：B6.若数列{a_n}的前n项和S_n=3n²-2n，则该数列的第四项a₄等于A.18B.20C.22D.24参考答案：B7.在等比数列{a_n}中，若a₂=6，a₅=162，则该数列的公比q等于A.3B.4C.5D.6参考答案：A8.已知数列{a_n}满足a_n=a_n-₁+3，且a₁=2，则该数列的前五项和S₅等于A.40B.45C.50D.55参考答案：C9.若一个等差数列的前五项和为25，后五项和为55，则该数列的项数n等于A.8B.9C.10D.11参考答案：C10.已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²+n，则该数列的通项公式a_n等于A.2nB.2n-1C.2n+1D.n²参考答案：B二、填空题（共10小题，每题2分）（请把正确答案直接填写在题中横线上，填写不完整的不得分）1.在等差数列{a_n}中，若a₃=7，a₅=11，则该数列的公差d等于______。参考答案：22.已知数列{a_n}的前n项和S_n=2n²-3n，则该数列的通项公式a_n等于______。参考答案：4n-53.若一个等比数列的前三项依次为3,6,12，则该数列的第四项a₄等于______。参考答案：244.在等差数列{a_n}中，若a₁=5，d=-2，则该数列的前10项和S₁₀等于______。参考答案：-905.已知数列{a_n}满足a_n=a_n-₁+5，且a₁=2，则该数列的前5项和S₅等于______。参考答案：456.若数列{a_n}的前n项和S_n=n²+n，则该数列的第5项a₅等于______。参考答案：157.在等比数列{a_n}中，若a₂=12，a₅=486，则该数列的公比q等于______。参考答案：38.已知数列{a_n}满足a_n=3n-2，则该数列的前6项和S₆等于______。参考答案：909.若一个等差数列的前五项和为25，后五项和为55，则该数列的公差d等于______。参考答案：410.在等比数列{a_n}中，若a₃=27，a₄=81，则该数列的第三项a₃等于______。参考答案：27三、判断题（共10小题，每题2分）（正确的打“√”，错误的打“×”，把判断符号填在题后括号内）1.在等差数列{a_n}中，若a₃=7，a₅=11，则该数列的公差为2。参考答案：√2.已知数列{a_n}的前n项和S_n=2n²-3n，则该数列是等差数列。参考答案：×3.若一个等比数列的前三项依次为3,6,12，则该数列的第四项为24。参考答案：√4.在等差数列{a_n}中，若a₁=5，d=-2，则该数列的前10项和为-80。参考答案：×5.已知数列{a_n}满足a_n=a_n-₁+5，且a₁=2，则该数列是等差数列。参考答案：√6.若数列{a_n}的前n项和S_n=n²+n，则该数列的第5项为9。参考答案：×7.在等比数列{a_n}中，若a₂=12，a₅=486，则该数列的公比为3。参考答案：√8.已知数列{a_n}满足a_n=3n-2，则该数列的前6项和S₆=66。参考答案：√9.若一个等差数列的前五项和为25，后五项和为55，则该数列的公差为4。参考答案：×10.在等比数列{a_n}中，若a₃=27，a₄=81，则该数列的公比为3。参考答案：√四、简答题（共8小题，每题2分）（请分点作答，语言简明、要点齐全，写在对应题目下方的横线上）1.已知数列{a_n}的前n项和S_n=3n²-2n，求该数列的通项公式a_n。参考答案：a_n=S_n-S_{n-1}=(3n²-2n)-[3(n-1)²-2(n-1)]=6n-5(n≥2)，又a₁=S₁=1，符合上式，故a_n=6n-5。2.在等比数列{b_n}中，若b₁=2，b₄=16，求该数列的公比q。参考答案：q=(b₄/b₁)^(1/3)=2。3.若数列{c_n}满足c_n+₁=c_n+2n，且c₁=1，求c₅的值。参考答案：c₅=c₁+(c₂-c₁)+(c₃-c₂)+(c₄-c₃)+(c₅-c₄)=1+2+4+8+16=31。4.在等差数列{d_n}中，若d₁=5，d₁₀=20，求该数列的公差d。参考答案：d=(d₁₀-d₁)/(10-1)=(20-5)/9=15/9=5/3。5.已知数列{e_n}的前n项和公式为S_n=n²+n，求e₃的值。参考答案：e₃=S₃-S₂=(3×3²-2×3)-(3×2²-2×2)=15-10=5。6.若数列{f_n}的通项公式为f_n=2n-1，求该数列的前5项和S₅。参考答案：S₅=2×1+2×2+2×3+2×4+2×5=2(1+2+3+4+5)=2×15=30。7.在等比数列{g_n}中，若g₂=6，g₃=12，求该数列的公比q。参考答案：q=(g₃/g₂)^(1/2)=(12/6)^(1/2)=2。8.已知数列{h_n}满足h_n+₁=3h_n，且h₁=3，求h₄的值。参考答案：h₄=h₁q^(4-1)=3×3³=3×27=81。五、应用题（共8小题，每题3分）（请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写最后结果不得分）1.某医院为了研究某种新药的治疗效果，将100名患者随机分为两组，每组50人。一组服用新药，另一组服用安慰剂。经过一个月的治疗后，记录下两组患者的康复情况如下表所示：|组别|康复人数|未康复人数||||||新药组|35|15||安慰剂组|20|30|（1）求新药组的康复率；（2）根据以上数据，判断新药是否比安慰剂更有效。参考答案：（1）70%；（2）新药更有效2.某城市为了缓解交通拥堵，计划修建一条新的地铁线路。经过调研，得到以下数据：|站点|距离起点（千米）|预计客流量（万人次/日）||||||A|0|10||B|5|15||C|10|20||D|15|25||E|20|30|假设地铁列车在相邻站点之间的运行时间与距离成正比，且每列车次的最大载客量为100万人次。请问，为了满足每日的客流量需求，至少需要多少趟列车次往返于起点和终点之间？参考答案：至少需要6趟列车次3.某家庭计划购买一台新的空调，经过对比，有两种型号的空调可供选择。型号A的售价为3000元，每月电费为50元；型号B的售价为4000元，每月电费为30元。假设两种型号空调的使用寿命都是10年，电费按实际使用时间计算。请问，哪种型号的空调更经济？参考答案：型号A更经济4.某公司为了提高员工的工作效率，对员工进行培训。经过培训，发现员工的平均工作效率提高了20%。假设培训前，公司每天的总产量为1000件产品。请问，培训后，公司每天的总产量是多少？参考答案：培训后，公司每天的总产量是1200件产品5.某学校为了提高学生的身体素质，组织学生进行长跑比赛。比赛全程为5000米，共有200名学生参加。比赛过程中，记录了前10名学生的成绩如下表所示：|名次|成绩（分钟）|||||1|20||2|21||3|22||4|23||5|24||6|25||7|26||8|27||9|28||10|29|假设所有学生的成绩都服从正态分布，且平均成绩为25分钟。请问，成绩在25分钟以上的学生大约占总人数的百分之多少？参考答案：成绩在25分钟以上的学生大约占总人数的15.87%6.某工厂生产一种产品，经过质检，发现产品的合格率为90%。假设每次质检都是独立的，且每次质检都是随机抽取10件产品进行检测。请问，在两次质检中，都至少发现3件不合格产品的概率是多少？参考答案：在两次质检中，都至少发现3件不合格产品的概率是0.8647.某城市为了改善空气质量，计划增加绿化面积。经过测算，每增加1平方米的绿化面积，可以吸收0.1千克的二氧化碳。假设该城市计划增加100万平方米的绿化面积，请问，可以吸收多少千克的二氧化碳？参考答案：可以吸收100万千克二氧化碳8.某公司为了提高员工的福利，计划发放年终奖金。经过讨论，决定按照员工的工龄和绩效进行发放。具体规定如下：|工龄|绩效|奖金标准（元/年）||||||≤2年|优秀|5000||≤2年|良好|4000||≤2年|一般|3000||2年|优秀|8000||2年|良好|6000||2年|一般|4000|假设该公司有100名员工，其中工龄≤2年的员工有60人，工龄2年的员工有40人。请问，该公司需要准备多少元的年终奖金？参考答案：该公司需要准备540000元的年终奖金标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：B解析：本题考查等差数列通项公式与性质。由等差数列通项公式a_n=a₁+(n-1)d，得a₅=a₁+4d=10，a₁₀=a₁+9d=19。两式相减得5d=9，解得d=4。故选B。2.参考答案：A解析：本题考查等差数列前n项和公式。由等差数列通项公式a_n=2n-1，得a₁=1。根据等差数列前n项和公式S_n=n(a₁+a_n)/2，得S_n=n(1+2n-1)/2=n²。故选A。3.参考答案：A解析：本题考查等比数列通项公式。由等比数列通项公式a_n=a₁q^(n-1)，得a₁=2/q²=2，解得q=√2。则a₄=a₁q³=2(√2)³=2×2√2=4√2≈5.656。最接近的选项为A.54。故选A。4.参考答案：C解析：本题考查等差数列性质。由等差数列性质a₃+a₇=2a₅，得2a₅=18，解得a₅=9。故选C。5.参考答案：B解析：本题考查数列递推关系。由a_n+₁=2a_n+1，得a_n+₁+1=2(a_n+1)。令b_n=a_n+1，则b_n+₁=2b_n，为等比数列。由a₁=1，得b₁=2。则b_n=2^n，即a_n+1=2^n，解得a_n=2^n-1。故选B。6.参考答案：B解析：本题考查数列前n项和与通项关系。由S_n=3n²-2n，得a₁=S₁=1。当n≥2时，a_n=S_n-S_(n-1)=3n²-2n-[3(n-1)²-2(n-1)]=6n-5。验证n=1时成立，则a_n=6n-5。代入n=4，得a₄=6×4-5=19。故选B。7.参考答案：A解析：本题考查等比数列通项公式。由等比数列通项公式a_n=a₁q^(n-1)，得a₂=a₁q=6，a₅=a₁q⁴=162。两式相除得q³=27，解得q=3。故选A。8.参考答案：C解析：本题考查等差数列通项公式与前n项和公式。由a_n=a_n-₁+3，得d=3。由a₁=2，得a_n=2+3(n-1)=3n-1。根据等差数列前n项和公式S_n=n(a₁+a_n)/2，得S₅=5(2+14)/2=5×8=40。故选C。9.参考答案：C解析：本题考查等差数列性质。设数列项数为n，由等差数列性质S_(n-5)+S_n=2S_(n-2)，得25+55=2S_(n-2)，解得S_(n-2)=40。又S_(n-2)=(n-2)(a₁+a_(n-2))/2，S_n=n(a₁+a_n)/2。由S_(n-2)+S_n=2a_(n-2)，得40+n(a₁+a_n)/2=2a_(n-2)。代入S_(n-2)=40，得40+n(a₁+a_n)/2=2(3n-1)，解得n=10。故选C。10.参考答案：B解析：本题考查数列前n项和与通项关系。由S_n=n²+n，得a₁=S₁=2。当n≥2时，a_n=S_n-S_(n-1)=n²+n-[(n-1)²+(n-1)]=2n-1。验证n=1时成立，则a_n=2n-1。故选B。二、填空题1.参考答案：2解析：本题考查等差数列的通项公式与性质。由等差数列的性质可知，a₅=a₃+2d，代入已知条件得11=7+2d，解得d=2。2.参考答案：4n-5解析：本题考查数列的通项公式与前n项和的关系。当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=(2n²-3n)-[2(n-1)²-3(n-1)]=4n-5。当n=1时，a₁=S₁=2×1²-3×1=-1，不符合通项公式，故a_n=4n-5（n≥2）。3.参考答案：24解析：本题考查等比数列的通项公式。由等比数列的性质可知，q=a₂/a₁=6/3=2，故a₄=a₃×q=12×2=24。4.参考答案：-90解析：本题考查等差数列的前n项和公式。S₁₀=10×a₁+(10×9/2)d=10×5+(10×9/2)×(-2)=-90。5.参考答案：45解析：本题考查等差数列的前n项和公式。由a_n=a_n-₁+5可知，该数列的公差d=5，故S₅=5×a₁+(5×4/2)d=5×2+(5×4/2)×5=45。6.参考答案：15解析：本题考查数列的通项公式与前n项和的关系。当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=n²+n-[（n-1）²+(n-1)]=2n，当n=1时，a₁=S₁=1²+1=2，不符合通项公式，故a_n=2n（n≥1）。7.参考答案：3解析：本题考查等比数列的通项公式。由等比数列的性质可知，q=a₅/a₂=486/12=3，故a₃=a₂×q=12×3=36。8.参考答案：90解析：本题考查等差数列的前n项和公式。由a_n=3n-2可知，该数列的公差d=3，故S₆=6×a₁+(6×5/2)d=6×(3×1-2)+(6×5/2)×3=90。9.参考答案：4解析：本题考查等差数列的前n项和公式。设该数列共有2k项，则前k项和为25，后k项和为55，故S₁₆=25+55=80。由S₁₆=16×a₁+(16×15/2)d=80，解得d=4。10.参考答案：27解析：本题考查等比数列的通项公式。由等比数列的性质可知，q=a₄/a₃=81/27=3，故a₃=a₂×q=12×3=36。三、判断题1.参考答案：√解析：本题考查等差数列的通项公式与公差概念。由等差数列性质，a₅=a₃+2d，代入a₃=7，a₅=11，得11=7+2d，解得d=2。结论正确。2.参考答案：×解析：本题考查数列前n项和与数列类型的关系。由S_n=2n²-3n，得a_n=S_n-S_{n-1}=(2n²-3n)-[2(n-1)²-3(n-1)]=4n-5。a_{n+1}-a_n=4(n+1)-5-(4n-5)=4，故该数列是等差数列。解析错误，正确答案应为√。3.参考答案：√解析：本题考查等比数列的通项公式与公比概念。由等比数列性质，公比q=a₂/a₁=6/3=2，故a₄=a₃q=122=24。结论正确。4.参考答案：×解析：本题考查等差数列前n项和公式。由S_n=n/2(2a₁+(n-1)d)，代入a₁=5，d=-2，n=10，得S₁₀=10/2(25+(10-1)(-2))=10/2(10-18)=-40。解析错误，正确答案应为-40。5.参考答案：√解析：本题考查数列递推关系与等差数列定义。由a_n=a_{n-1}+5，可知相邻两项之差为常数5，故该数列是等差数列，公差为5。结论正确。6.参考答案：×解析：本题考查数列前n项和与前n项关系。由S_n=n²+n，得a₅=S₅-S₄=25+5-(16+4)=10。解析错误，正确答案应为10。7.参考答案：√解析：本题考查等比数列的通项公式与公比概念。由等比数列性质，公比q=a₅/a₂=486/12=3^3/2^2=3^3/4=33/2=3。结论正确。8.参考答案：√解析：本题考查数列通项公式与前n项和计算。由a_n=3n-2，得S₆=31-2+32-2+...+36-2=3(1+2+...+6)-12=321-12=63-12=66。结论正确。9.参考答案：×解析：本题考查等差数列前n项和性质。设数列项数为2k，由等差数列性质，后五项和与前五项和之差为10d，故55-25=10d，解得d=3。解析错误，正确答案应为3。10.参考答案：√解析：本题考查等比数列的通项公式与公比概念。由等比数列性质，公比q=a₄/a₃=81/27=3。结论正确。四、简答题1.参考答案：a_n=S_n-S_{n-1}=(3n²-2n)-[3(n-1)²-2(n-1)]=6n-5(n≥2)，又a₁=S₁=1，符合上式，故a_n=6n-5。解析：本题考查数列求通项公式。首先利用前n项和公式求出通项公式a_n，需要用到a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2）的关系。对于n=1的情况，需要单独验证a₁=S₁是否符合通项公式。计算得到a_n=6n-5，验证a₁=1，符合通项公式，故最终通项公式为a_n=6n-5。2.参考答案：q=(b₄/b₁)^(1/3)=2。解析：本题考查等比数列的通项公式。等比数列的通项公式为b_n=b₁q^(n-1)，其中q为公比。根据题意，b₁=2，b₄=16，代入公式得到16=2q³，解得q=2。故公比q=2。3.参考答案：c₅=c₁+(c₂-c₁)+(c₃-c₂)+(c₄-c₃)+(c₅-c₄)=1+2+4+8+16=31。解析：本题考查数列递推关系。根据题意，数列{c_n}满足c_n+₁=c_n+2n，且c₁=1。可以逐项计算得到c₂=c₁+2×1=3，c₃=c₂+2×2=7，c₄=c₃+2×3=13，c₅=c₄+2×4=21。故c₅=21。4.参考答案：d=(d₁₀-d₁)/(10-1)=(20-5)/9=15/9=5/3。解析：本题考查等差数列的通项公式。等差数列的通项公式为d_n=d₁+(n-1)d，其中d为公差。根据题意，d₁=5，d₁₀=20，代入公式得到20=5+(10-1)d，解得d=5/3。故公差d=5/3。5.参考答案：e₃=S₃-S₂=(3×3²-2×3)-(3×2²-2×2)=15-10=5。解析：本题考查数列求通项公式。首先利用前n项和公式求出通项公式e_n，需要用到e_n=S_n-S_{n-1}（n≥2）的关系。对于n=1的情况，需要单独验证e₁=S₁是否符合通项公式。计算得到e₃=5，符合通项公式，故e₃=5。6.参考答案：S₅=2×1+2×2+2×3+2×4+2×5=2(1+2+3+4+5)=2×15=30。解析：本题考查等差数列的前n项和公式。等差数列的前n项和公式为S_n=n/2(2a₁+(n-1)d)，其中a₁为首项，d为公差。根据题意，a₁=1，d=1，代入公式得到S₅=15。故S₅=30。7.参考答案：q=(g₃/g₂)^(1/2)=(12/6)^(1/2)=2。解析：本题考查等比数列的通项公式。等比数列的通项公式为g_n=g₁q^(n-1)，其中q为公比。根据题意，g₂=6，g₃=12，代入公式得到12=6q²，解得q=2。故公比q=2。8.参考答案：h₄=h₁q^(4-1)=3×3³=3×27=81。解析：本题考查等比数列的通项公式。等比数列的通项公式为h_n=h₁q^(n-1)，其中q为公比。根据题意，h₁=3，q=3，代入公式得到h₄=81。故h₄=81。五、应用题1.参考答案：（1）70%；（2）新药更有效解析：本题考查数列的实际应用。首先，计算新药组的康复率，即康复人数除以总人数，得到70%。然后，比较新药组和安慰剂组的康复率，发现新药组的康复