一轮复习人教B版第十章第3节 用样本估计总体学案

第3节用样本估计总体

考试要求1.了解分布的意义和作用，能根据频率分布表画频率分布直方图、频率分布折线

图、茎叶图，体会它们各自的特点；2.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准

差；3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并作出合理的解释；4.会用

样本的频率分布估计总体的频率分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，

理解用样本估计总体的思想；5.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简

单的实际问题.

I知识诊断,基础夯实

知识梳理

1.频率分布直方图

⑴频率分布表的画法：

第一步：求极差,决定组数和组距，组距=靛；

第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；

第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表.

⑵频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图(如图)

组距

().015

().010

O.(X)5

横轴表示样本数据，纵轴表示磊，每个小矩形的面积表示样本落在该组内的频茎.

2.茎叶图

统”中一种被用来表示数据的图叫做茎口I图，茎是指中间的一列数，口I是从茎的旁边生长出

来的数.

3.样本的数字特征

⑴众数：一组数据中出现次数最多的那个数据,叫做这组数据的众数.

⑵中位数：把〃个数据按大小顺序排列，处于最空间位置的一个数据(或最中间两个数据的平

均数)叫做这组数据的中位数.

⑶平均数：把殁劭称为「①，…，①这〃个数的平均数.

⑷标准差与方差：设一组数据XI,X2,X3,…，助的平均数为X,则这组数据的标准差和方差

分别是

S=q%（XI-X）2+（JQ-X）2-|----1-（x〃-X）2],

]-

S2=~[（X|—X）2+（X2—X）2+…+（X〃—犬）2].

|常用结论*

1.频率分布直方图与众数、中位数、平均数的关系

⑴最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数.

（2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的.

⑶平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小

长方形底边中点的横坐标之和.

2.平均数、方差的公式推广

⑴若数据xi,X2,•,,,x〃的平均数为x,那么〃LTI+Q,inx2~\-a,加臼+。，…，〃加+。的平均

数是

（2）数据XI,X2,,,,,X”的方差为S2.

①数据xi+〃，X2~baf…，明+。的方差也为$2；

②数据4X1,QX2,…，4元〃的方差为序也

上诊断自测

1.思考辨析（在括号内打“V”或“X”）

⑴平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势.（）

⑵一组数据的方差越大，说明这组数据越集中.（）

⑶频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越大.（）

⑷茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可

以只记一次.（）

答案（1）V（2）X（3）7（4）x

解析（2）错误.方差越大，这组数据越离散.

（4）错误.在茎叶图中，相同的数据叶要重复记录，故（4）错误.

2.（2021・天津卷）从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400

个评分数据分为8组：[66,70）,[70,74）,…，[94,98],并整理得到如下的频率分布直方

02/12

图，则评分在区间［82,86)内的影视作品数量是()

A.20B.40C.64D.80

答案D

解析由频率分布直方图可知，评分在区间［82,86)内的影视作品数量为4()()X().05X4=8().

3.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分茎叶图如图所示，则这组数据的中位数和平均

数分别是()

879

9012346

A.91.5和91.5B.91.5和92

C.91和91.5D.92和92

答案A

解析这组数据由小到大排列为87,89,90,91,92,93,94,96,

91+92

，中位数是=91.5,

2

丁L3-87+89+90+91+92+93+94+96

平均数工=---------------g----------------------

=91.5.

4.(易错题)已知一组数据的频率分布直方图如图，则众数是,平均数是.

答案6567

解析因为最高小长方形中点的横坐标为65,

所以众数为65；

平均数x=(55X().03()+65X0.040+75X0.015+85X().010+95X0.005)X10=67.

5.(2021・新高考全国H卷改编)下列统计量中，能度量样本孙…，丸的离散程度的所有正

确编号有.

①样本XI，X2,…，X”的标准差；

②样本X2,…，X“的中位数；

③样本加，X2,…，X〃的极差；

④样本笛，X2,…，口的平均数.

答案①③

解析由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；由中位数的定义可知，中位

数考查的是数据的集中趋势；由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；由平均数

的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势.故①③正确.

6.(易错题)若数据XI,X2,X3,…，X”的平均数X=5,方差$2=2,则数据3斤+1,3X2+1,3X3

+1,…，3%+1的平均数和方差分别为.

答案16,18

解析Vxi,X2,X3,,,,,%的平均数为5,

.*.3x1+1,3x2+1,31+1,…,3x“+l的平均数是3X5+1=16,

Vxi,X2,孙…,我的方差为2,

.*.3x1+1,3x2+1,3x3+1,,,,,3x”+1的方差是32X2=18.

考点突破,题型剖析

考点一频率分布直方图

例1某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，8两地区分别随机调查了40个用户，根据

用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意

度评分的频数分布表.

4地区用户满意度评分的频率分布直方图

04/12

图①

B地区用户满意度评分的频数分布表

满意度评

[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

分分组

频数28141()6

⑴在图②中作出3地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度

评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；

B地区用户满意度评分的频率分布直方图

图②

⑵根据用户满意度评分，将用户和满意度分为三个等级:

满意度评分低于70分70分到89分不低于90分

满意度等级不满意满意非常满意

估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由.

解（1）作出频率分布直方图如图：

通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高

于A地区用户满意度评分的平均值；8地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度

评分比较分散.

(2jA地区用户的满意度等级为不满意的概率大.

记CA表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”;

。表示事件：地区用户的满意度等级为不满意”.

由直方图得尸(CQ的估计值为

(0.01+0.02+0.03)X10=0.6,

P(CB)的估计值为。005+0.02)X10=0.25.

所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.

感悟提升1.频率分布直方图的性质.

须率

(1)小长方形的面积=组距X=频率;

组距

⑵各小长方形的面积之和等于1:

频率

⑶小长方形的高=药慈

2.要理解并记准频率分布直方图与众数、中位数及平均数的关系.

训练1(2021•江西省重点中学联考)江西省重点中学协作体于2021年进行了一次校际数学竞

赛，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在［40,90］之间，其得分的

频率分布直方图如图,

A得分在［40,60)之间的共有40人

B.从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在［60,80)的概率为0.5

C.这100名参赛者得分的中位数为65

D.可求得。=0.005

答案C

解析对于A,得分在[40,60)之间的有100X"—(0.030+0.020+0.010)><10]=40(人)，故A

正确;

06/12

对于B,从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在［60,80）的概率为（0.030+0.020）X10

=0.5,故B正确；

对于D,由（〃+0.035+0.030+0.020+0.010）X10=1,解得4=0.005,故D正确；

对于C,得分在［40,60）的频率为（（）.005+O.O35）X10=0.4,

得分在［60,70）的频率为0.030X10=0.3,

05—04

・••这100名参赛者得分的中位数为60+,X10^63.3,故C错误.

V.7•J

考点二统计图表及应用

角度1扇形图

例2（2022.郑州模拟）某高中为了解学生课外知识的积累情况，随机抽取200名同学参加课外

知识测试，测试共5题道，每答时一题得20分，答错得0分.己知每名同学至少能答对2道

题，得分不少于60分记为及格，不少于80分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，

则下列说法正确的是（）

A.该次课外知识测试及格率为90%

B.该次课外知识测试得满分的同学有30名

C.该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数

D.若该校共有300（）名学生，则课外知识测试成绩能得优秀的同学大约有1440名

答案C

解析由题图可知及格率为1-8%=92%,故A错误.

该次课外知识测试得满分同学占的百分比为1-8%—32%—48%=12%,则得满分的同学有

12%X200=24（名），故B错误.

中位数为80分，平均数为40X8%+60X32%+80X48%+100X12%=72.8分，故C正确.

3000X（48%+12%）=1800（名），故D错误.

角度2折线图

例3（2021.昆明诊断）“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所

得到的统计指标.搜索指数越大，表示网民搜索该关键词的次数越多，对该关键词相关的信息

关注度也越高.如图是2019年9月到2020年2月这半年来某个关键词的搜索指数变化的统计

图.

35000

30000

25(XX)

2()()00

15000

1()(XX)

5()()0

根据该统计图判断，下列结论正确的是()

A.这半年来，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化

B.这半年来，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱

C.从该关键词的搜索指数来看，2019年10月的方差小于11月的方差

D.从该关键词的搜索指数来看，2019年12月的平均值大于2020年1月的平均值

答案D

解析由统计图可知，这半总来，该关键词的搜索指数变化的周期性并不显着，排除A；由

统计图可知，这半年来，该关键词的搜索指数的整体减弱趋势不显着，排除B；由统计图可

知，2019年10月该关键词的搜索指数波动较大，11月的波动较小，所以2019年10月的方

差大于11月的方差，排除C：由统计图可知，2019年12月该关键词的搜索指数大多高于10

000,该月平均值大于10000,2020年1月该关键词的搜索指数大多低于10000,该月平均

值小于10000,选D.

角度3茎叶图

例4(2022.西安模拟)中国数学奥林匹克由中国数学会主办，是全国中学生级别最高、规模最

大、最具影响力的数学竞赛.某重点高中为参加中国数学奥林匹克做准备，对该校数学集训队

进行一次选拔赛，所得分数的茎叶图如图所示，则该集训队考试成绩的众数与中位数分别为

()

712344557

8345556

A.85,75B.85,76

C.74.76D.75.77

08/12

答案B

解析由茎叶图知，出现的数据最多的是85,故众数为85；

75+彳7

由于数据总数为14个，故中位数为排序后第七个和第八个数据的平均数，即一^=76,故

选B.

感悟提升1.通过扇形统计图可以很清楚的表示出各部分数量同总数之间的关系.

2.折线图可以显示随时间（根据常用比例放置）而变化的连续数据，因此非常适用于显示在相等

时间间隔下数据的趋势.

3.茎叶图的三个关注点

（1）“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一.

⑵重复出现的数据要重复记录，不能遗漏.

⑶给定两组数据的茎叶图，估计数字特征，茎上的数字由小到大排列，一般“重心”下移者

平均数较大，数据集中者方差较小.

训练2（1）由于受疫情的影响，学校停课，同学们通过三种方式在家自主学习，现学校想了解

同学们对假期学习方式的满意程度，收集如图1所示的数据；教务处通过分层抽样的方法抽

取4%的同学进行满意度调查，得到的数据如图2.下列说法错误的是（）

图102

A.样本容量为240

B.若加=50,则本次自主学习学生的满意度不低于四成

C.总体中对方式二满意的学生约为300人

D.样本中对方式一满意的学生为24人

（2）（2022・南昌测试）爱美之心，人皆有之，健身减肥已成为很多肥胖者业余选择的项目.为了了

解运动健身减肥的效果，某健身房调查了40名肥胖者，健身之前他们的体重（单位：kg）情况

如柱状图1所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如柱状图2所示，对比健身前后，

关于这40名肥胖者，下面结论不正确的是（）

曲）,1（对）10）［110,12。）体由7kg

柱状图1

A.他们健身后，体重在区间［90,100）内的人数增加了4

B.他们健身后，体重在区间［100,110）内的人数没有改变

C.因为健身前后体重在区间［100,110）内的人数所占的比例没有发生变化，所以健身对体重没

有任何影响

D.他们健身后，原来体重在区间［11（）,120）内的肥胖者的体重都有减少

答案（1）B（2）C

解析（1）选项A,样本容量为6000X4%=240,该选项正确；

选项B,根据题意得自主学习的满意率为600+；霜।250「（）.358＜（）.4,该选项错误；

选项C,样本可以估计总体，但会有一定的误差，总体中对方式二满意人数约为1500X20%

=300,该选项正确；

选项D,样本中对方式一满意人数为2000X4%X30%=24,该选项正确.

⑵健身前体重在区间［90,100）,［100,110）,［110,120）内的人数分别为40X30%,40X50%,

40X20%,

即12,20,8,健身后体重在区间［80,90）,［90,100）,［1（）（）,110）内的人数分别为40X10%,

40X40%,40X50%,

即4,16,20.

所以健身后，体重在区间［90,100）内的人数增加了16-12=4,故A选项正确；

健身后.体重在区间［100,110）内的人数与健身前一样，同为20,故B选项正确；

10/12

虽然健身前后体重在区间[100,110)内的人数所占的比例没有发生变化，但是健身后没有体重

在区间[11(),120)内的人，所以健身对体重有影响，故C选项错误；

健身前，体重在区间“10,120)内的有8人，健身后没有体重在区间[110,120)内的人，故D

选项正确.故选C.

考点三样本的数字特征

例5(1)(2021•太原模拟)已知一组数据1,2,a,b,5,8的平均数和中位数均为4,其中

在去掉其中的一个最大数后，该组数据的()

A.平均数不变B.中位数不变

C.众数不变D.标准差不变

⑵甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单

位：环)：

甲108999

乙1010799

如果甲、乙两人中只有1人入选，则入选的最佳人选应是.

答案(1)C(2)甲

解析(1)由平均数为4知，。+/?=8；由中位数为4,得。=〃=4或。=3,b=5.去掉最大数

8后，根据平均数与标准差的意义，知平均数和标准差均变小，中位数可能是4,也可能是3,