平面向量的概念及线性运算（学生版）-2027届高考数学专项练习

1.向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小称为向量的长度(或称模).

(2)零向量：长度为。的向量，记作0.

(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量.

(4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.规定：零向量与任意向量平行.

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.

2.向量的线性运算

向量运算法则(或几何意义)运算律

力、交换律：

a

三角形法则a+〃=b+a；

加法

结合律：

a(a+〃)+c=〃+(〃+c)

平行四边形法则

减法aa­b=a~\-(—b)

几何意义

口。|=叫0|;

当A0时,Xa的方1可与a的方

刈a)=(M)a；

向相同;

数乘(A+〃)a—Xa：

当2<0时，痴的方向与a的方

k(a~\~b)=A.a~\~kb

向相反;

当2=0时，，痴=0

【注意】九〃为实数.

3.向量共线定理

向量僦々W0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数九使

【注意】当时，定理中的实数2才唯一.

［常用结论］

1.P为线段48的中点，。为平面内任意一点。次=；（晶+%）.

2.若历＞=。晶+〃初仪，。为常数），O不在直线45上，则尸，Af3三点共线的充要条件是〃+。=

1.

3.若G为△ABC的重心，则有

（1）G^+CT+GC=O:（2）JG=^（J&+JC）.

4.对于任意两个向量叫b,都有

IIM一网W21&IM+步1（向量三角不等式）

考点一平面向量的概念

I.（25-26高三上•黑龙江齐齐哈尔期中）（多选）关于平面向量，下列说法正确的是（）

A.零向量的长度是0B.向量是有向线段

C.若G==则。D.若是共线的单位向量，则5=3

2.（25-26高三上•上海•期中）下列说法：

①加速度是向量；

②若向量a〃坂且3〃c,则〃〃c;

③若向量方=函，则直线与直线CO平行；

④若向量方，而满足|冏＞|西，旦乐与丽同向，则刀〉函；

⑤若两个非零向量而，而满足而+无=0,则方，而为相反向量：

⑥若两个向量相等，则表示它们的有向线段的起点相同，终点也相同；

其中错误的有（）个.

A.IB.2C.3D.4

3.（25-26高三上•广东广州•期中）（多选）给出下列命题,不无颂的有（）

A.两个相等向量，若它们的起点相同，则终点相同

2

B.若词出,b\\cf则可修

d

C.若G为非零向量，则冏与万同向

D.已知4,〃为实数，若然=筋，则。与B共线

4.（25.26高三上•广东河源•阶段检测）下列关于平面向量的说法中，正确的是（）

A.长度相等的两个向最一定是相等向最B.方向相同或相反的两个向最叫做共线向量

C.零向量没有方向D.平行向量的方向一定相同

5.（25-26高三上•广东深圳•期中）（多选）下列命题中，不正确的有（）

A.有相同起点的两个非零向量不共线

B.“1=户的充要条件是同=|可旦力/5

C.若万与方共线，B与？共线，则方与3共线

D.向量5与5不共线，则不与B都是非零向量

6.（25.26高三上・甘肃白银•阶段检测）（多选）下列关于平面向量的说法正确的是（）

A.零向量没有方向

B.平行向量一定是共线向量

C.两个单位向量的和一定不是单位向量

D.若B是不共线向量，则向量B都是非零向量

考点二向量的线性运算

7.（26-27高三•全国•一轮复习）（多选）已知等边三角形力AC内接于。为线段。力的中点，E为线段4c的中

点，则丽=（）

2—I—.4—1——I—2—1—

A.-BA+-BCB.-BA一一BCC.BA+-AED.-BA+-AE

3636333

8.（25-26高三上•广西河池期中）如图所示，D,£分别为C。的中点，若向量而=£,元=5用2万表示向量

BE.

9.（25-26高三上•四川成都・期中）如图，在梯形48CZ）中，而=2反，BE=2EC>DC=2FC.

3

⑴用荔，1万表示万；

（2）若AE与BF交于点G,用在，而表示前.

10.（25-26高三上•广东汕尾•期中）在&48C中，点。在线段8C上，且80=3。。，贝U亚=（）

A.AD=-AB-1f—ACB.~AD=-7B+-AC

2244

c.JD=-AB--ACD.7D=-JB+-AC

2244

11.(25-26高三上•江苏•期中)在△048中，AD=^AB,OE=^OB,设a=3,砺=B,则反=()

1-IT1-IT1-1-|-1-

A.-a—bB.—ciH—bC.—a+—bD.——a—b

26262626

12.（25-26高三上•浙江绍兴•阶段检测）如图，在梯形川?CQ中，~AD=-JC,E,尸分别为40,8c的中点，G

为线段的四等分点（靠近点尸），记赤=G，DC=b^则（）

B.EG=-a+-b

44

一I3—

C.EG=-a+-bD.EG=-a+-b

4884

考点三根据向量的线性运算求参数

13.（2D26高一•全国・专题练习）在平行四边形力8。中，分别是8C,CZ）的中点，若尼=4万7+〃丽，则

2=,〃二.

14.（25-26高三上•天津南开•阶段检测）如图，在出"C中，F,E分别在线段8C,4c上，且28尸=«,AE=2EC,

AF,BE交于点P,若苏=工而+产曰，则x-2.y=.

4

15.（25-26高三上•天津红桥•阶段检测）如图，在包48。中，M是4。的中点，点N在边力C上，旦AN=2NC,AM

与8N相交于点?，设方=用就=囚，则万？=；AP=.（注：用G和B来表示）

16.（25-26高三上•四川雅安•阶段检测）在出/8C中，。是8c边上靠近8的一个三等分点，若%与2次+/〃丽平

行，则实数阳=.

17.（25-26高三上•广东中山•期中）（多选）如图，在由48c中，。为8。的中点，~AE=2EC^4D与BE交于点

F,若CF=xAB+y7c,则下面对于巷丁的描述正确的是（）

B.2x-3y=\

D.x+y=~\

18.（25.26高三上,云南・阶段检测）在平行四边形486中，3砺=丽,丽=抚+/5（4内1<），则22-〃=

考点四向量共线定理的应用

19.（2026•湖南长沙•三模）已知瓦B是不共线的向量，且翦=,+2工就=-5,+64丽=7,-2瓦则（）

A.48,C三点共线B.&C,。三点共线

C.4£。三点共线D.4C,。三点共线

2（）.（25-26高三上•安徽蚌埠•阶段检测）在中，8c边上的中线为力。,/。的中点为E,过点E的一条直线与

48MC分别交于点£G.若万:=2茄，就=〃就（尢〃>0）,则（）

1.11”

A.%+〃=1B.—+—=4

%〃

C.2//=-D.%=〃

4

21.（25-26高三上•安徽宿州•阶段检测）在出月AC中，点。是AC的中点，过点。的直线分别交射线4C于不

5

同的两点A/,N.设力4=AC=nAN（〃，>0,〃>0）,则—►•一的最小值（）

mn

A.2B.4C.2>/2D.8

22.（2026•浙江•二模）己知否是两个不共线的向量，且荏=2）+5几BC=a+2b,丽=工―3人则四边形力8C。

的形状是（）

A.梯形B.菱形C.矩形D.无法构成四边形

23.（25-26高三上•广西梧州•期中）已知口川?CQ中，AD=a^刀=B,M为4B的中点、，N为BD上靠近B的三

等分点.

（1）。，不表示向量砒，NC：

（2）判断M,N,。三点的位置关系，并证明.

24.（25-26高三上•河北沧州•期中）（1）设2是不共线的两个向量,如果在=国-区,而=4亲+r,

丽=81-%,求证：4民。三点共线：

（2）若,与B不共线，且&；+依与垢+25共线，求实数%的值.

25.（25-26高三下•安徽六安•阶段检测）已知力、B、C三点共线（该直线不过原点O）,且

一一____/、12

OA=mOB+2noe（m>0,n>0）,则一十一的最小值为.

rnn

26.（25-26高三上•四川南充•期中）记直线/与dMBC的边交于P,0两点，且

AP=x.AB,（x>0）,AQ=yAC,（y>0）.

———1

若BF=4FC,x=y=Q,BQ与4F交于点M,

6

（i）请用向量力民衣表示赤；

（ii）若力M=4力产，求2的值；

（2）若直线也恒过出力BC的重心G,试求x+4y的最小值.

1.（25-26高三上•广东广州•期中）已知G,B为非零向量，则“卜+川=|回+忖”是“存在实数"使G=/lr'的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.（25.26高三上•江西上饶•阶段检测）下列说法不正确的是（）

A.单位向量的模一定相等

B.若同=|同，则£=B

C.在等边三角形中，而与元的夹角为120。

D.若口司=|明，|布卜|明则平面四边形/8CQ一定是平行四边形

3.（25・26高三上・上海•期中）如图，在正方形”CO中，£为力5的中点，产为"的中点，则正等于（）

DC

□

AEH

3—1一」而+，而

A.-AB+-ADB.

4442

C.-AB+14DD.,-LAB^AD

244

）=；方，为中点,则而二（）

4.（25-26高三上•河北•期中）在dMBC中，~ADBE=^BC,CF=^CA,GDE

A.-~AB--ACB.-AB--ACC.LAB--ACD.-AB--AC

33223333

5.（25-26高三上・安徽亳州•期中）在心48c中,若沅=3而，贝iJ万5=（）

A.-AB+—ACB.—AB4—ACC.-AB+-ACD.-JB+-JC

33334444

6.（25-26高三上•河南•阶段检测）在心48c中,8为力"边上的中线，E为CO上一点，且丽=/瓦，若

—1—2—

AE=-AB+-AC,则/=（）

63

A.B.2C.3D.4

2

7.（25-26高三上•浙江•阶段检测）在同BC中,。是边8C的中点，E是边彳。上靠近点力的三等分点，设而=/,

7

4=5，则访=（）

11-11-11r17-

A.—tz+—bB.-ci~~bC.—ci+D.——4/4--b

62622626

8.（2526高三上•重庆•阶段检测）如图，在题8（7中，点O是线段5C上靠近点5的三等分点,过点。的直线分

别交直线48、4C于点N.设乐=机丽，AC=2nJN»则〃?+〃的值为（）

M

A.1B.-C.2D.3

2

9.（25-26高三上•重庆•期中）已知点4在线段4。上（不含端点），。是直线8C外一点，且况=2x砺+），反，则

-的最小值是（）

x+1y+2

83

A.4B.-C.-D.2

10.（25-26高三上•江苏南京•阶段检测）（多选）在出48C中，点O在8C上，且函=2历，过点。的直线分别交

直线力瓦力C于不同的两点M,N,若森=〃?而，AC=nAN^m>0,n>0,则（）

A.2〃?+〃=3B.4"+〃2的最小值为9

C.工+细的最小值为，D.」+一二的最小值为把2

mn3m+2n+l8

11.（25-26高三上•黑龙江•期中）（多选）已知向量比B不共线，MN=3a-^b,MP=b-（2A+\）af若M,NJ三点

共线，则义的可能的取值为（）

33

A.-B.-1C.1D.-

2