苏科版数学八年级下册 期末考试必考题型（一）-运算化简求值与因式分解（4大考点8类题型） 试卷 含答案

期末考试必考题型（一）——运算化简求值与因式分解（4大考点8类题型）目录TOC\o"1-2"\h\u一.必考点知识梳理 1【考点一】因式分解解题步骤： 1【考点二】分式的运算解题步骤 2【考点三】分式方程解题步骤 2【考点四】二次根式的运算解题步骤 2二.必考题型精析 3【题型1】因式分解（8题） 3【题型2】分式运算（8题） 4【题型3】分式的化简求值（8题） 5【题型4】解可化为一元一次方程的分式方程（8题） 6【题型5】二次根式的运算（8题） 7【题型6】二次根式的化简求值（8题） 8【题型7】因式分解、分式与分式方程综合（8题） 11【题型8】分式运算与二次根式综合（8题） 12一.必考点知识梳理【考点一】因式分解解题步骤：1：先提公因式（1）找全系数最大公因数+相同字母最低次幂；（2）首项是负数，先提取负号；（3）提完后括号里不漏项、不丢1。2：运用公式（1）平方差公式：（2）完全平方公式：3：分组分解或十字相乘法4：最终检查（1）是不是化成几个整式相乘，不能再展开；（2）每个括号还能不能再分解，必须分解彻底；（3）括号内合并同类项、化简干净；（4）符号是否正确、有没有漏因式。【考点二】分式的运算解题步骤1、先分解所有分子、分母里的多项式因式分解；2、除变乘遇到除法，改成乘倒数；3、能约分先约分分子分母交叉约掉相同因式，只有乘除可以约分，加减不能约分；4、加减先通分只剩加减法时：找最简公分母、通分、分母不变，分子相加减分子算完要合并同类项、再因式分解5、结果化最简最后一定要：无公因式、不能再约分、分母不为0，保留最简分式或整式【考点三】分式方程解题步骤1、去分母：化分式方程为整式方程（1）找出所有分母的最简公分母；（2）方程两边每一项都乘最简公分母；（3）约去分母，化成整式方程（常数项也要乘公分母，不能漏乘）。2、解整式方程（1）去括号；（2）移项；（3）合并同类项；（4）系数化为1。3、检验（1）代入最简公分母检验：若公分母≠0：是原方程的解；（2）若公分母=0：是增根，原方程无解4、写出结论（1）有解：写出原方程的解；（2）无解：原分式方程无解.【考点四】二次根式的运算解题步骤先化简：把所有二次根式全部化成最简二次根式；先乘除：按照运算顺序，先算二次根式的乘除，能约分、能用公式的直接用；后加减：找出同类二次根式，只合并同类二次根式，不同类保留原样；4、最后整理：结果必须化成最简二次根式，分母不含根号、能开尽方的全部开出来。二.必考题型精析【题型1】因式分解（8题）1．（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·期末）因式分解（1）；（2）．2．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）因式分解：（1）；（2）．3．（25-26八年级下·辽宁鞍山·开学考试）分解因式：（1）（2）4．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）分解因式：（1）；（2）；（3）．5．（25-26八年级上·安徽淮北·期末）分解因式：（1）（2）6．（25-26八年级上·北京西城·月考）因式分解：（1）；（2）．7．（25-26七年级上·上海·期末）分解因式：（1）； （2）；（3）； （4）．8．（25-26八年级上·海南海口·期末）因式分解：（1）； （2）；（3）．【题型2】分式运算（8题）1．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）计算：（1）； （2）．2．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）计算：（1）； （2）．3．（24-25八年级下·山东青岛·月考）计算：（1）；（2）．4．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段检测）计算和化简：（1）（2）．5．（24-25八年级下·四川资阳·阶段检测）（1）计算：（2）化简：6．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）计算：（1）；（2）．7．（25-26七年级上·上海宝山·月考）计算（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7）8．（2025八年级上·江苏泰州·专题练习）计算：（1） （2）（3） （4）【题型3】分式的化简求值（8题）1．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）先化简，再求值：，其中．2．（24-25八年级下·江苏南京·期末）先化简，再求值：，其中．3．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）先化简，再求值：，其中．4．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）先化简，再求值：，且为满足的整数．5．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）已知分式（1）化简此分式；（2）x也为整数，的值也是整数，求出符合条件的的值；（3）分式，当时，比较分式和的大小关系．6．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）先化简：，当时，再从的范围内选取一个合适的整数a代入求值．7．（24-25八年级下·江苏徐州·期末）根据条件求值：（1）化简求值：，其中，；（2）已知，，求的值．8．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）阅读材料：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．若，求代数式的值．解：，，即，，．（1）若，则________，________；（2）解分式方程组；（3）若，，，求的值．【题型4】解可化为一元一次方程的分式方程（8题）1．（25-26八年级上·江苏苏州·期末）解方程：（1）；（2）．2．（24-25八年级下·江苏南京·期中）解方程（1）（2）．3．（24-25八年级下·江苏南京·期末）（1）计算：；（2）解方程：4．（24-25八年级下·江苏常州·期末）解方程：（1）；（2）．5．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）解下列分式方程：（1）（2）6．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）解方程：（1）；（2）．7．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）解方程：（1）；（2）．8．（24-25八年级下·江苏常州·期末）解方程：．下面是小丽同学解这个方程的部分过程：解：

第一步……（1）小丽第二步在方程的两边同乘，这样做的依据是__________（填序号）；①等式的基本性质；

②分式的基本性质；

③因式分解．（2）请将解方程的过程补充完整．【题型5】二次根式的运算（8题）1．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）计算：（1）（2）2．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）计算：（1）；（2）．3．（24-25八年级下·江苏徐州·期末）计算：（1）；（2）．4．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）计算:（1）（2）5．（24-25八年级下·江西赣州·期中）计算：（1）；（2）．6．（24-25八年级上·江苏南通·期末）计算：（1）；（2）7．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）计算（其中，）：（1）．（2）．8．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）阅读并回答问题:为了化简，我们尝试找到两个数、，使且，则可将化为，即，从而使得化简．例如，，所以．请仿照上例化简下列根式。（1）______；（2）_______；（3）计算：．【题型6】二次根式的化简求值（8题）1．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）已知：，．求的值．2．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）若，求代数式的值．3．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）先化简，再求值：，其中．4．（24-25八年级下·江苏南京·期末）（1），，求代数式的值．（2）先化简，再求值．，其中，．5．（24-25八年级下·山东临沂·期中）阅读材料，并解决问题：定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．如：将分母有理化，解：原式．运用以上方法解决问题：已知：．（1）化简；（2）求的值．6．（24-25八年级上·福建福州·期末）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的：，，．．．请你根据小明的解题过程，解决如下问题：（1）______________；（2）化简；（3）若，求的值．7．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）【阅读材料】问题：已知，求的值．小明的做法是：∵，∴．∴．∴．∴．∴．小明的做法是将已知条件适当的变形，再整体代入所求代数式进行解答．小丽的做法是：∵∴当时，原式．小丽的做法是将结论中代数式适当的变形，再已知条件代入变形式进行解答．【解决问题】（1）请你仿照“小明的做法”或“小丽的做法”，解决问题：已知，求的值；（2）请你参考“小明的做法”和“小丽的做法”，运用恰当的方法解决问题：已知，求的值．8．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）请阅读下列材料：问题：已知，求代数式的值．小明的做法如下：，，两边平方，得：，，．把作为整体代入，得，即把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．仿照上述方法解决下列问题：（1）已知，求代数式的值；（2）已知，求代数式的值．【题型7】因式分解、分式与分式方程综合（8题）1．（2026·河北沧州·一模）因式分解或化简（1）因式分解：；（2）因式分解：；（3）直接写出的化简结果．2．（25-26八年级上·山东威海·期末）因式分解、化简：（1）因式分解：；（2）化简：．3．（25-26八年级上·天津南开·期末）（1）因式分解：；（2）因式分解：；（3）已知．①化简该代数式；②从，，1，3中选取一个合适的数作为x的值，计算该代数式的值．你选取的数是，此时代数式的值为．4．（25-26八年级上·重庆·月考）因式分解与计算：（1）因式分解：；（2）计算：．5．（24-25八年级下·山西运城·期末）（1）因式分解：；（2）利用因式分解计算：；（3）解分式方程：．6．（25-26八年级上·河南商丘·期末）（1）因式分解：；（2）因式分解：；（3）解方程：．7．（25-26八年级上·山东东营·期中）（1）因式分解：；（2）因式分解：．（3）解方程：（4）解方程：8．（24-25八年级下·山东青岛·月考）（1）因式分解：；（2）因式分解：．（3）化简：；（4）化简：；（5）解分式方程：；（6）解分式方程：．【题型8】分式运算与二次根式综合（8题）1．（25-26八年级上·重庆·期末）（1）计算下列二次根式：；（2）计算下列分式：，（）．2．（25-26八年级下·广西南宁·开学考试）（1）计算：（2）解分式方程：3．（24-25八年级下·山东德州·开学考试）解方程与计算：（1）解分式方程：（2）计算：4．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）（1）计算：．（2）解分式方程：．【答案】（1）；（2）【分析】本题考查了绝对值性质、零指数幂、负整数指数幂，二次根式的性质、二次根式的混合运算、解分式方程，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．（1）根据绝对值性质、零指数幂、负整数指数幂，以及二次根式的性质化简各项，再利用二次根式的混合运算法则计算即可；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解：（1）解：．（2）解：，整理得，等式两边同时乘以得，，去括号得，，移项、合并同类项得，，系数化为1得，，检验，当时，，∴原分式方程的解为．5．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）（1）解分式方程：

（2）6．（2026·湖南娄底·一模）以下是某同学化简分式的运算过程．解：原式

①

②

③（1）以上的运算过程第______（填序号）步出现了错误；（2）写出正确的完整化简过程，并求出当时分式的值．7．（2026·贵州铜仁·一模）解答（1）计算：（2）下面是小涵同学进行分式化简的过程：化简解：原式

第一步

第二步

第三步①小涵同学的化简过程从第________步开始出现错误：②请写出正确的化简过程，并从，0，1，2中选择喜欢的数代入求值．8．（2022·山西大同·一模）（1）计算：．（2）下面是小明同学化简分式的过程，请认真阅读并完成相应任务：解：原式……第一步……第二步……第三步……第四步任务一：填空：①以上化简步骤中，第__________步是进行分式的通分，通分的依据是__________；②第__________步开始出现错误；任务二：请写出正确的解答过程．

期末考试必考题型（一）——运算化简求值与因式分解（4大考点8大题型）目录TOC\o"1-2"\h\u一.必考点知识梳理 1【考点一】因式分解解题步骤： 1【考点二】分式的运算解题步骤 2【考点三】分式方程解题步骤 2【考点四】二次根式的运算解题步骤 2二.必考题型精析 3【题型1】因式分解（8题） 3【题型2】分式运算（8题） 8【题型3】分式的化简求值（8题） 14【题型4】解可化为一元一次方程的分式方程（8题） 21【题型5】二次根式的运算（8题） 28【题型6】二次根式的化简求值（8题） 32【题型7】因式分解、分式与分式方程综合（8题） 39【题型8】分式运算与二次根式综合（8题） 46一.必考点知识梳理【考点一】因式分解解题步骤：1：先提公因式（1）找全系数最大公因数+相同字母最低次幂；（2）首项是负数，先提取负号；（3）提完后括号里不漏项、不丢1。2：运用公式（1）平方差公式：（2）完全平方公式：3：分组分解或十字相乘法4：最终检查（1）是不是化成几个整式相乘，不能再展开；（2）每个括号还能不能再分解，必须分解彻底；（3）括号内合并同类项、化简干净；（4）符号是否正确、有没有漏因式。【考点二】分式的运算解题步骤1、先分解所有分子、分母里的多项式因式分解；2、除变乘遇到除法，改成乘倒数；3、能约分先约分分子分母交叉约掉相同因式，只有乘除可以约分，加减不能约分；4、加减先通分只剩加减法时：找最简公分母、通分、分母不变，分子相加减分子算完要合并同类项、再因式分解5、结果化最简最后一定要：无公因式、不能再约分、分母不为0，保留最简分式或整式【考点三】分式方程解题步骤1、去分母：化分式方程为整式方程（1）找出所有分母的最简公分母；（2）方程两边每一项都乘最简公分母；（3）约去分母，化成整式方程（常数项也要乘公分母，不能漏乘）。2、解整式方程（1）去括号；（2）移项；（3）合并同类项；（4）系数化为1。3、检验（1）代入最简公分母检验：若公分母≠0：是原方程的解；（2）若公分母=0：是增根，原方程无解4、写出结论（1）有解：写出原方程的解；（2）无解：原分式方程无解.【考点四】二次根式的运算解题步骤先化简：把所有二次根式全部化成最简二次根式；先乘除：按照运算顺序，先算二次根式的乘除，能约分、能用公式的直接用；后加减：找出同类二次根式，只合并同类二次根式，不同类保留原样；4、最后整理：结果必须化成最简二次根式，分母不含根号、能开尽方的全部开出来。二.必考题型精析【题型1】因式分解（8题）1．（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·期末）因式分解（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可；（2）先将所求式子变形为，再提取公因式即可得出结果．解：（1）解：；（2）解：．2．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）因式分解：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）先提公因式，再用完全平方公式即，分解即可；（2）先提公因式，再用平方差公式，分解即可．解：（1）解：；（2）解：．3．（25-26八年级下·辽宁鞍山·开学考试）分解因式：（1）（2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）先识别式子为平方差公式，利用平方差公式分解，再合并同类项并提取公因式；（2）先展开多项式乘积，合并同类项化简式子，再利用完全平方公式分解因式．解：（1）解：原式．（2）解：原式．4．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）分解因式：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】本题考查因式分解，熟练掌握运算方法是解答本题的关键．（1）原式运用平方差公式进行因式分解即可；（2）原式整理后运用完全平方公式进行因式分解即可；（3）原式运用十字相乘法分解即可．解：（1）解：；（2）解：；（3）解：．5．（25-26八年级上·安徽淮北·期末）分解因式：（1）（2）【答案】（1）；（2）【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的基本方法，并能根据多项式的特点准确选择分解方法是解题的关键．（1）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式，即可得出结果；（2）先利用平方差公式分解，再次利用平方差公式分解即可．解：（1）解：原式；（2）解：原式．6．（25-26八年级上·北京西城·月考）因式分解：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．（1）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解；（2）先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解；解：（1）解：原式（2）解：原式7．（25-26七年级上·上海·期末）分解因式：（1）； （2）；（3）； （4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键．（1）先提取公因数3，然后运用完全平方公式分解即可；（2）先用平方差公式分解，然后再运用提取公因式法分解即可；（3）先用完全平方公式分解，然后再运用完全平方公式分解即可；（4）先分组，然后再运用完全平方公式和平方差公式分解即可．解：（1）解：=．（2）解：．（3）解：．（4）解：．8．（25-26八年级上·海南海口·期末）因式分解：（1）； （2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．（1）原式提取公因式，再运用完全平方公式进行因式分解即可；（2）原式提取公因式，再运用平方差公式进行因式分解即可；（3）原式先分组，再运用平方差公式分解即可．解：（1）解：；（2）解：；（3）解：．【题型2】分式运算（8题）1．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）计算：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）先利用单项式乘以多项式和完全平方公式计算，然后合并同类项即可；（2）先把括号内合并，再将除法运算化为乘法运算，然后约分即可．解：（1）解：；（2）解：．2．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）计算：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）先根据完全平方公式和多项式除以单项式的运算法则计算，然后合并同类项即可；（2）先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，然后把除法运算化为乘法运算后约分即可．解：（1）解：原式；（2）解：原式3．（24-25八年级下·山东青岛·月考）计算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）解：（1）解：；（2）解：．4．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段检测）计算和化简：（1）（2）．【答案】（1）；（2）x【分析】本题考查了分式的化简与计算．（1）先将分式化为同分母分式，再进行加减运算；（2）先对括号内的分式进行通分计算，再将除法转化为乘法，最后进行约分．解：（1）解：原式．（2）解：原式．5．（24-25八年级下·四川资阳·阶段检测）（1）计算：（2）化简：【答案】（1），（2）【分析】本题考查了分式的加减法，包括通分和同分母分式的加减法法则，分式的混合运算，包括分式的除法法则，平方差公式和完全平方公式进行因式分解，分式的约分及分式的减法运算．（1）先将式子中的变形为，然后通分，的分母看作1，通分后分母为，根据平方差公式得到，同分母分式相减，分母不变，分子相减，即可求得结果；（2）先计算除法，并对分子分母根据平方差公式和完全平方公式进行因式分解得到，约分后得到，再计算减法，根据同分母分式相减，分母不变，分子相减得到．解：（1）原式；（2）原式．6．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）计算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）除法变乘法，约分化简即可；（2）先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简即可．解：（1）解：原式；（2）解：原式．7．（25-26七年级上·上海宝山·月考）计算（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7）【答案】（1）；（2）；（3）8；（4）0；（5）；（6）；（7）【分析】本题主要考查了负整数指数幂，分式的混合运算，熟练掌握负整数指数幂计算法则，分式的混合运算法则是解题的关键．（1）根据负整数指数幂计算即可；（2）先根据负整数指数幂变形，再根据分式的除法计算即可；（3）根据同分母分式加法则计算即可；（4）根据异分母分式加减法则计算即可；（5）先计算括号内的，再计算除法即可；（6）根据异分母分式加减则计算即可；（7）先根据负整数指数幂变形，再根据分式的乘法计算即可．解：（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：（5）解：（6）解：（7）解：8．（2025八年级上·江苏泰州·专题练习）计算：（1） （2）（3） （4）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】本题主要考查了分式的混合运算，解题关键是熟练掌握分式的约分和几种常见的分解因式的方法是解题的关键．四个小题均可以按照混合运算法则，先算乘方，再把除法化成乘法，然后约分即可．解：（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式．【题型3】分式的化简求值（8题）1．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）先化简，再求值：，其中．【答案】，【分析】本题考查的是分式的化简求值及二次根式的化简，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入化简后的式子进行计算，即可解题．解：，，原式．2．（24-25八年级下·江苏南京·期末）先化简，再求值：，其中．【答案】；【分析】本题考查了分式的化简求值，求代数式的值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键．先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值．解：，当时，原式．3．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）先化简，再求值：，其中．【答案】，．【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将代入计算即可求出值．解：原式：；当，原式．4．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）先化简，再求值：，且为满足的整数．【答案】，【分析】本题考查分式的化简求值，除法变乘法，利用乘法分配律进行计算，化简后再代入一个使分式有意义的值计算即可．解：原式；∵且，∴且，∵且是整数，∴，∴当时，原式．5．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）已知分式（1）化简此分式；（2）x也为整数，的值也是整数，求出符合条件的的值；（3）分式，当时，比较分式和的大小关系．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】本题考查了分式的运算．（1）先计算括号里的，再计算除法即可；（2）根据A的结果求出符合要求的值即可；（3）计算，根据值的正负判断即可．解：（1）；（2）为整数，的值也是整数，或（此时分式无意义，舍去）即；（3），，．6．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）先化简：，当时，再从的范围内选取一个合适的整数a代入求值．【答案】，1．【分析】本题考查分式的化简求值，分式有意义的条件．先根据分式的混合运算法则对分式进行化简，再求出使分式有意义的a的值，代入求值即可．解：；∵要使原分式有意义，则，∵，∴，解得且，∴从的范围内选取一个合适的整数，∴当，时，原式．7．（24-25八年级下·江苏徐州·期末）根据条件求值：（1）化简求值：，其中，；（2）已知，，求的值．【答案】（1），；（2）【分析】（）通分，利用分式的性质对分式进行化简，再求出的值，最后代入到化简后的结果中计算即可求解；（）先求出的值，再利用完全平方公式对代数式变形，最后把的值代入到变形后的结果中计算即可求解；本题考查了分式的化简求值，二次根式的运算，完全平方公式，掌握分式和二次根式的运算法则是解题的关键．解：（1）解：原式，，，，∵，，∴，，∴原式；（2）解：∵，，∴，，∴原式．8．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）阅读材料：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．若，求代数式的值．解：，，即，，．（1）若，则________，________；（2）解分式方程组；（3）若，，，求的值．【答案】（1），；（2）；（3）【分析】（1）根据题干中所给的倒数法即可求解；（2）先结合倒数法得出新的方程组，再结合二元一次方程组的加减消元法即可求解，注意最后需进行检验；（3）结合倒数法求出，，，三式相加再除以可推出，则根据倒数法即可得解．解：（1）解：，，即，，，则，即，，．故答案为：，．（2）解：由得，，由得，,得，，得，，得，，，，，，将代入得，，解得，经检验是分式方程组的解，该分式方程组的解为．（3）解：，，即，，，即，，，即，，，即，．【点拨】本题考查的知识点是完全平方公式、分式的通分和约分、解二元一次方程组，解题关键是理解题意并能学以致用．【题型4】解可化为一元一次方程的分式方程（8题）1．（25-26八年级上·江苏苏州·期末）解方程：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意需检验．（1）根据去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1的步骤求解，再检验即可解答．（2）根据去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1的步骤求解，再检验即可解答．解：（1）解：去分母得，去括号得，移项、合并同类项得，系数化为1得，检验：把代入最简公分母，，故原分式方程的解为；（2）解：变形为，去分母得，去括号得，移项、合并同类项得，系数化为1得，检验：将代入中可得，故原方程的解为．2．（24-25八年级下·江苏南京·期中）解方程（1）（2）．【答案】（1）无解；（2）【分析】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键，最后的检验是解题的易错点．（1）先给方程左右两边同时乘以最简公分母得到整式方程求解，然后检验即可解答；（2）先给方程左右两边同时乘以最简公分母得到整式方程求解，然后检验即可解答．解：（1）解：，去分母得，，解得：，经检验是增根，分式方程无解．（2）解：，去分母得，，解得：，经检验是分式方程的解．3．（24-25八年级下·江苏南京·期末）（1）计算：；（2）解方程：【答案】（1）；（2）无解【分析】本题考查了解分式方程，分式的加减．（1）根据分式的加减法运算法则进行计算即可；（2）把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可．解：（1）；（2），方程两边同时乘，得，去括号，得，解得：，检验：把代入得，是分式方程的增根，分式方程无解．4．（24-25八年级下·江苏常州·期末）解方程：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）无解【分析】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．（1）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可；（2）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．解：（1）解：，方程两边都乘，得，解得，检验：当时，，所以分式方程的解是；（2）解：，，方程两边都乘，得，解得，检验：当时，，所以是增根，∴原分式方程无解．5．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）解下列分式方程：（1）（2）【答案】（1）；（2）原方程无解【分析】（1）按照解分式方程的基本步骤求解即可．（2）按照解分式方程的基本步骤求解即可．本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键．解：（1）解：∵,去分母，得，去括号，得，移项，得，合并同类项，得，经检验，是原方程的根，故是原方程的根．（2）解：∵，即，去分母，得，去括号，得，移项，得，合并同类项，得系数化为1，得经检验，时，，是原方程的增根，故原方程无解．6．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）解方程：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）无解【分析】本题考查了分式方程的解法：解分式方程的基本思路是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解,解分式方程一定注意要验根．（1）将方程化为整式方程，进行求解，最后检验是否为增根即可；（2）将方程化为整式方程，进行求解，最后检验是否为增根即可．解：（1）解：，去分母得：，去括号得：，整理得：，解得：当时，，故是方程的解；（2）解：，去分母得：，去括号得：，整理得：，解得：当时，，故是方程的增根；原方程无解．7．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）解方程：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）方程无解【分析】本题考查了分式方程的解法，解题的关键是掌握分式方程的解法：先去分母，把分式方程化成整式方程，然后解整式方程，最后检验．（1）根据分式方程的解法解答即可；（2）根据分式方程的解法解答即可．解：（1）解：方程两边都乘，得，解这个方程，得经检验：是原分式方程的解；（2）解：方程两边都乘，得解这个方程，得，经检验：是增根，原分式方程无解．8．（24-25八年级下·江苏常州·期末）解方程：．下面是小丽同学解这个方程的部分过程：解：

第一步……（1）小丽第二步在方程的两边同乘，这样做的依据是__________（填序号）；①等式的基本性质；

②分式的基本性质；

③因式分解．（2）请将解方程的过程补充完整．【答案】（1）①；（2）见分析【分析】本题考查了解分式方程；（1）由等式的基本性质即可求解；（2）方程两边同乘以，化为整式方程进行求解，然后进行检验，即可求解．解：（1）解：该同学解法中第二步的依据是：等式的基本性质；故答案为：①；（2）解：方程两边同乘以得，解得：，检验：当时，，是原方程的解．【题型5】二次根式的运算（8题）1．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）计算：（1）（2）【答案】（1）；（2）【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算顺序和运算法则是解题的关键．（1）先根据完全平方公式将括号展开，将其余二次根式化简，再合并同类二次根式即可；（2）按照二次根式乘除运算法则将各项化简，再合并同类二次根式即可．解：（1）解：；（2）解：．2．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）计算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算．（1）先利用二次根式的性质化简，再进行二次根的加减运算．（2）先计算二次根式的乘除法，再计算二次根的加减运算．解：（1）解：．（2）解：．3．（24-25八年级下·江苏徐州·期末）计算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）5．【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算，二次根式的乘法，熟练掌握其运算规则是解题的关键．（1）先化简二次根式，然后合并同类二次根式即可；（2）先计算二次根式的乘法，然后再从左到右进行计算即可．解：（1）解：原式；（2）解：原式．4．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）计算:（1）（2）【答案】（1）；（2）【分析】本题考查了实数的运算，二次根式的混合运算，解题关键是掌握二次根式的运算法则．（1）先计算零指数幂，化简二次根式，再加减即可；（2）利用完全平方公式和平方差公式结合二次根式的混合运算法则进行计算即可得到答案．解：（1）解：原式；（2）解：原式．5．（24-25八年级下·江西赣州·期中）计算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的加减运算、二次根式的混合运算、零次幂等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键．（1）先根据二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式即可；（2）先根据二次根式的性质、零次幂、绝对值化简，然后再合并同类二次根式即可．解：（1）解：．（2）解：．6．（24-25八年级上·江苏南通·期末）计算：（1）；（2）【答案】（1）；（2）【分析】本题考查二次根式的混合运算，零指数幂，负整数值指数幂，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键：（1）先化简，再合并同类二次根式即可；（2）先化简，利用平方差公式进行计算，再合并同类二次根式即可．解：（1）解：原式；（2）原式．7．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）计算（其中，）：（1）．（2）．【答案】（1）；（2）【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是准确化简．（1）根据二次根式的运算法则化简计算即可；（2）根据二次根式的运算法则化简计算即可．解：（1）解：，故答案为：；（2）解：故答案为：．8．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）阅读并回答问题:为了化简，我们尝试找到两个数、，使且，则可将化为，即，从而使得化简．例如，，所以．请仿照上例化简下列根式。（1）______；（2）_______；（3）计算：．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，利用二次根式的性质化简，分母有理化等知识点．（1）先将被开方数化为完全平方数，再利用二次根式的性质化简；（2）先将被开方数化为完全平方数，再利用二次根式的性质化简；（3）先将被开方数化为完全平方数，然后利用二次根式的性质化简，再分母有理化计算即可．解：（1）解：，故答案为：；（2）解：，故答案为：；（3）解：．【题型6】二次根式的化简求值（8题）1．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）已知：，．求的值．【答案】97【分析】本题考查二次根式的化简求值，求出的值，利用整体代入法进行求值即可．解：∵，，∴，，∴．2．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）若，求代数式的值．【答案】【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，将代数式变形为，然后整体代入计算即可．解：∵，∴．3．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）先化简，再求值：，其中．【答案】，【分析】本题主要考查了分式的化简求值、因式分解，熟练掌握分式的运算法则和因式分解方法是解题的关键．先将除法运算转化为乘法运算并因式分解，再通分进行分式加减，最后代入求值．解：，当时，原式．4．（24-25八年级下·江苏南京·期末）（1），，求代数式的值．（2）先化简，再求值．，其中，．【答案】（1）；（2），【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，平方差公式等知识点，能灵活运用二次根式的运算法则进行计算是解题的关键．（1）先求出和的值，再把变成，最后代入求出答案即可；（2）先根据二次根式的性质、二次根式的加减混合运算法则对原式进行化简，然后求出的值，再代入原式即可求出答案．解：（1），，，，；（2），，，当，时，，原式．5．（24-25八年级下·山东临沂·期中）阅读材料，并解决问题：定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．如：将分母有理化，解：原式．运用以上方法解决问题：已知：．（1）化简；（2）求的值．【答案】（1），；（2）．【分析】（）仿照已知化简即可；（）求出、的值，再把它们代入代数式计算即可求解；本题考查了二次根式的化简求值，掌握分母有理化是解题的关键．解：（1）解：，；（2）解：∵，，∴，，∴原式，．6．（24-25八年级上·福建福州·期末）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的：，，．．．请你根据小明的解题过程，解决如下问题：（1）______________；（2）化简；（3）若，求的值．【答案】（1）；（2）12；（3）4【分析】（1）利用分母有理化计算；（2）先分母有理化，然后合并即可；（3）先利用a＝＋2得到a−2＝，两边平方得到a2−4a＝1，然后利用整体代入的方法计算．解：（1）故答案为：（2）解：原式＝；（3），a−2＝，∴（a−2）2＝5，即a2−4a＋4＝5．∴a2−4a＝1．∴a4−4a3−4a＋3＝a2（a2−4a）−4a＋3＝a2×1−4a＋3＝a2−4a＋3＝1＋3＝4．【点拨】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．7．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）【阅读材料】问题：已知，求的值．小明的做法是：∵，∴．∴．∴．∴．∴．小明的做法是将已知条件适当的变形，再整体代入所求代数式进行解答．小丽的做法是：∵∴当时，原式．小丽的做法是将结论中代数式适当的变形，再已知条件代入变形式进行解答．【解决问题】（1）请你仿照“小明的做法”或“小丽的做法”，解决问题：已知，求的值；（2）请你参考“小明的做法”和“小丽的做法”，运用恰当的方法解决问题：已知，求的值．【答案】（1）；（2）2【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，代数式求值，掌握整体代入法是解题的关键．（1）仿照小明的做法时，先计算出的值；仿照小丽的做法时，将原式变形为；（2）仿照小明的做法，计算出的值，的值，再将原式变形为，代入求解即可．解：（1）解：仿照小明的做法：∵，∴．∴．∴．∴．∴．仿照小丽的做法：∵∴当时，原式．（2）解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴．8．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）请阅读下列材料：问题：已知，求代数式的值．小明的做法如下：，，两边平方，得：，，．把作为整体代入，得，即把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．仿照上述方法解决下列问题：（1）已知，求代数式的值；（2）已知，求代数式的值．【答案】（1）；（2）1【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，正确理解题意是解题的关键．（1）根据求出，然后两边平方后求出，求出，再代入求出答案即可；（2）根据求出，再两边平方求出，求出，再变形后代入，即可求出答案．解：（1）解：，，两边平方得：，即，，；（2）解：，，，两边平方，得，即，，即，．【题型7】因式分解、分式与分式方程综合（8题）1．（2026·河北沧州·一模）因式分解或化简（1）因式分解：；（2）因式分解：；（3）直接写出的化简结果．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）利用完全平方公式解答即可；（2）先提出公因式2，再利用平方差公式解答即可；（3）根据（1）（2）结果计算即可．解：（1）解：；（2）解：；（3）解：2．（25-26八年级上·山东威海·期末）因式分解、化简：（1）因式分解：；（2）化简：．【答案】（1）；（2）【分析】本题考查因式分解，分式的混合运算：（1）提公因式法进行因式分解即可；（2）先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简即可．解：（1）解：原式；（2）解：原式．3．（25-26八年级上·天津南开·期末）（1）因式分解：；（2）因式分解：；（3）已知．①化简该代数式；②从，，1，3中选取一个合适的数作为x的值，计算该代数式的值．你选取的数是，此时代数式的值为．【答案】（1）；（2）；（3）①化简结果是；②选取的数是，此时代数式的值为【分析】本题考查了因式分解和分式的化简求值，解题的关键是掌握因式分解的方法和分式的混合运算．（1）用平方差公式分解即可；（2）用完全平方公式分解即可；（3）先化简分式，再代入合适的值计算即可．解：（1）；（2）；（3），由题意得，，解得且，所以x取，当时，原式，所以选取的数是，此时代数式的值为．4．（25-26八年级上·重庆·月考）因式分解与计算：（1）因式分解：；（2）计算：．【答案】（1）；（2）【分析】本题主要考查了因式分解，分式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．（1）先提公因式，再用平方差公式分解因式即可；（2）根据分式混合运算法则，进行计算即可．解：（1）解：；（2）解：．5．（24-25八年级下·山西运城·期末）（1）因式分解：；（2）利用因式分解计算：；（3）解分式方程：．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】本题考查因式分解，解分式方程，熟练掌握因式分解的方法，解分式方程的步骤，是解题的关键：（1）先提公因式，再利用平方差公式法进行因式分解即可；（2）利用完全平方公式法因式分解，进行简算即可；（3）去分母，将方程化为整式方程，求解后，进行检验即可．解：（1）原式（2）原式．（3）解：方程两边都乘，得，移项、化简，得，解得，检验：当时，，所以，是原方程的解．6．（25-26八年级上·河南商丘·期末）（1）因式分解：；（2）因式分解：；（3）解方程：．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】本题考查了因式分解、解分式方程，关键是熟练应用知识点解题；（1）利用提公因式法因式分解即可；（2）利用平方差公式进行因式分解即可；（3）把分式方程化成整式方程求解即可．解：（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：两边同乘以得：，，，，，经检验：是原分式方程的解．7．（25-26八年级上·山东东营·期中）（1）因式分解：；（2）因式分解：．（3）解方程：（4）解方程：【答案】（1）；（2）；（3）原方程无解；（4）【分析】本题主要考查了因式分解，解分式方程，解题的关键是掌握各运算法则．（1）先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可；（2）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可；（3）按照分式方程的步骤进行求解即可；（4）按照分式方程的步骤进行求解即可．解：（1）解：；（2）解：；（3）解：整理得：去分母得：，整理得：，解得：，经检验：当时，，∴是原方程的增根，原方程无解；（4）解：方程的两边同乘，得解得，，即，经检验，当时，，所以，原方程的根是．8．（24-25八年级下·山东青岛·月考）（1）因式分解：；（2）因式分解：．（3）化简：；（4）化简：；（5）解分式方程：；（6）解分式方程：．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）原分式方程无解；（6）【分析】（1）利用综合提公因式和公式法进行因式分解即可；（2）利用综合提公因式和公式法进行因式分解即可；（3）通分求解即可；（4）先通分，进行因式分解，然后进行除法运算即可；（5）先去分母，将分式方程化成整式方程，然后求整式方程的解，最后进行检验即可；（6）先去分母，将分式方程化成整式方程，然后求整式方程的解，最后进行检验即可．解：（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：；（5）解：，，，解得，，经检验，不是原分式方程的解，∴原分式方程无解；（6）解：，，解得，，经检验，是原分式方程的解．【点拨】本题考查了因式分解，分式的减法运算，分式的化简，解分式方程．熟练掌握因式分解，分式的减法运算，分式的化简，解分式方程是解题的关键．【题型8】分式运算与二次根式综合（8题）1．（25-26八年级上·重庆·期末）（1）计算下列二次根式：；（2）计算下列分式：，（）．【答案】（1）；（2）【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，分式的加减