高考数学一轮复习 课时练51 圆的方程（湘教版）

圆的方程

(分值:78分)

(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)

1.若方程x2十y2十2)，十2公1二()表示圆，则实数a的取值范围为()

A.(-oo,l)B.(l,+ooi

C.(-oo,0]D.((),+oo)

2.(2025•北京海淀模拟)圆心为(-1,2)且与x轴相切的圆的方程是()

A.(x-l)2+(y+2)2=2

B.(x+1)2+0，2户=2

C.U-l)2+(y+2)2=4

D.(x+l)2+(y-2)2=4

3.(2024•北京,3)圆x2+产2x+6y=0的圆心到x-y+2=0的距离为()

A.A/2B.2

C.3D.3V2

4.已知三点41,0)出(0,百),C(2,百)，则ZkABC外接圆的圆心到原点的距离为()

5.已知PA是圆C:x2+(y-l)2=l的切线工为切点，若|PA|=2,则点P的轨迹方程是()

A.(x-1)2+),2=5

B.F+G，-1)2=5

C.y2=2x

D.f=2y

6.(2020♦北京,5)已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为()

A.4B.5

C.6D.7

7.(多选题)已知圆M的标准方程为(六4)2+()，+3)2=25,则下列说法正确的有()

A.圆M的圆心为(4,-3)

B.点(1,0)在圆内

C.圆M的半径为5

D.点(・3,1)在圆内

8.如果圆的方程为f+h+2y+3=0,那么当圆的面积最大时，圆心坐标为，圆的面

积的最大值为.

9.已知的三个顶点分别是点A(2,0),B(4,0),C(3,夜+1),记ZiABC的外接圆为圆机则圆M

关于原点对称的圆的标准方程为.

10.已知等腰三角形A8C,其中顶点A的坐标为(0,0),底边的一个端点8的坐标为(1,1),则另一

个端点C的轨迹方程为.

11.过A(0,l),8(0,3)两点，且与直线产片1相切的圆的方程可以是()

A.(X+1)2+(J-2)2=2

B.(A-2)2+(>>-2)2=5

C.(x-l)2+(y-2)2=2

D.(x+2)2+(y-2)2=5

12.(多选题)已知实数xj，满足方程K+)，2-4x-2y+4=0则下列说法正确的有()

A?的最大值为］

x3

B2的最小值为0

X

C.f+)，2的最大值为6+1

D.x+y的最大值为3+V2

13.(多选题)己知人B为定点，且|AB|=4,下列条件能满足动点P的轨迹为圆的有()

A.|PA||PB|=10B.簿3

C.|PA|2+|PB|2=10D.\PA\2-\PB\2=\O

14.过两圆x2+)，2*y-2=0与?+/+4^-4>-8=0的交点和点(3,1)的圆的方程

是.

15.自圆C:(r3)2+(y+4)2=4外一点P引该圆的一条切线,切点为Q.P。的长度等于点P到原

点。的距离，则点P的轨迹方程为.

参考答案

1.A解析由题意22-4(2小1)>0,解得〃<1.故。的取值范围为(-8,1).故选A.

2.D解析因为圆心为(-1,2)且与戈轴相切，所以半径-2,则圆的方程为(x+l)2+()，-2)2=4.故选

D.

3.D解析圆f+V-Zx+GyuO的标准方程为(x-l)2+(y+3)2=10,圆心坐标为(1,-3),因此圆心到

直线4，+2=0的距离d=「"2=3鱼.故选D.

Ji2+(-D2

4.B解析易知AABC外接圆的圆心在直线BC的垂直平分线上，即在直线产1上，可设圆心

P(l,p).由|PA|=|P8|得|p|二Jl+(p-国产,得/尸竽,故圆心坐标为P(l,乎).所以圆心到原点的

\|OO

距离|OP|=Jl+@)2=小+.=苧.故选B.

5.B解析因为伊川=2,所以点P到圆心的距离恒为亚4N=石,所以点P的轨迹是以

(0』)为圆心，①为半径的圆，即点P的轨迹方程是*+。-1)2=5.故选B.

6.A解析设圆心C(xj),则小x-3)2+(y-4)2=l,化简得(.3)2+()⑷2=1,所以圆心C的轨迹是

以M(3,4)为圆心,1为半径的圆,

所以|0C|+1/0M=(32+42=5,

所以|OC|N5-1=4,当且仅当点C在线段0M上时，等号成立.

7.ABC解析圆M:(x-4)2+(y+3)2=25的圆心为(4,-3),半径为5,故A,C正确油(1-

4y+(0+3)2=18<25,得点(1,0)在圆内，故B正确油(34)2+(1+3)2=65>25,得点(・3,1)在圆外，故

D错误.故选ABC.

8.(0,-1)兀解析由f+y?+日+2y+3=0可得。+乎+。+1)2=1-部，所以圆心坐标为(5,-1),不

妨设圆的半径为人即户=1-32>0,易得当％=0时,最大，此时圆的面积最大，圆的方程即可化为

f+G，+1)2=1,所以圆心坐标为(0,-1),半径r=l,圆的面积最大值为71.

9.(工+3)2+。+1产=2解析设圆M的标准方程为。-4+(.六6)2二户,代入A,8,C三点的坐标得

r(2-u)2+(0功)2=产，(Q=3,

\(4-a)2+(0-b)2=r2,解得卜=1,

l(3-a)2+(夜+1-b)2=r2,=2,

故圆M的标准方程为(『3)2+(广1)2二2.

圆M的圆心(3』)关于原点对称的点为(-3,-1),故所求圆的标准方程为(x+3)2+。+1)2=2.

10.f+y2=2(除去点(1J)和点(1.I》解析设C(x,y),根据在等腰三角形ABC中|AB|=|AC|,可

得(x-O)2十0-0)2=(102十(1@2,即r十)2=2.考虑到A,6,C三点要构成三角形,因此点C的坐标

不能为(1,1)和(-1,-1).所以点。的轨迹方程为f+)，=2(除去点(1,1)和点(-1,-1)).

H.C解析因为A((),l),3(()、3),所以线段A3的垂直平分线的方程为)=2.设圆心为。7,2),则

圆。的半径为片与患=，.又因为r=\AC\=Jt2+(2-112=&2+i,所以琮="2+i,整

理可得尸+6/7=0,解得t=\或/=-7.当t=1时,r=|AC|二夜，此时圆的方程为(x・l)2+G，-2)2=2;当

t=-l时，r=\AC\二5夜，此时圆的方程为(x+7户+(广2)2=50.综上所述，满足条件的圆的方程为(六

l)2+(y-2)2=2或(x+7)2+(y-2)2=50.

12.ABD解析由实数xj满足方程f+VA-Zy+dR,可得点(x,y)在圆(x-2)2+(y-l)2=l上，作

其图象如图所示.

(表示点(工,)与坐标原点连线的斜率，设过坐标原点的圆的切线方程为产人则粉=1,解得

k=0或%=*则衿［0点,皆那二盘机皿二。,故A,B正确；

犬+y2表示圆上的点aj)到坐标原点的距离的平方，圆上的点3),)到坐标原点的距离的最大值

为I0CI+1,所以f+y2的最大值为(|。。+1)2,又|0。|=后",所以f+y2的最大值为6+2遥,

故C错误；

因为f+)2-4%“+4=0可化为(x・2)2+(y1)2=1,故可设x=2+cos。，产1+sin6,9为参数，所以

x+y=2+cos夕+1+sin0=3+应sin(8+；),所以x+y的最大值为3+夜，故D正确.故选ABD.

13.BC解析如图所示，以线段48所在的直线为犬轴,48的垂直平分线为y轴建立平面直角

坐标系，

设P(xj),则A(20),B(2,0).

对于A,若|P4|・|PB|=10,则J(%+2)2+y2.1(占)21^=10,整理得。2+)，2+4)2-(旬2=1()0,以-

"弋x,以・)，代y,方程不变,故动点P的轨迹关于原点对称，即对称中心为原点，令尸0,得

产土前，令尸0,得产土VH,所以该轨迹不是圆，故A错误;对于B,由|PA|二3|PB|,得

|P4|2二9|PB|2,即(汇+2)2+)2=9口⑵2+再整理得『+/.5户4=0,即(x-T+y2三,所以点P的轨迹

是表示以。0)为圆心3为半径的圆，故B正确;对于C,若|P4|2+|PB|2=1O,则(X+2)2+9+(心

2)2+,2=[0,即『+)2=1,所以点尸的轨迹为圆，故c正确;对于D,因为|P4|2_|P阴2=10,所以

(1+2)2+)，2-(1-2)2-)，2=]0,即工号所以点p的轨迹为直线，故D错误.故选BC.

14.x2+y2-yx+y+2=0解析因为点(3』)不在圆片+)2+4..