高考数学一轮复习 课时练47 直线的倾斜角与斜率、直线的方程（北师大版）

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

（分值:79分）

（单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分）

1.（2025•安徽黄山期末）直线y=-2的倾斜角为（）

A』B.0

=C4-D5--2

2.（2025・湖南模拟）直线4百丁+3=0在），轴上的截距为（）

A.-3B.-V3

C.x/3D.3

3.（2025・重庆期末）直线心迎”1=0的一个方向向量是（）

A.（l§）B.（I,V3）

D.（l,-V3）

4.（2025•安徽宿州期末）将直线/i:x+5y-l=0绕点（1,0）顺时针旋转第到直线4则〃的方程是

（）

A.x-5y-l=0B.5x+y-5=O

C.x-y-1=0D.5x-y-5=0

5.已知直线/的方程为依-y+2h2=0（k£R）,若直线/不经过第二象限，则k的取值范围为

（）

♦一题多解）

A.（-x,l]B.[0,+oo）

C.[0,l]D,[l,+x）

6.（多选题）已知"BC的三个顶点4（2,-1）,仅27）,。（-2,1）,则下列描述正确的有（

A.直线8C的倾斜角不存在

B.直线AB的斜率为.2

C.边AC所在直线过坐标原点

D.边AB上的中线所在直线的方程为x-y+3=0

7.(2026・江苏宿迁模拟)设直线/的方程为(a+l)x+y+l-a=O,若直线/在两坐标轴上的截距互

为相反数，则a=.

8.(2025•江西新余一模)已知直线/的方程为氏则直线/的倾斜角的取值范围为

()

A.呻B.职)

c」1)uS兀)D.[0,*(Q)

9.(2026・重庆模拟)已知点A(3,4),8(-2,-1),若直线/:广经-2)+1与线段相交，则出的我值范

围是()

A.[1,+oo)

B.(-83U[3,+8)

C.(-oo,0]U[1,3)

D.[1,3]

10.若过点A(2,l),5(肛3)的直线的倾斜角a.的取值范围是仪日),则实数机的取值范围是

44

()

A.(0,2]

B.(0,4)

C.(2,4)

D.(0,2)U(2,4)

11.已知4(2,3),8(12),若点改,)，)在线段A8上，则白的最大值为______.

X-D

12.(13分)已知直线/的方程为(2〃z+l)x+(/〃+l))，-7〃z-4=0.

(1)求证:不论，"为何值，直线/必过定点M\

(2)过点M的直线人分别交x轴、y轴正半轴于A,B两点，当AAOB面积最小时，求AAOB的周

长.

13.(2025•北京名校高三一轮复习)三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所

示,其中点4的横、纵坐标分别为第，名工人上午的工作时间(单位:时)和加工的零件数(单

位:件)，点的横、纵坐标分别为第，名工人下午的工作时间和加工的零件数占1,2,3.记Qi

为第i名工人在这一天中加工的零件总数，记P,为第i名工人在这一天中平均加工的零件数，

则中的最大值与P1,P2/3中的最大值分别是()

［零件数/件

B29

4.

・・4・.一

°工作时间时

X.Q\.P\B.Q1/2

C.Q2.P1DQ/2

14.己知点P(2cos10°,2sin10°)，2(2cos130°,2sin1305)，则直线PQ的倾斜角

为.

('一题多解

参考答案

1.B解析直线产・2为平行于x轴的直线,所以倾斜角为0.故选B.

2.C解析令户0,得所以直线在y轴上的截距为V5.故选C.

3.A解析直线不遍)叶1=0的斜率为上g,则该直线的一个方向向量是(1弓),而选项B,C,D

中对应向量与(l,f)不共线.故选A.

4.D解析由题意可知，直线h与/2垂直，直线人的斜率为T，所以直线/2的斜率为5.又因为h

过点(1,0),所以直线/2的方程为)，=5(41),即5片广5=0.故选D.

5.C解析(方法一)直线方程化为斜截式:y=ki+2h2,斜型存在,且直线/与y轴的交点为

(0,2h2),当上0时，直线/的方程为产-2,满足题意;

k>0,

解

2k-2<0,

得0＜任1.

综上火的取值范围为[0,1].故选C.

(方法二)直线方程化为点斜式为)，+2=k(x+2),所以无论4为何值，直线/都过定点P(-2,-2),过

定点尸作直线/i平行于x轴,过定点P和。作直线h如图所示.

因为直线/不经过第二象限所以人和/2是符合条件的临界位置，即0="＜k＜札=1,所以k

的取值范围为[0,1].故选C.

6.BCD解析易得直线BC方程为x=-2,则直线8c的倾斜角为90。,斜率不存在，故A错误;

直线A8的斜率为AAB二誓:2故B正确;因为42,-l),C(-2,l),故边4c所在直线的方程为

•2-2

弁=分，即产彳,故过坐标原点，故C正确;线段AB的中点坐标为(0,3),又中线过点C(-2,l),

1-(-1)-Z-ZL

则边A8上中线所在直线的斜率为三=1,故所求方程为y-1+2=y=x+3,即x-y+3=0,故D正

确.故选BCD.

7.1或-2解析由题意知直线/的方程为(a+1)x+)，+1-〃=0,当a=-\时,直线为)，+2=0,不符合

题意，故H-1.令户0,则产令)=0,则广箸.由直线/在两坐标轴上的截距互为相反数，则

箸+〃/=(),解得a=\或〃=-2.当a=i时,直线为+)=(),直线/在两坐标轴上的截距均为(),符

合题意;当a=-2时,直线为x-y-3=0,直线/在x轴、y轴上的截距分别为3,-3,符合题意.

8.D解析直线/的斜率为k-〃+iq,设该直线的倾斜角为“则‘血如1,又因为把火兀，故。

£呢”(如.故选口.

9.B解析直线/j=k(x-2)+l过定点P(2,l),而"尸号=3,k所段=:，由图可知，要使直线

/:y=k(x-2)+l与线段AB相交，则k＜1或/3,即k的取值范围是U[3,+8).故选B

10.B解析当时，直线AB的斜率不存在4,B两点横坐标相等，即〃『2;

当书时，直线的斜率存在，则心产三＜/或后产三＞1,解得。＜沉＜2或2＜〃?＜4.

4224771-2771-2

综上，实数也的取值范围是(0,4).故选B.

11.解析设Q(3,0),则做二9=-3加。=哭=3,因为P(.rj)是线段A8上的任意一点，所以吃

L2-3-1-32X-3

表示直线PQ的斜率，而松母-3,总故七的最大值为

2X-32

12.(1)证明由(2阳+1就+(加+l)y-7m-4=0,可得m(2x+y-7)+x+y-4=0,

令=｛；二:所以直线/过定点

⑵解由⑴知，直线(恒过定点M(3,l),由题意可设直线/i的方程为产1:总-3)伙〈0),直线/)与

x轴、y轴正半轴的交点分别为A,B,令产0,得ya-1-3k;令)=0,得XA=3=.所以△A08的面积

K

S1(l-3颂3今4(-%)+(2+6户|[2l(・9k)(・J)+6]=6,当且仅当•%=!，即仁；时等号成立，此

ZK乙KZK"KJ

时△AOS面积最小，则A(6,0),8(0,2),|A8|二^62+(-29=2同,故△408的周长为

6+2+2710=8+2710.^以当/XAOB面积最小时,ZSAOB的周长为8+2V10.

13.A解析

①因为为第i名工人在这一天中加工的零件总数，贝」。kAi的纵坐标+B的纵坐标;二A2

的纵坐标+&的纵坐标:Qa=Aa的纵坐标+&的纵坐标.结合图象可知中的最大值为

Q；

零件数/件

4・、

片4m铲:、耍

°工作时间/时

②因为Pi为笫，名工人在这一天中平均加工的零件数，则尸,为线