线代期末试题及答案讲解

线代期末试题及答案讲解

一、单项选择题(每题2分，共10题)

1.设矩阵\(A\)为\(3\)阶方阵，且'(\vertA\vert=2\),则

\(\vert-2A\vert=(\)\)

A.\(-16\)B.\(16\)C.\(-4\)D.\(4\)

2.若\(A\)、\(B\)为同阶方阵,则\((AB厂2=(\)\)

A.\(A'2lT2\)B.\(ABAB\)C.\(BAAB\)D.\(If2A八2\)

3.向量组\(\alpha_l=(1,2,3)\),\(\alpha_2=(2,4,6)\),

\(\alpha_3=(l,3,5)\)的秩为()

A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(0\)

4.已知\(A\)为\(n\)阶方阵,\(r(A)=n-1\),则\(Ax=0\)的基础

解系所含向量个数%()

A.\(0\)B.\(1\)C.\(n-1\)D.\(n\)

5.设\(A\)是\(n\)阶可逆矩阵，\(A1)是\(A\)的伴随矩阵,则()

A.\(\vertA\vert=\vertA\vert"{n-1}\)B.\(\vert

A\vert=\vertA\vert\)

C.\(\vertA\vert=\vertA\vertn\)D.\(\vertA\vert二

\vertA\vert"{-1}\)

6.若矩阵\(A\)与\(B\)相似，则()

A.\(A\)与\(B\)相等B.\(A\)与\e\)合同

C.\(A\)与\(B\)有相同的特征值D.\(A\)与\(B\)有相同的特征向

量

7.二次型\(f(x」,x_2)=x_「2+4x_lx_2+x_2-2\)的矩阵为()

A.\(\begin(pmatrix}1&2\\2&l\end{pmatrix}\)B.

\(\begin{pmatrix}1&4\\4&l\end{prr.atrix}\)

C.\(\begin(pmatrix}1&1\\4&l\end{pmatrix}\)D.

\(\begin{pmatrix}1&0\\4&l\end(prr.atrix}\)

8.已知\(A\)为\(3\)阶方阵，且\(A\)的特征值为\(1,-1,2\),则

\(\vertA+E\vert=(\)\)

A.\(4\)B.\(2\)C.\(0\)D.\(6\)

9.设\(A\)是'(m'timesn\)矩阵,\(Ax=b\)有解的充分必要条件是

()

A.\(r(A)=m\)B.\(r(A)=n\)

C.\(r(A)=r(A|b)\)D.\(r(A)\ltr(A|b)\)

10.若\(A\)为正交矩阵，则、(A-TA=(\)\)

A.\(E\)B.\(0\)C.\(A\)D.\(A^(-1}\)

二、多项选择题(每题2分，共10题)

1.下列关于矩阵运算正确的有()

A.\((A+B)-2二/「2+2AB+B-2\)(当'(AB=BA\)时)

B.\((kA)F=kAF\)(\(k\)为常数)

C.\((AB):T=BMT\)

D.\(A-2-B-=(A+B)(A-B)\)(当\(AB=BA\)时)

2.向量组\(\alpha_l,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性相关的充分

必要条件是()

A.存在不全为零的数'(k_l,k_2,\cdots,k_s\),使得\(k_l\alpha_l

+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)

B.向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)中至少有一个向

量可由其余向量线性表示

C.\(r(\alpha_l,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)\lts\)

I).向量组\(\alpha_l,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)中含有零向量

3.设\(A\)为\(n\)阶方阵，下列说法正确的有()

A.若\(A\)可逆,则\(A\)的列向量组线性无关

B.若\(A\)不可逆,则、(Ax=0\)有非零解

C.若\(A\)的行列式、(\vertA\vert=0\),则\(A\)的行向量组线性

相关

D.若\(A\)的秩\(r(A)=n\),则\(A\)可逆

4.关于矩阵的特征值与特征向量，下列说法正确的是()

A.若\(\lambda\)是\(A\)的特征值，则\(\lambda\)满足

\(\vert\lambdaE-A\vert=0\)

B.属于同一特征值'(\lambda\)的特征向量的线性组合还是属于

\(\lambda\)的特征向量

C.不同特征值对应的特征向量线性无关

D.若\(A\)可逆，\(\lambda\)是\(A\)的特征值,则

\(\frac⑴{\lambda}\)是'(A«}\)的特征值

5.下列矩阵中是正交矩阵的有()

A.\(\begin{pmatrix}1&0\\0&l\end{pmatrix}\)B.

\(\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&

\cos\theta\end{pmatrix}\)

C.\(\begin{pmatrix}0&1\\1&O\end{pmatrix}\)D.

\(\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{l}{\sqrt{2}}\\-

\frac{1}{\sqrt{2})&\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}\)

6.设\8\)、\(B\)为同阶方阵，且\(A\)V\(B\)合同,则()

A.\(A\)与\(B\)有相同的秩

B.\(A\)与\(B\)有相同的正惯性指数

C.\(A\)与\(B\)有相同的负惯性指数

D.\(A\)与\(B\)有相同的特征值

7.已知二次型、(f(x_l,x_2,x_3)=x_r2+x_2^2+x_32+

2ax」x_2+2bx_2x_3+2x_lx_3\)正定，则()

A.\(a\lt1\)B.\(b\lt1\)

C.\(a2+b2-ab-l\lt0\)D.\(a2+b2-ab-l\gt0\)

8.若\(A\)为\(n\)阶方阵,\(r(A)=r\),则()

A.\(A\)中存在\(r\)阶子式不为零

B.\(A\)中所有\(r+1\)阶子式全为零

C.\(A\)的行向量组的极大线性无关组含\(r\)个向量

D.\(A\)的列向量组的极大线性无关组含\(r\)个向量

9.设\(A\)、\(B\)为\(n\)阶方阵,且'(AB=0\),则()

A.\(r(A)+r(B)\leqn\)

B.若\(r(A)=k\),则\(r(B)\leqn-k\)

C.\(A\)的列向量组是\(Bx=0\)的解向量

D.\(B\)的行向量组是\(AFx=0\)的解向量

10.下列关于线性方程组解的说法正确的有()

A.齐次线性方程组'(Ax=0\)一定有解

B.非齐次线性方程组'(Ax=b\)有解的充要条件是'(r(A)=r(A|b)\)

C.若齐次线性方程组'(Ax=0\)的系数矩阵\(A\)的秩\(r(A)=n\)

(\(n\)为未知数个数)，贝八(Ax=0\)只有零解

D.若非齐次线性方程组\(Ax=b\)有无穷多解，则'(r(A八Itn\)

(\(n\)为未知数个数)

三、判断题(每题2分，共10题)

1.若矩阵\(A\)与\(B\)的乘积\(AB=0\),则\(A=0\)或\(B=0\)。

()

2.向量组中向量个数大于向量维数时，向量组一定线性相关。()

3.若矩阵\(A\)可逆，贝八(A\)的伴随矩阵'(A、)也可逆。()

4.相似矩阵一定有相同的行列式。()

5.二次型'仕6」,*_2,乂血15鹏”)\)正定的充要条件是它的标准形

的系数全为正。()

6.若\(A\)为正交矩阵，贝八(\vertA\vert=1\)0()

7.矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。()

8.齐次线性方程组,(Ax=0\)的基础解系是唯一的。()

9.若\(A\)、\(B\)为同阶方阵，且\(A\)与\(B\)等价，则\(A\)与

\(B\)相似。()

10.若向量组\(\alpha_l,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性无关，

\(\beta\)不能由\(\alpha_l,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性表示,

则\(\alpha_l,\alpha_2,\cdots,\alpha_s,\beta\)线性无关。()

四、简答题(每题5分，共4题)

1.简述矩阵可逆的充要条件。

答：\(n\)阶方阵\(A\)可逆的充要条件是'(\vertA\vert\neq0\)；

或\(r(A)=n\)；或\(A\)可表示为若干个初等矩阵的乘积；或\(Ax=

0\)只有零解。

2.求向量组\(\alpha_l=(l,1,0)\),\(\alpha_2=(l,0,1)\),

\(\alpha_3=(0,1,1)\)的秩。

答：对矩阵\(A=(\alpha」F,\alpha_2」,\alpha_3F)\)进行初等

行变换化为行阶梯形矩阵，可得\(r(A)=3\),所以向量组的秩为\(3\)。

3.已知\(A\)的特征值\(\lambda\)及对应的特征向量\(\xi\),求

\(A'2\)的特征值和特征向量。

答：因为\(A\xi=\lambda\xi\),则\(A2\xi=

A(A\xi)=A(\lambda\xi)=\lambdaA\xi=\lambda2\xi\),所以'(A-2\)

的特征值为'('lambda^\),特征向量为\(\xi\)。

4.写出二次型'(f(x」，x_2,x_3)=2x_r2+3x_2-2+5x_3^2+

2x_lx_2+4x_lx_3\)的矩阵。

答：二次型矩阵'(A=\begin{pmatrix}2&1&2W1&3&0W2

&0&5\end{pmatrix}\)0

五、讨论题(每题5分，共4题)

1.讨论矩阵的相似与合同之间的联系与区别。

答：联系：相似且实对称的矩阵必合同；合同且秩相等的实对称矩阵

可能相似。区别：相似是\(PXT}AP=B\),合同是\(PFAP二B\)。

相似主要针对特征值，合同针对二次型的正负惯性指数，概念和应用

场景不同。

2.在线性方程组求解中，如何判断解的情况并求出解？

答：对于'(Ax=b\),通过求\(r(A)\)与