广西南宁市2026届高三下学期4月教学质量调研数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广西南宁市2026届高三下学期4月教学质量调研数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】.2.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，.3.已知椭圆C的两个焦点分别为，，点在C上.若C上一点M与的距离为6，则M与的距离为（）A.10 B.14 C.20 D.26【答案】B【解析】因为椭圆C的两个焦点分别为，，点在C上，所以，，于是.因为，且，所以.4.如图，在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的大小为（）．A.90° B.60° C.45° D.30°【答案】D【解析】连接，因为，，所以四边形是平行四边形，所以，所以是异面直线与所成角或其补角，设正方体的边长为，所以，，因为平面，平面，所以，所以，所以，因为，所以.故选：D.5.酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过（）个小时才能驾驶．（参考数据：，）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】C【解析】设他经过个小时后血液中酒精含量为，则，当时，，即，解得，因为时间必须大于小时才能使酒精含量低于，结合选项为整数，故至少需要经过小时才能驾驶.故选项C正确.6.下列命题为真命题的是（）A.命题，，则命题p的否定是：，B.“”是“”的充分不必要条件C.方程的两根都大于1的充要条件是D.是关于x的不等式对一切实数x恒成立的充要条件【答案】B【解析】对于A，因含全称量词的命题的否定需要改变量词，否定结论，故命题，的否定是：，，故A错误；对于B，由可得；但时，满足，却得不到，故“”是“”的充分不必要条件，故B正确；对于C，设，则方程的两根都大于1等价于：，解得，故C错误；对于D，对于x的不等式，当时，不等式恒成立，当时，不等式对一切实数x恒成立等价于，解得.综上可得，是关于x的不等式对一切实数x恒成立的充要条件，故D错误.7.设函数，若的图象经过点，且在上恰有2个零点，则实数ω的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为的图象经过点，所以，又，所以，则函数，当时，，因为在上恰有2个零点，所以，所以，即实数ω的取值范围是.故选：B.8.已知曲线C的方程是．设过点的直线的倾斜角为，若直线与曲线C恰有3个不同的交点，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】当时，，它表示双曲线的一部分；当时，，它表示圆的一部分；当时，，显然不成立，不表示任何曲线；当时，，它表示双曲线的一部分，所以曲线C的图象如下图所示：两条双曲线的渐近线方程为，当直线与平行时，即时，此时直线与曲线C恰有2个不同的交点，要想直线与曲线C恰有3个不同的交点，只需，当时，，设切点为，切线的斜率为，所以切线方程为，把的坐标代入，得，切线的斜率为，当直线与该切线平行时，即时，此时直线与曲线C恰有2个不同的交点，要想直线与曲线C恰有3个不同的交点，只需，综上所述：的取值范围是.二、选择题本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知实数满足，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】A.，则，故A正确；B.若，则，不满足，故B错误；C.若，则，故C错误；D.因为，所以，所以，即，故D正确.故选：AD.10.已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（）A.当时，B.的极大值点是3C.的值域为D.当时，函数有1个零点【答案】BD【解析】因为是奇函数，所以，当时，有，由题意可得，因此，所以A错误.当时，，求导得，因为，所以的符号由决定：当时，，是单调递增函数；当时，，是单调递减函数；因此在处取得极大值，所以B正确；下面判断值域，由上面的单调性可知，当时，，所以时，函数值范围为，当时，，求导得所以是极小值点，且又因此时，函数值范围为，结合，函数的值域为不是，所以C错误.最后判断D,令函数的零点等价于方程的实根，当时，时，的最大值，所以在上没有解，在上，在区间单调递增，且函数值从增大到因此对任意，方程在内恰有一个实根，所以函数有个零点，D正确.11.如图，在棱长为2的正方体中，M为中点，F为侧面正方形内一动点，且满足//平面，则（）A.三棱锥的外接球的表面积为B.三棱锥的体积是C.动点F的轨迹是一条线段D.若过A，M，三点作正方体截面，Q为上一点，则线段长度取值范围为【答案】ACD【解析】对于A选项，三棱锥的外接球与正方体外接球是同一个球，,,故A正确；对于B选项，，故B错误；对于C选项,取中点，那么,所以，平面，分别取的中点，则平面,平面所以，平面,由于四边形是矩形，,所以，四边形是平行四边形，所以，平面,平面，所以，平面,又平面,，所以，平面平面因为为侧面内一动点，且满足//平面，所以，平面平面又平面平面,所以，动点F的轨迹是线段,故C正确；对于D选项，若过三点作正方体截面，分别取中点,则四边形为平行四边形，那么,所以，四边形为平行四边形，所以，，所以，截面为四边形.设点到平面距离为,则,即，由于,所以，即，故D选项正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆的圆心在轴上，并且过点和，则圆的方程是______.【答案】.【解析】设圆心坐标为,点和在圆上，，即，解之得，可得圆心为.半径,圆的方程为.故答案为：.13.已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为______．【答案】【解析】依题意，该圆锥的侧面展开图扇形的弧长为，设圆锥的底面半径为，则由可得，故该圆锥的侧面积为.14.在量子计算与人工智能融合的前沿研究中，科研人员需通过调控函数优化量子比特的能量弛豫特性，定义“量子能量调控函数”：对于量子比特的相对能量值（单位：相对能量单位，以基态能量为零点），存在实数a，b（），使得函数对应量子比特的能量损耗规律．已知该函数满足“双极值对称”性质，即能量损耗的两个极值点（对应量子比特的两个稳定工作状态）关于直线对称，且两个极值的和（对应两种稳定状态下的总能量损耗）为整数4，则a的值为______，b的值为______．【答案】；【解析】，令，则，设和是的两个极值点，，，所以和是的两个解，所以，由韦达定理得，因为的两个极值点关于直线对称，所以，所以，解得，所以，和是的两个解，所以，解得，因为，，所以由二次函数性质可知，当时，，即，解得，所以，由韦达定理得，，，，，，，令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以当时，取得最小值，所以是的唯一解，因此.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，．（1）求a；（2）若的面积为，求AB上的高CD．解：（1）根据,，可知：，因为，即，所以，即;（2），解得，则，解得，则，代入，解得.16.为提升图书盘点效率，某中学图书馆引入AI智能图书盘点机器人．现对该机器人的图书识别准确率进行标准化测试，测试样本集有6本图书，分为两类：4本标签完好，是机器人应正确识别的有效馆藏图书；2本标签破损，是机器人应正确排除的无效图书．两类样本共同用于机器人识别性能测试，现从这6本图书中不放回地随机抽取2本，逐本开展测试．（1）已知第一次抽取到有效馆藏图书，求第二次也抽取到有效馆藏图书的概率；（2）记抽取的2本图书中，有效馆藏图书的数量为X，求X的分布列及数学期望．解：（1）记第一次抽取到有效馆藏图书为事件，第二次抽取到有效馆藏图书为事件，则，，所以，所以第二次也抽取到有效馆藏图书的概率；（2）随机变量的值为，则，，，所以的分布列为：012所以.17.已知函数，，且的图像在点处的切线为．若数列满足，且对任意，点均在切线上．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和为．解：（1）对函数求导得，因为，即，解得，因此，又因为的图像过点，所以，解得，因此，因为，的图像在点处的切线为，即，因为数列满足，且对任意，点均在切线上，所以，变形可得，因此数列是首项为，公比为的等比数列，所以由等比数列通项，整理得.（2）已知，因此前项和，因为，令，，，两式相减得：，即，整理得，因此.18.已知抛物线，其焦点为F，若M、N为抛物线C上两个动点，且到F的距离最小值为1，以M、N为切点分别作抛物线的互相垂直的两条切线．（1）求焦点F到准线的距离；（2）若平面上动点R满足，（O为原点），且，求点R的轨迹方程；（3）若抛物线上存在点S，满足，（，），且设的中垂线与x轴交于点T，求的面积的取值范围．解：（1）由题意可知：抛物线的焦点为，准线为，因为到F的距离，当且仅当时，等号成立，则，解得，所以焦点F到准线的距离为.（2）由（1）可知抛物线，则，由题意可知：直线的斜率不为0，设直线，联立方程，消去x可得，则，可得，，由题意可知：在点处的切线方程的斜率不为0，设为，联立方程，消去x可得，则，可得，可得点处的切线方程为，即，设，可得在点处的切线方程为，由题意可得，则，即，可得，此时，符合题意，可知直线过点，且，即，设，则，，，可得，则，消去可得，又因为在上单调递增，且，，即在上的值域为，即，所以点R的轨迹方程为，.（3）由（2）可得：直线，，，则，，可得，且，，即线段的中点坐标为，则的中垂线方程为，令，可得，即，则，可得的面积，由（2）可知：，，则，即，可得，整理可得，因为，，可得，且，可得，整理可得，即，可得，即，可得，整理可得，当时，则，即；当时，则，令，则，，可得，若，不合题意；若；综上所述：，可得，所以的面积的取值范围为.19.已知三棱柱中，，，，，，且D、E、F分别为、、的中点．（1）求证：平面；（2）求的取值范围；（3）已知，若点I是四边形所在平面上的一个动点，且．求取最小值时三棱锥的体积．（1）证明：连接，因为为平行四边形，且点为的中点，可知点为的中点，又因为点为的中点，则，且