河北省沧州市部分学校2027届高三上学期10月阶段检测数学试卷（含答案）

2027届高三质量检测数学（时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名及考号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知命题p:∀x<0,x2027A.∀x>0,xC.∃x⩾0,2．复数z=1+iln12（A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3．x+3A.25 B.27 C.32 D.364．已知函数f(x)=sin2x+2π3，为了得到函数gA.向左平移11π12个单位长度 B.向左平移11πC.向右平移11π12个单位长度 D.向右平移11π5．已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,bA.13 B.19 C.5 D.76．已知水质达标的一项标准为硼浓度不大于1 mg/L．现利用某海水淡化装置去除某水体中的微量硼元素，其初始硼浓度为8.8 mg/L，经过t分钟过滤后，硼浓度y （参考数据：ln14≈2.639，ln16≈2.773，ln18≈2.890）A.26分钟 B.27分钟 C.28分钟 D.29分钟7．已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在以O为球心的球面上，若AB=BC=3，∠ABC=2π3，且三棱锥P-ABCA.32π3 B.4π C.16π D.8．已知a=sin(cos2)，b=cos(sin2)，A.a>b>c B.c>b二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知关于x的不等式(2a-4)x2A.当a=2时，M=-∞,12 B.C.当a>4时，D.当a<2时，10．已知F1,F2为双曲线C:x23-A.PF1-PF2=2C.C的离心率为2D.若λ=1，则11．设数列{an}前n项和为Sn，a1=2．如图，在△ABC中，D为AB边中点，点E在线段A.aB.数列{anC.数列{anD.S三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．某科研机构测试7台人形机器人步态精度综合得分（满分10分）如下：9.4，8.5，8.7，9.1，9.6，9.2，9.4，则这组数据的中位数为＿＿＿＿＿＿．13．定义非空数集A的“跨度”为L(A)=maxA-minA，即数集中的最大值与最小值的差．已知集合A={x14．已知函数f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数，f'(x)是f(x)的导函数．当x>0四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）某新能源企业的甲、乙两条自动化产线生产动力电池电芯，两条产线当日产量相同．为探究产线类型与电芯合格情况是否存在关联，采用按比例分层随机抽样的方法，从该厂当日生产的电芯中随机取出100枚进行性能检测，得到如下2×2列联表：单位：枚不合格电芯合格电芯合计甲自动化产线550乙自动化产线40合计(1)将列联表补充完整并根据小概率值α=0.05的独立性检验，分析自动化产线类型(2)用样本的频率估计概率，从当日生产的电芯中随机抽取2枚进行检测，记其中不合格电芯的个数为X，求X的分布列与期望．附：χα0.1000.0500.010x2.7063.8416.63516．（本小题满分15分）如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2，PC⊥底面ABCD，(1)求证：PD∥平面EAC；(2)若二面角P-AC-E的余弦值为63，求直线AP与平面17．（本小题满分15分）已知函数f(x)=12sin2ω(1)求f(x)(2)记函数g((i)若g(x)在[0,m]上恰有3(ii)将g(x)的正零点按从小到大的顺序依次记作x1,x2,x3,⋯，设18．（本小题满分17分）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>(1)求C的方程．(2)设O为坐标原点，过点P(0,4)且斜率为k的直线与C交于M,(i)求△OMN面积的最大值；(ii)证明：直线BM与AN的交点G在定直线上，并求出该定直线的方程．19．（本小题满分17分）已知函数f((1)当a=1(i)求曲线y=f(x)(ii)若正实数x1,x2满足(2)若不等式ex-1x+12f(x)-题号1234567891011答案DDADABCBABDBCDBCD1.D解析：命题p:∀x<0,x2027⩽0的否定¬2.D解析：复数z在复平面内对应的点为1,ln12，在第四象限，故选3.A解析：x+3x3x+4x=3x4.D解析：将f(x)的图象向右平移11π24个单位长度可得g(5.A解析：由余弦定理得b2=a2+c6.B解析：依题意，当t=0时，y=8.8，则8.8=0.4+λ，解得λ=8.4，所以y=0.4+8.4e-t10，当y⩽1时，可得0.4+8.4e-t10⩽1，所以7.C解析：设球O的半径为R，三棱锥P-ABC的高为h，△ABC的外接圆为⊙O1，易知当PO1⊥平面ABC且PO1>R时，三棱锥P-ABC的体积最大．S△ABC=12×AB⋅BC⋅sin∠ABC=334，则VP-ABC=13hS△ABC的最大值为334，所以h8.B解析：由-1<cos2<0，可知a=sin(cos2)<0．易知sin2∈32,1，构造函数f(t)=t-cost，t∈32,19.ABD解析：当a=2时，不等式为-2x+1⩾0，则x⩽12，A正确；当a=4时，不等式为4x2-4x+1⩾0，即(2x-1)2⩾0，B正确；当a>4时，2a-4>0，Δ>0，且10.BCD解析：根据双曲线的定义，PF1-PF2=23λ，A错误；由双曲线方程知a=3λ,b=λ，所以双曲线渐近线为y=±33x，B正确；c=a2+b2=2λ，离心率为11.BCD解析：∵D为AB中点，∴2ED=EA+EB，∴EB=2ED-EA，又C,E,B三点共线，∴EC=λEB=2λED-λEA，又EC=an+1EA-4(an+2)ED，∴-λ=an+1,2λ=-4(a12.9.2解析：综合得分从低到高依次为8.5,8.7,9.1,9.2,9.4,9.4,9.6，中位数为9.2．13.-1或6解析：易知A=[2,3]，B=[a-1,a+1]，当a>3时，max(A∪B)=a+1，min(A∪B)=2，则a+1-2=5，解得a=6；当a<214.(-1,0)∪(0,1)解析：设g(x)=f(x)x2，x≠0，则g'(x)=x2f'(x)-2xf(x)x4=xf'(x)-2f(x)x3，当x>0时，xf'(x)-2f(x)>0，且x3>0，因此g15.解：(1)将列联表补充完整为不合格电芯合格电芯合计甲自动化产线54550乙自动化产线104050合计1585100零假设H0：自动化产线类型与电芯合格情况无关． 2

由列联表，得χ2=100×(5×40-10×45)所以根据小概率值α=0.05的独立性检验，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为自动化产线类型与电芯合格情况无关． (2)依题意，从样本中随机抽取1枚电芯为不合格电芯的概率15100=320由已知X的可能取值有0,1,2，随机变量X∼B2,3P(X=0)=CP(X=1)=CP(X=2)=C则X的分布列为X012P289519 12

分E(X)=2×316.解：(1)证明：如图，连接AC,BD交于点F，连接EF． 1

分在梯形ABCD中，因为AB∥CD，所以△BFA∽△DFC，所以BFDF=BADC又因为PB=3PE，所以即在△PBD中，BFDF=BEPE，所以PD∥EF又因为EF⊂平面EAC，PD⊄平面EAC，所以PD∥平面EAC． 6

分(2)如图，以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，过A作平行于PC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(1,1,0)．设P(1,1,h) (h>0)，则E23,设平面PAC的一个法向量为m=(则m⋅AC=0,m⋅AP=0,即a+设平面EAC的一个法向量为n=(则n⋅AC=0,n⋅AE=0,即依题意，cos⟨m,n⟩=m于是n=(1,-1,1)，AP=(1,1,1)． 设直线AP与平面EAC所成角为θ，则sinθ即直线AP与平面EAC所成角的正弦值为13． 15

17.解：(1)f(x)=1其最小正周期为π，则ω=1，故f(x)=sin令2kπ-π2⩽2x-π3⩽2kπ+同理f(x)的递减区间是kπ令2x-π3=kπ+π2(k(2)(i)g(x)=f(x)-12=0，即f(xg(x)在[0,m]上恰有3个零点，因此11π6⩽2m-(ii)由(i)知x1x7=37π12,x9=49π12，成公差为π的等差数列，又an=sinxn，所以同理，x2=3π4,x4=7π4,x6=11π4,x8数列{an}的前10项和S10中奇数项与偶数项各有5项，且奇数项和中相互抵消后只剩下a1一项，偶数项和中相互抵消后只剩下a2一项，因此18.解：(1)由F1F2=4，知c因为△AF1F2为直角三角形，所以由b2=a2-c2故C的方程为x28+y(2)(i)设直线MN的方程y=kx+4，M(x联立y=kx+4,x28+y2其中Δ=256k2-96(1+2k2)>0且x1+x2=-则△OMN的面积S△OMN令t=4k2-6，t>0所以S△OMN=8t当且仅当t=22，即k=±142所以△OMN面积的最大值为22． 10

(ii)证明：由题意得A(0,2)，B(0,-2)． 由(i)可知，kx1x2直线AN的方程为y-2=y2-2x2x，直线BM的方程为联立y得y-解得y=1． 16

即直线BM与AN的交点G在定直线y=1上． 17

19.解：(1)(i)当a=1时，f则f'(x)=2x+2x所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y(ii)证明：f'(x)=2x+2x+1>0又f(1)=2，所以f(x1若x1,x2都大于1同理x1,x2都小于1设0<x1⩽1⩽x2，欲证x1+x2⩾2，即证x令F(x)=F'(x)=所以F(x)在区间(0,1]上单调递增，所以