苏科版数学八年级下册 第11章 二次根式（高频易错题题型讲练）20个题型讲练+能力提升训练 共50题 同步练习 含答案

第十一章二次根式『第十一章二次根式『高频易错题题型讲练』〔20个题型讲练+能力提升练共50题原卷版〕目录指引题型总结1目录指引题型总结1题型分类讲练 2TOC\o"1-2"\h\u题型一二次根式的识别 2题型二求二次根式的值 2题型三求二次根式中的参数 2题型四二次根式有意义的条件 2题型五利用二次根式的性质化简 3题型六二次根式的乘法 3题型七二次根式的除法 3题型八二次根式的乘除混合运算 4题型九分母有理化 4题型十最简二次根式的判断 4题型十一化为最简二次根式 4题型十二已知最简二次根式求参数 5题型十三复合二次根式的化简 5题型十四同类二次根式 6题型十五二次根式的加减运算 6题型十六二次根式的混合运算 6题型十七已知字母的值，化简求值 7题型十八已知条件式，化简求值 7题型十九比较二次根式的大小 7题型二十二次根式的应用 8能力提升训练 9易错题型分类讲练2易错题型分类讲练2题型一二次根式的识别【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各式：①7；②−5；③10；④−3−x2；⑤a2+9；⑥A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式训练】（2025·云南曲靖·二模）在一次科技展览会上，机器人利用编程展示了一组按规律排列的单项式形式信号代码，其单项式依次为：2a，42a2，63a3，84A．2nnanC．2n+1na题型二求二次根式的值【典例分析】（24-25八年级下·重庆·期中）已知32a−8+35−3b=0A．9 B．±9 C．3 D．±3【变式训练】（23-24八年级下·贵州黔南·期中）若a−1+2a+b−12题型三求二次根式中的参数【典例分析】（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·月考）已知n是正整数，27n是整数，则n的最小值是（

）A．0 B．1 C．3 D．27【变式训练】（23-24八年级下·广西南宁·期中）下列式子中，是二次根式的是（

）A．1 B．32 C．2 D．题型四二次根式有意义的条件【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）1−aa2=1−aaA．0<a<1 B．0≤a≤1 C．a>0 D．0<a≤1【变式训练】（25-26八年级下·浙江金华·月考）要使y=x+2025有意义，则x的取值范围是____________题型五利用二次根式的性质化简【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）把m−m3A．m2−m B．m2m C．【变式训练】（25-26八年级下·陕西安康·月考）a2(1)化简：−72=______，(2)已知实数a,b,c在数轴上的对应点如图所示．①化简：2−c2=______，②化简：a2题型六二次根式的乘法【典例分析】（25-26八年级下·山东德州·月考）已知x、y为实数，且y=1−4x+4x−1【变式训练】（25-26八年级下·山东德州·月考）先化简，再求值：x+yx−y+x+y2−2x题型七二次根式的除法【典例分析】（25-26八年级下·山东潍坊·月考）下列运算结果正确的是（

）A．−92=−9 C．23÷1【变式训练】（25-26八年级下·江苏扬州·月考）若a>0，化简−4ab题型八二次根式的乘除混合运算【典例分析】（24-25八年级下·全国·单元测试）计算：(1)37(2)15×【变式训练】（24-25八年级下·全国·课后作业）化简1212x题型九分母有理化【典例分析】（25-26八年级下·湖南湘西·月考）已知a=7+2，b=37−2，则a【变式训练】（25-26八年级下·上海浦东新·期末）先化简，再求值：m2−2m+1m题型十最简二次根式的判断【典例分析】（25-26八年级下·河南信阳·月考）下列式子中，属于最简二次根式的是（）A．12 B．23 C．0.3 D．【变式训练】（24-25八年级下·广东广州·期中）下列各式中，是最简二次根式的是（

）A．a+1 B．a2b C．1a题型十一化为最简二次根式【典例分析】（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）下列根式是最简二次根式的是（

）A．2 B．17 C．0.5 D．【变式训练】（25-26八年级下·江苏南通·期末）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°,AB=2BC．以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AC于点D，以点A为圆心，AD长为半径作弧，交AB于点P．若AB=4，则BP=______题型十二已知最简二次根式求参数【典例分析】（24-25八年级下·安徽宿州·期末）最简二次根式b+2与a−15−2b是同类最简二次根式，则a−b=________【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）若n是正整数，2n是最简二次根式，则n可以是__________（写出一种情况即可）．题型十三复合二次根式的化简【典例分析】（25-26八年级下·河南鹤壁·期中）我们已经学过完全平方公式a±b2=a2±2ab+b2，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如2=例：求6−25解：∵6−25∴6−25的算术平方根是5根据以上材料，回答下列问题：(1)4+23(2)化简：3+44+2(3)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=22−1【变式训练】（24-25八年级下·湖北黄冈·自主招生）15+26题型十四同类二次根式【典例分析】（24-25八年级下·山东烟台·期中）下列各组二次根式：①8和20；②3x和8x；③2bb和b21b；④−−27【变式训练】（25-26八年级下·广东汕头·月考）下列式子中，与5是同类二次根式的是（

）A．0.5 B．15 C．25 D．1题型十五二次根式的加减运算【典例分析】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）计算：(1)33(2)5+2【变式训练】（25-26八年级下·福建福州·期中）计算：(1)20−(2)(1−23题型十六二次根式的混合运算【典例分析】（25-26八年级下·湖北襄阳·月考）已知x=3(1)x2(2)yx【变式训练】（25-26八年级下·福建福州·期中）计算：(1)2(2)4题型十七已知字母的值，化简求值【典例分析】（24-25八年级下·浙江宁波·期末）若m=2+1，则7m【变式训练】（25-26八年级下·北京·月考）已知x=3+1，y=3题型十八已知条件式，化简求值【典例分析】（25-26八年级下·湖北襄阳·月考）若x，y为实数，且x−4−【变式训练】（25-26八年级下·全国·寒假作业）先化简，再求值：2x⋅xy⋅yx÷题型十九比较二次根式的大小【典例分析】（25-26八年级下·湖南衡阳·自主招生）已知a=3+7，b=25，则a与【变式训练】（25-26八年级下·山东临沂·月考）比较大小：35________2题型二十二次根式的应用【典例分析】（25-26八年级下·河南信阳·月考）阅读材料：在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方的形式．如：4+237−210【类比归纳】(1)填空：①5−26=2+3−22×3=2②m+n±2mn=m2+(2)请你仿照小明的方法，将10+221【拓展提升】(3)如图，从一个大正方形ABCD中裁去两个小正方形DHFM和BEFG，若两小正方形的面积分别为6cm2和11−46【变式训练】（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，某市有一块长为3a+b米，宽为2a+b米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座边长为a+b米的正方形雕像．(1)求绿化的面积是多少平方米？（用含a、b的代数式表示，结果要化简）(2)求出当a=3，b=拔高训练能力提升拔高训练能力提升31．（25-26八年级下·安徽淮北·月考）下列二次根式中，是最简二次根式的是（

）A．4 B．6 C．17 D．2．（2026·山西临汾·一模）下列运算正确的是（

）A．m2⋅mC．6m3÷33．（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·月考）下列计算正确的是（

）A．53−43=1 B．2+34．（25-26八年级下·山东聊城·月考）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简下列代数式的值a2−5．（2026八年级下·云南·专题练习）如图，在菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，∠BAD=60°，BD长为4，则菱形ABCD的面积是__________________．6．（25-26八年级下·甘肃武威·月考）将一个大长方形分成两个正方形和一个小长方形，两个正方形的面积如图所示，则小长方形的面积是________cm27．（24-25八年级下·浙江金华·月考）如图，把面积为50和18的两个正方形放入长方形ABCD中，若S1−S28．（25-26八年级下·湖北襄阳·月考）我国南宋著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”（利用三角形三边长求三角形面积的方法），简称秦九韶公式．在海伦的著作《测地术》中也记录了利用三角形三边长求三角形面积的方法，故我国称这个公式为海伦——秦九韶公式．设一个三角形的三边长分别为a，b，c，p=12a+b+c，则有下列面积公式：S=(1)若一个三角形三边长依次为5，6，7，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积，以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整．解：∵一个三角形三边长依次为5，6，7，即a=5，∴p=1根据海伦公式可得S=p(2)请你用秦九韶公式解决问题：若一个三角形的三边长分别是5,(3)如图，在△ABC中，∠BAC，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，a=8，b=5，c=7，过点9．（25-26八年级下·安徽宣城·期中）计算：(1)27+(2)310．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，在正方形ABCD中，AC为对角线．(1)尺规作图：在CD，AD，AC上分别取点E，F，G，使得四边形CEFG为菱形（要求：保留作图痕迹，不必写作法）；(2)在（1）的条件下，延长EG交AB于点P，若DF=1，求BP的长．

第十一章二次根式『第十一章二次根式『高频易错题题型讲练』〔20个题型讲练+能力提升练共50题解析版〕目录指引题型总结1目录指引题型总结1题型分类讲练 2TOC\o"1-2"\h\u题型一二次根式的识别 2题型二求二次根式的值 3题型三求二次根式中的参数 3题型四二次根式有意义的条件 4题型五利用二次根式的性质化简 5题型六二次根式的乘法 6题型七二次根式的除法 7题型八二次根式的乘除混合运算 7题型九分母有理化 8题型十最简二次根式的判断 9题型十一化为最简二次根式 10题型十二已知最简二次根式求参数 11题型十三复合二次根式的化简 12题型十四同类二次根式 13题型十五二次根式的加减运算 14题型十六二次根式的混合运算 16题型十七已知字母的值，化简求值 17题型十八已知条件式，化简求值 17题型十九比较二次根式的大小 18题型二十二次根式的应用 19能力提升训练 21易错题型分类讲练2易错题型分类讲练2题型一二次根式的识别【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各式：①7；②−5；③10；④−3−x2；⑤a2+9；⑥12A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】本题主要考查了二次根式的定义，二次根式必须满足：①有二次根号；②被开方数为非负数．根据二次根式的定义逐项分析即可．【详解】解：①是二次根式；②被开方数是负数，不是二次根式；③是二次根式；④由于−3−x⑤由于a2⑥由于12则二次根式共有4个．故选：C．【变式训练】（2025·云南曲靖·二模）在一次科技展览会上，机器人利用编程展示了一组按规律排列的单项式形式信号代码，其单项式依次为：2a，42a2，63a3，84A．2nnanC．2n+1na【答案】A【分析】本题考查了单项式规律探索，根据题干所给单项式得出规律即可，正确得出规律是解此题的关键．【详解】解：由题意可得：2a=2×1×1×a1，42∴第n个单项式是2nn故选：A．题型二求二次根式的值【典例分析】（24-25八年级下·重庆·期中）已知32a−8+35−3b=0A．9 B．±9 C．3 D．±3【答案】C【分析】本题考查了立方根的性质，相反数的性质，二次根式的求值，由立方根的性质可得2a−8与5−3b互为相反数，即得2a−8+5−3b=0，得到2a−3b=3，再代入二次根式计算即可求解，由立方根的性质得到2a−3b=3是解题的关键．【详解】解：∵32a−8∴2a−8与5−3b互为相反数，∴2a−8+5−3b=0，∴2a−3b=3，∴6a−9b=故选：C．【变式训练】（23-24八年级下·贵州黔南·期中）若a−1+2a+b−12【答案】5【分析】此题主要考查了非负数性质以及二次根式，正确得出a，b的值是解题关键．直接利用算术平方根和偶次方的非负数性质得出a，b的值，进而得出答案．【详解】解：∵a−1+∴a−1=02a+b−1=0解得a=1b=−1∴4a+==5题型三求二次根式中的参数【典例分析】（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·月考）已知n是正整数，27n是整数，则n的最小值是（

）A．0 B．1 C．3 D．27【答案】C【分析】本题考查二次根式的化简及完全平方数的性质，关键是熟练应用知识点解题；先将27n化简，再根据结果为整数的条件确定n的最小值.【详解】解：∵27n=又∵27n是整数，n是正整数，∴3n必须是整数，即3n为完全平方数，∴n最小为3时，3n=9是完全平方数，∴n的最小值是3，故选：C．【变式训练】（23-24八年级下·广西南宁·期中）下列式子中，是二次根式的是（

）A．1 B．32 C．2 D．【答案】C【分析】本题考查的是二次根式的定义，熟知一般地，我们把形如aa≥0【详解】解：A、1不是二次根式，不符合题意；B、32C、2是二次根式，符合题意；D、−3不是二次根式，不符合题意；故选：C．题型四二次根式有意义的条件【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）1−aa2=1−aaA．0<a<1 B．0≤a≤1 C．a>0 D．0<a≤1【答案】D【分析】根据二次根式有意义的条件和二次根式的性质1−aa2=1−aa【详解】解：∵1−a∴1−a≥0且∴1−a≥0且a>0，∴a≤1且a>0，∴0<a≤1．【变式训练】（25-26八年级下·浙江金华·月考）要使y=x+2025有意义，则x的取值范围是____________【答案】x≥−2025/−2025≤x【分析】根据题意，得x+2025≥0，求解即可；【详解】解：根据题意，得x+2025≥0，解得x≥−2025．题型五利用二次根式的性质化简【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）把m−m3A．m2−m B．m2m C．【答案】D【分析】先根据二次根式有意义的条件确定m的取值范围，再利用二次根式的性质a2【详解】解：∵二次根式中被开方数非负，∴−m解得m≤0，∴m−【变式训练】（25-26八年级下·陕西安康·月考）a2(1)化简：−72=______，(2)已知实数a,b,c在数轴上的对应点如图所示．①化简：2−c2=______，②化简：a2【答案】(1)7，π(2)①2−c，−0.5−b；②−b【分析】（1）利用二次根式的性质a2（2）①根据数轴可得到2−c>0，0.5+b<0，再根据所给的二次根式的性质即可求解；②根据数轴上点的位置关系a<b<0<c及距离原点的远近，判断绝对值内部式子的正负性，再根据所给的二次根式的性质即可求解．【详解】（1）解：−72=−7（2）解：①由数轴可得：c<2，−1<b<0，∴2−c>0，−0.5<0.5+b<0.5，而数轴上b在−1右侧且更靠近−1，∴b>−0.5不成立，即0.5+b<0，∴2−c2=2−c②∵a<b<0<c，c>∴c−a>0，b−c<0，∴a2题型六二次根式的乘法【典例分析】（25-26八年级下·山东德州·月考）已知x、y为实数，且y=1−4x+4x−1【答案】1【详解】解：由题意得1−4x≥0，4x−1≥0，解得x=1∴y=1∵x2x∴原式=1【变式训练】（25-26八年级下·山东德州·月考）先化简，再求值：x+yx−y+x+y2−2x【答案】4xy，4【分析】先利用平方差公式与完全平方公式进行整式的乘法运算，再合并同类项，再把x=12−1【详解】解：x+y=x=4xy，当x=12−1原式=4×1题型七二次根式的除法【典例分析】（25-26八年级下·山东潍坊·月考）下列运算结果正确的是（

）A．−92=−9 C．23÷1【答案】C【分析】根据二次根式的性质和运算法则逐一计算各选项，即可判断正确结果．【详解】解：A、−92B、315C、23D、41【变式训练】（25-26八年级下·江苏扬州·月考）若a>0，化简−4ab【答案】−【分析】本题考查化简二次根式．先判断b<0，再根据二次根式的性质进行化简即可．【详解】解：∵a>0，−4a∴b<0，∴−4a故答案为：−2题型八二次根式的乘除混合运算【典例分析】（24-25八年级下·全国·单元测试）计算：(1)37(2)15×【答案】(1)6(2)5【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则．（1）根据二次根式的混合运算法则进行计算即可；（2）根据二次根式的混合运算法则进行计算即可．【详解】（1）解：3=3=6；（2）解：15==5．【变式训练】（24-25八年级下·全国·课后作业）化简1212x【答案】−3x【分析】本题考查了二次根式的乘除，熟练掌握二次根式的乘除法的法则，二次根式的性质，是解题的关键．将除法转化为乘法，利用二次根式的乘法法则和性质简化即可．【详解】原式=−1=−1=−1=−1=−3xy故答案为−3x题型九分母有理化【典例分析】（25-26八年级下·湖南湘西·月考）已知a=7+2，b=37−2，则a【答案】a=b【分析】将b=37−2进行化简得b=【详解】解：b=3又a=7∴a=b．【变式训练】（25-26八年级下·上海浦东新·期末）先化简，再求值：m2−2m+1m【答案】m−1m，【分析】本题主要考查分式的化简求值，分母有理化，掌握分式的基本性质与运算法则是解题的关键，注意化简过程中能因式分解要先因式分解．先算括号内的减法，把除法变成乘法，算乘法，最后代入求值即可．【详解】解：m====m−1当m=2−1时，题型十最简二次根式的判断【典例分析】（25-26八年级下·河南信阳·月考）下列式子中，属于最简二次根式的是（）A．12 B．23 C．0.3 D．【答案】D【详解】解：A．12=4×3B．23=C．0.3=D．7是最简二次根式．．【变式训练】（24-25八年级下·广东广州·期中）下列各式中，是最简二次根式的是（

）A．a+1 B．a2b C．1a【答案】A【分析】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数是整数，因式是整式，进行逐一判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键．【详解】解：A、a+1a≥−1B、a2C、1aD、3a故选：A．题型十一化为最简二次根式【典例分析】（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）下列根式是最简二次根式的是（

）A．2 B．17 C．0.5 D．【答案】A【分析】最简二次根式应满足两个条件：被开方数的因数是整数，字母因式是整式；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．按照最简二次根式的定义逐项分析判断即可．【详解】解：A．2是最简二次根式，故该选项符合题意；B．17C．0.5=D．8=2【变式训练】（25-26八年级下·江苏南通·期末）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°,AB=2BC．以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AC于点D，以点A为圆心，AD长为半径作弧，交AB于点P．若AB=4，则BP=______【答案】6−25/【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理即可得到结论．熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据题意求出BC，根据勾股定理求出AC，进而求出AD，计算即可．【详解】解：∵AB=2BC,AB=4，∴BC=2，由勾股定理得：AC=A∴AD=AC−CD=25∴BP=AB−AP=4−2故答案为：6−25题型十二已知最简二次根式求参数【典例分析】（24-25八年级下·安徽宿州·期末）最简二次根式b+2与a−15−2b是同类最简二次根式，则a−b=________【答案】2【分析】根据最简二次根式、同类二次根式的性质计算，即可得到a和b的值；再将a和b的值代入到代数式，通过计算即可得到答案．【详解】根据题意得：a−1=2∴a=3∵最简二次根式b+2与a−15−2b∴b+2=5−2b∴b=1∴a−b=3−1=2故答案为：2．【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）若n是正整数，2n是最简二次根式，则n可以是__________（写出一种情况即可）．【答案】1（答案不唯一）【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念解答即可．【详解】解：当n=1时，2n=2是最简二次根式，符合题意，故答案为：1（答案不唯一）．题型十三复合二次根式的化简【典例分析】（25-26八年级下·河南鹤壁·期中）我们已经学过完全平方公式a±b2=a2±2ab+b2，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如2=例：求6−25解：∵6−25∴6−25的算术平方根是5根据以上材料，回答下列问题：(1)4+23(2)化简：3+44+2(3)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=22−1【答案】(1)3(2)3(3)2−【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式，勾股定理，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．（1）将4+23变形为完全平方式3（2）先利用（1）中得到的结论，把4+23换成3+12，然后将3+4（3）先利用勾股定理表示出BC=2−【详解】（1）解：4+2故答案为：3（2）3+4=====3（3）在Rt△ABCBC======2−2即BC边的长度为2−2【变式训练】（24-25八年级下·湖北黄冈·自主招生）15+26【答案】2−【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的化简，把原式化为13【详解】解：1=====2−2故答案为：2−2题型十四同类二次根式【典例分析】（24-25八年级下·山东烟台·期中）下列各组二次根式：①8和20；②3x和8x；③2bb和b21b；④−−27【答案】③④【分析】先将各组二次根式化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断，同类二次根式指化简为最简二次根式后被开方数相同的二次根式．【详解】解：①化简得：8=22，②化简得：3x为最简二次根式，8x=2③化简得：2bb为最简二次根式，b21④由二次根式有意义可知−27x3≥0化简得：−−27−x3=−3x故化简后其中是同类二次根式的是③④．【变式训练】（25-26八年级下·广东汕头·月考）下列式子中，与5是同类二次根式的是（

）A．0.5 B．15 C．25 D．1【答案】D【分析】根据同类二次根式的定义，先将各选项化为最简二次根式，再比较被开方数，被开方数与5相同的即为同类二次根式．【详解】解：A、∵0.5=12=22B、∵15是最简二次根式，被开方数为15，与5被开方数不同，∴C、∵25=5，化简后为整数，不是二次根式，D、∵15=525=5题型十五二次根式的加减运算【典例分析】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）计算：(1)33(2)5+2【答案】(1)3(2)13−【分析】（1）先把不是最简二次根式的项化简，再合并同类二次根式；（2）先用多项式乘法法则展开，再把12【详解】（1）解：3=3=3=3（2）解：(5+=5×3−5=15−5=(15−2)+(−5=13−3【变式训练】（25-26八年级下·福建福州·期中）计算：(1)20−(2)(1−23【答案】(1)7(2)4【详解】（1）解：原式=2=7（2）解：原式===−11−13+4=43题型十六二次根式的混合运算【典例分析】（25-26八年级下·湖北襄阳·月考）已知x=3(1)x2(2)yx【答案】(1)4(2)4【分析】（1）把原式化为x−y2（2）先通分，再把x+y与xy的值代入进行计算即可．【详解】（1）解：∵x=3+1，∴x−y=3∴x（2）解：x+y=3+1+3∴xy+yx=x2+y2【变式训练】（25-26八年级下·福建福州·期中）计算：(1)2(2)4【答案】(1)2(2)4−3【分析】（1）先化简各二次根式，再合并即可；（2）将除法转化为乘法，利用乘法分配律展开计算即可．【详解】（1）解：原式=2×2=4=23（2）解：原式==4=4−33题型十七已知字母的值，化简求值【典例分析】（24-25八年级下·浙江宁波·期末）若m=2+1，则7m【答案】12【分析】利用完全平方公式对多项式7m2−14m+5【详解】解：7=7=7=7=7m−1将m=2+1代入原式=7×2−2=12．【变式训练】（25-26八年级下·北京·月考）已知x=3+1，y=3【答案】6【分析】先求出x−y和xy，再配方x2−xy+y【详解】解：∵x=3+1，∴x−y=3+1−3∴x2题型十八已知条件式，化简求值【典例分析】（25-26八年级下·湖北襄阳·月考）若x，y为实数，且x−4−【答案】1【分析】先根据二次根式有意义的条件确定y的取值范围，再对原式变形，利用非负数的性质求出x和y的值，最后代入所求式子计算结果．【详解】解：由二次根式有意义的条件可得1−y≥0，即y≤1，x−4−x−4+x−4∵x−4≥0，(∴x−4=0，1−y解得x=4y=1把x=4，y=1代入yx得y【变式训练】（25-26八年级下·全国·寒假作业）先化简，再求值：2x⋅xy⋅yx÷【答案】2xy，2【分析】先根据二次根式有意义的条件得出x=3，从而可得y=2，再根据二次根式的运算法则进行化简，最后代入x=3，y=2计算即可得出结果．【详解】解：由题意得x−3≥06−2x≥0解得x=3，∴y=2，∴2x==2xy∴当x=3，y=2时，原式=2×2×3题型十九比较二次根式的大小【典例分析】（25-26八年级下·湖南衡阳·自主招生）已知a=3+7，b=25，则a与【答案】a<b/b>a【分析】可求出a2=10+221，b2=20，比较出2【详解】解：∵a=3+7∴a2=3∴221∴221∴10+221∴a2又∵a>0，∴a<b．【变式训练】（25-26八年级下·山东临沂·月考）比较大小：35________2【答案】>【分析】利用平方法，将两个带根号的数分别平方，比较平方后的结果大小，进而确定原数的大小关系．【详解】解：3526∵45>24，且35>0，∴35题型二十二次根式的应用【典例分析】（25-26八年级下·河南信阳·月考）阅读材料：在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方的形式．如：4+237−210【类比归纳】(1)填空：①5−26=2+3−22×3=2②m+n±2mn=m2+(2)请你仿照小明的方法，将10+221【拓展提升】(3)如图，从一个大正方形ABCD中裁去两个小正方形DHFM和BEFG，若两小正方形的面积分别为6cm2和11−46【答案】(1)①3，2±3；②(2)3+(3)83【分析】（1）①结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可；②结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可；（2）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可；（3）设两小正方形的边长分别为x，y，则有x2=6，y2=11−46，然后化简得x=【详解】（1）解：5−2===2故答案为：3，2±②m+n==m故答案为：m±（2）解：10+2===（3）解：设两小正方形的边长分别为x，y，∴x2=6，∴y2∵x>0，y>0，∴x=6，y=∴剩余部分的面积为2xy=2×6【变式训练】（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，某市有一块长为3a+b米，宽为2a+b米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座边长为a+b米的正方形雕像．(1)求绿化的面积是多少平方米？（用含a、b的代数式表示，结果要化简）(2)求出当a=3，b=【答案】(1)5a(2)15+36【分析】本题考查了整式的混合运算以及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．（1）由长方形面积减去正方形面积表示出绿化的面积即可；（2）将a与b的值代入计算即可求出值．【详解】（1）解：根据题意得：3a+b=6=5（2）解：当a=3，b=2时，原式拔高训练能力提升拔高训练能力提升31．（25-26八年级下·安徽淮北·月考）下列二次根式中，是最简二次根式的是（

）A．4 B．6 C．17 D．【答案】B【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．【详解】解：A、4=2B、6是最简二次根式，符合题意；C、17D、0.01=0.12．（2026·山西临汾·一模）下列运算正确的是（

）A．m2⋅mC．6m3÷3【答案】C【详解】解：选项A：m2选项B：−32选项C：6m选项D：m−123．（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·月考）下列计算正确的是（

）A．53−43=1 B．2+3【答案】C【分析】将二次根式化为最简二次根式，再根据二次根式的加减运算法则进行运算即可作出判断．【详解】解：A．53B．2和3不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；C．8−D．3和224．（25-26八年级下·山东聊城·月考）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简下列代数式的值a2−【答案】

c−b/−b+c【分析】根据数轴得出a<b<0<c,|c|>|a|>|b|，根据二次根式的性质及立方根的定义得出|a|−|a−b|+|b+c|−b，去掉绝对值符号后合并即可．【详解】解：由数轴得a<b<0<c,|c|>|a|>|b|，则原式=|a|−|a−b|+|b+c|−b=−a+=−a+a−b+b+c−b=c−b．5．（2026八年级下·云南·专题练习）如图，在菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，∠BAD=60°，BD长为4，则菱形ABCD的面积是__________________．【答案】8【分析】由菱形的性质可得AB=AD，AC⊥BD，AO=CO，BO=DO=12BD=2，可证△ABD是等边三角形，可得AB=BD=4【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，AC⊥BD，AO=CO，BO=DO=1∵∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB=BD=4，∴AO=A∴AC=2AO=43∴S菱形6．（25-26八年级下·甘肃武威·月考）将一个大长方形分成两个正方形和一个小长方形，两个正方形的面积如图所示，则小长方形的面积是________cm2【答案】6【分析】先分别求出两个正方形的边长，即可得到小长方形的长和宽，即可求解．【详解】解：两个正方形的边长分别为32=4则小长方形的长为2cm，宽为4∴小长方形的面