河北邢台市卓越联盟2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北邢台市卓越联盟2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列求导正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由基本初等函数的导数公式，有，，，AB选项错误，C选项正确；由复合函数的求导法则，有，D选项错误．2.甲、乙、丙、丁四人去旅游，每人在邢台市、南昌市和北京市三个城市中任选一个，则不同的选法种数为（）A.12 B.24 C.64 D.81【答案】D【解析】不同的选法有种．3.曲线在处的切线方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意得，所以曲线在处的切线斜率为，又切点坐标为，所以所求的切线方程为．4.已知函数的导函数的图象如图所示，现给出下列四个结论：①在区间上单调递减；②在区间上单调递增；③在区间上单调递减；④有2个极值点．其中正确结论的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】由图象可知，在区间和上单调递减，在区间上单调递增，故②③正确；在上单调递增，故①错误；在处取极小值，在处取极大值，共2个极值点，故④正确．综上，共3个结论正确．5.某演讲比赛结束后，2名男同学、3名女同学和2位老师站成一排拍照留念，则2位老师相邻，且3名女同学不相邻的站法有（）A.264种 B.288种 C.312种 D.336种【答案】B【解析】将2名老师作为一个元素和2名男男同学共3个元素全排列，共有种方法，再让3名女同学插空，有种方法，所以满足条件的站法有种.6.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令，则，而，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增．故在上恒成立，即，令，则，故，．综上，．7.已知函数在处有极小值，则（）A. B. C.或 D.或【答案】A【解析】由题意得，由题可知，解得或．当时，，当时，或，当时，，即在和上单调递增，在上单调递减.此时在处取得极大值，不符合题意；当时，，当时，或，当时，，即在和上单调递增，在上单调递减.，此时在处取得极小值，符合题意.8.记函数的导函数为，已知，且，，若关于的不等式在上有解，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】令，则，单调递减，由，可得，，即，所以当时，有解，即有解，所以，故的取值范围为．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，则（）A.B.展开式中第5项与第7项的二项式系数相等C.D.【答案】ABD【解析】对于A，令，则，故A正确；对于B，展开式中第5项与第7项的二项式系数分别为，，又，所以B正确；对于C，令，得，令，得，相减可得，，故C不正确；对于D，令，得，所以，故D正确．10.运动会期间，将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到A，B，C三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能被安排去一个场地，每个场地至少需要一名志愿者．下列结论正确的是（）A.不同的安排方法数为240B.若甲、乙被安排去同一个场地，则不同的安排方法数为36C.若A场地只需要两名志愿者，则不同的安排方法数为180D.若甲被安排到A场地，则不同的安排方法数为50【答案】BD【解析】A，五人分成三组，可以是3，1，1和2，2，1，所以不同的安排方法数为，A错误．B，甲、乙看成一个人，所以不同的安排方法数为，B正确．C，若A场地只需要两名志愿者，则不同的安排方法数为，C错误．D，方法一：第一种情况，A场地需要一名志愿者，剩下四人安排到B，C两个场地，则不同的安排方法数为；第二种情况，A场地需要两名志愿者，剩下四人先安排一人到A场地，剩下三人再安排到B，C两个场地，则不同的安排方法数为；第三种情况，A场地需要三名志愿者，则不同的安排方法数为．综上，若甲安排到A场地，则不同的安排方法数为50．方法二：甲被安排到A，B，C三个场地的概率相等，所以不同的安排方法数为，D正确．11.已知函数，是函数的导函数，则下列说法正确的是（）A.是的极小值点B.当时，C.过点只能作一条切线与曲线相切D.若直线与曲线交于，，三点，则【答案】BCD【解析】令，得f-1=-1+f'1f'x=3x2即f'1+f-1=-3，②，由①②所以，，，得或，，得或，，得，则在和上单调递增，在上单调递减，所以是的极大值点，A错误；当时，，则，B正确；设切点为m,m3-3点在切线上，所以2-m3化简可得，即m-13=0，解得，故过点只能作一条切线与曲线相切，C正确；，，是的三个解，所以fx=x-x1故1f'x1=所以1f'x三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.展开式中的常数项为_____．（用数字作答）【答案】【解析】由二项式展开式的通项为：，令，可得，故展开式中的常数项为．13.已知函数，则不等式的解集为_____．【答案】【解析】由，可得，又由，当且仅当时，等号成立，所以是定义在上的单调递增的奇函数，因为，可得，则，解得，所以不等式的解集为．14.若函数恰有4个零点，则的取值范围为_____．【答案】【解析】函数的定义域为全体正实数，令，可得，令，得，设函数，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，当时，，当时，，作出的大致图象，如图所示，所以方程有两个实根，，且，故，解得，故的取值范围为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数，且直线是曲线的切线．（1）求的值；（2）求的单调区间．解：（1），设直线与曲线相切于点，，所以，解得．将代入切线方程，可得，所以切点坐标为，因为切点在曲线上，所以，解得．（2）的定义域为，，令，解得；令，解得，所以单调递增区间为，单调递减区间为．16.从0，2，4中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字．（1）一共可以组成多少个没有重复数字的四位数？（2）一共可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？（3）一共可以组成多少个没有重复数字且大于4000的四位数？解：（1）令，，所以的展开式中各项系数之和为729．（2）的展开式中奇数项二项式系数之和为．（3）由通项可得第项为．设第项的系数最大，则即解得．因为，所以，所以展开式中系数最大的项为．18.已知函数．（1）若函数在上单调递增，求的取值范围；（2）讨论函数的单调性；（3）若，且在上恒成立，求的最小值．解：（1），，，在上单调递增，在上恒成立，，，，，，，又，的取值范围为．（2），，．，当时，则当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增；当时，则当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增．（3）当时，在上单调递减，在上单调递增，当时，在上恒成立，只需，，令，则，当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，故，即的最小值为．19.设函数．（1）若有两个极值点，求的取值范围．（2）若有极大值，证明：．（3）若存在，使得，证明：．（1）解：，令，已知函数有两个极值点，即方程有两个不相等的根，当时，方程，即不是方程的根，原方程有两个不相等的根，可转化为有两个不相等的根，不妨令（），则，在，上单调递减；在上单调递增，，且当时，；方程有两个不相等的根，（）的图象与直线有两个不同的交点，只需满足，即，故的取值范围为．（2）证明