数列难题汇编

高考数学常见难题大盘点：数列

1.函数=/+x-l,夕是方程Ax)=0的两个根(a>/),/，(%)是f(x)的导数；设q=1,

(〃=1,2,)

⑴求a,〃的值：

⑵证明：对任意的正整数〃，都有4>a：

解析：⑴・・・/(刈=炉+》_1,是方程F(>)=0的两个根(a>0,

-1+V5々-1-V5

a=---------、B=---------

2"2

a；+«-I-a(2«„+1)+-(2«„+1)--

⑵/'(x)=2x+l，“~2—=可244

2a.+l

5

=；(勿.+1)+五缶-g,4=1,・••有根本不等式可知令之号>0(当且仅当4=浮时取等号),

>/5—1pq坪石-1a„>"]=a(/?=1,2,.......),

%>0>0同,样生>——

"2

2.数列｛%｝的首项q=2a+l(a是常数，旦勺=+1-4〃+2(n>2),数列也,｝

2

的苜项A=a,blt=an+n(/?>2)o

(1)证明：｛2｝从第2项起是以2为公比的等比数列；

(2)设S,为数列｛〃,｝的前n项和，且｛S.｝是等比数列，求实数”的值；

(3)当a>0时，求数列｛。0｝的最小项。

分析：第(1)问用定义证明，进一步第(2)问也可以求出，第(3)问由。的不同而要分类讨论。

解：⑴*1•,bn=a.+/

22

:.bn+l=an+l+(〃+=2an+(n+1)-4(〃+1)+2+(77+1)

2

=2an+2n=2bn(n^2)

由4=2a+1得%=4a,b2=«24-4=4f/+4,

Va^—\,，4H0,

即｛"｝从第2项起是以2为公比的等比数列。

(4。+4)(2小一1)

(2)S=a+=-3a-4+(2a+2)2n

n2-1

5„3+2)2,—3々一4

当n22时,

(2a+2)2，-

•••｛S/是等比数列，••・L(n22)是常数，

S"-i

4

3a+4=0»HPci=----o

3

(3)由(1)知当〃22时，〃,=(4a+4)2"-2=(a+i)2",

2a+1(〃=1)

所以4="

(a+1)2”-〃2(〃z2)

所以数列｛凡｝为2a为,4a,8a-1,16a,32a+7,……

显然最小项是前三项中的一项。

当a£(0,1)时，最小项为8a-1：

4

当。=，时，最小项为4a或8aT；

4

当一,—)时,最小项为4a；

42

当。=，时，最小项为4a或2a+l；

2

当aG(工，十8)时，最小项为2a+l。

2

点评：此题考查了用定义证明等比数列，分类讨论的数学思想，有一定的综合性。

考点二：求数列的通项与求和

3.数列｛4｝中各项为：

12、1122、111222....、11……I22——2....

2个“个

(1)证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积.

(2)求这个数列前n项之和工.

分析：先要通过观察，找出所给的一列数的特征，求出数列的通项，进一步再求和。

12

解：⑴4=§(10"-1)」0"+示(10”-1)

=：(10"-1).(10”+2)=(牛1)(舞1+1)

7JJ

10"-1

记：A=------,那么A=33……3为整数

3-7—

***an=A(A+l),得证

Ii2

^=-(102+104+……+102n)+-(10+i02+……IOM)--«

=—(102n+2+1110d+,-l98/1-210)

891

点评：此题难点在于求出数列的通项，再将这个通项“分成”两个相邻正数的积，解决此题需要

一定的观察能力和逻辑推理能力。

4.数列｛%｝满足q=工，an=7-1以-----(n>2,neN).

4(T)a”.「2

(I)求数列｛4｝的通项公式%:

(II)设a=[■,求数列也』的前n项和Sn；

(Ill)设c“=a”sin⑵；D",数列｛%｝的前〃项和为，.求证：对任意的〃wN"Tn.

分析：此题所给的递推关系式是要分别“取倒”再转化成等比型的数列，对数列中不等式的证明通

常是放缩通项以利于求和。

1211

解：(])•.•一二(-1)“―--,+(-ir=(-2)[——+(-ir,],

a”a”7%

又；」-+(-1)=3,「.数列1」-+(-1)”是首项为3,公比为一2的等比数列.

%lan'

-+(—1)"=3(-2严，即%=:;二.

CinJ,Z+1

(II)bn=(3-2"T+1)2=9。4”T+6-2*T+1.

S9/(1-4)+6」(-2).〃=3.4〃+62+〃-9.

“1-41-2

(III)

(一1尸1

-3(-2)M-,-(-I)M_3-2M-,-1°

1111

当门23时，那么7；

3+13-2+1322+13-2,,_|+1

11।11_11^n-or2]

473-223-2332"281-1

U+4-011147484

28628684847

4

•.口<心<1，」.对任意的〃eN"Tn<-.

点评：此题利用转化思想将递推关系式转化成我们熟悉的结构求得数列｛%｝的通项。“，第三问K

等式的证明要用到放缩的方法，这将到下一考点要重点讲到。

考点三：数列与不等式的联系

5.a为锐角,且lana=J5-l,

2

函数f(x)=xtan2a+x•sin(2a+—)，数列｛&｝的首项q=Lan+l-f(an).

42

⑴求函数/(幻的表达式：

⑵求证:a“+i>an；

分析：此题是借助函数给出递推关系，第(2)问的不等式利用了函数的性质，第(3)问是转化成

可以裂项的形式，这是证明数空口的不等式的另一种出路。

解.：(1)tan2a=三*=2(丐-D=1又•：a为锐角

1-tan-a1-G2-1)2

2a=—/.sin(2a+—)=1f(x)=x2+x

44

"s，…%都大于0

">0

点评：把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想，此题中的第（3）问不等式的证明更具

有一般性。

6.数列｛““｝满足q=1,4川=2n“+1（〃£N，）

（I）求数列｛q｝的通项公式；

（II）假设数列也｝满足“-中一/一…43=（/+1产，证明：也｝是等差数列；

।119

（III）证明：—+—+

44%*3

分析：本例（1）通过把递推关系式转化成等比型的数列；第（2）关键在于找出连续一：项间的关系;

第⑶问关键在如何放缩。

解：⑴=24+1,...a“+]+1=2（。“+1）

故数列+1｝是首项为2,公比为2的等比数列。

rt

."+1=2",an=2-l

(2)454廿2氏7…44T=(an+1卢,)=24

2(/?)+b2+…+)-2〃=〃"①

2出+b2+•••+〃”+力”+1)-2(〃+1)=(〃+l)b“+i②

②一①得2%-2=(〃+1)久+|-也,即也-2=(--l)、+i③

...(〃+1)“川一2=曲+2④

④一③得2也t=nbn+mz,即2%=bn+%

所以数列｛2｝是等差数列

设s=那么s<=-!-+2(s--—)

a、a,a、2a,a-,a„a.2

点评：数列中的不等式要用放缩来解决难度就较大了，而旦不容易把握，对于这样的题要多探索，多

角度的思考问题。

7.函数/（x）=x-ln（l+x）,数列｛〃“｝满足0<q<1,

《小=/（可）；数列他J满足匕=；，％小；5+1）2，求证：

[III）假设q=等，那么当n>2时,”>%­〃

分析：第（1）问是和自然数有关的命题，可考虑用数学归纳法证明：第（2）问可利用函数的单调

性；第13）间进行放缩。

解：（I）先用数学归纳法证明。<为<1,

(1)当n=l时，由得结论成立;

(2)假设当n=k时,结论成立,即0<为<1.那么当n=k+l时，

因为O〈x<l时，f(x)=1------=」>0,所以f(x)在(0,1)上是增函数.

X+\X+1

又抽)在［(),1］上连续，所以('(0)<9(4)<门1),即0〈&+1<1-1112<1.

故当n=k+l时,结论也成立.即0<%<1对于一切正整数都成立.

又由()</<1,得a“+i-a”=an-In(l+aft)-an=-ln(l+«J<0,从而。用

综上可知0<%<%<1•

r-x

(H)构造函数g(x)=-—f(x)=—+ln(l+x)-x,0<x<l,

22

由g«)=—>0,知g(x)在(0,1)上增函数.

1+x

又86)在［0,1］上连续,所以g(x)>B(0)=0.

202

因为0<%<1,所以g(q)>0,即a一/(%)>0,从而<宁.

(III)因为伪=3也用之3(〃+1)包，所以a>0,导之等，

n

所以a=—―,n1•••—•b.2—H-------①，

〃，一"b.12"

/i-ln-27I

由(II)。向<巴一知：也<&,所以2=0.•&.…2〈冬士

242a}4a2%222

因为4=等，n22,0<«n+1<an<\.

a.a-,a„,,an2-a.21-

所以。“<甘方发"〈广〈寸--------②.

由①②两式可知：，>〃“•〃!.

点评：此题是数列、超越函数、导数的学归纳法的知识交汇题，属于难题，复习时应引起注意。

考点四：数列与函数、向量等的联系

8.函数设正项数列｛牝｝满足%=1,%=/(%).

(1)写出的、%的值；

(2)试比拟应与3的大小，并说明理由：

4

5n1

⑶设数列｛2｝满足a=2—勺,记S产证明：当n22时,SnV±(2"-1).

r=l

分析：比拟大小常用的方法是作差法，而求和式的不等式常用的方法是放缩法。

解：⑴*=椅年，因为q=l,所以%=］4=］•

16—8”“84

⑵因为4>0,。川>0,所以16-89>O,Ovq<2.

5二5+245二48(4一|)：34一(

--

-416-8«„-432(2-a„)~1'2-an'

因为2->0,所以4“—与4—同号，

44

因为4—2=—<0»ci-,——<(),——<0,,,,>6/——<0,EPci<—,

44~4444

(3)当2时，b=--a=---!-----(―-1)=-....!----blt।

"4"22-qi422-峭a

---《也7=22T，

~2--

4

所以”,v2•k22也一<2"一也=2"T,

II/1y-"2").

所以S.=4+4+・•+〃,<一+—+…+--------=一(2"-1)

"|2"42\2)1-24

点评：此题是函数、不等式的综合题，是高考的难点热点。

9.在平面直角坐标系中，三个点列{AJ,{B“},{C3其中4(〃必),纥5也)

G5-1,0)，满足向量时;与向量而共线，且点(B,n)在方向向量为(1,6)的

线上q=。,瓦=-a.

(1)试用a与n表示an(n>2):

(2)假设备与田两项中至少有一项为哪一项a的最小值，试求a的取值范围。

分析：第(1)问实际上是求数列的通项;第(2)问利用二次函数中求最小值的方式来解决。

解：⑴