2027人教版高考数学复习讲义：第1节 集合

【知识梳理】

1.元素与集合

(1)集合中元素的三个特性：确定性、、无序性.

(2)元素与集合的关系是或不属于，表示符号分别为和a

⑶集合的三种表示方法：、、图示法.

⑷常用数集及记法

名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集

记法

2.集合间的基本关系

(1)子集:如果集合A的任意一个元素都是集合B的,那么集合A称为集合

B的子集.记作48(或824).

(2)真子集:如果集合4是集合B的子集，并且B中至少有一个元素______人那么

集合A称为集合B的真子集.记作A8(或BRA).

(3)相等:给定两个集合A和8,如果组成它们的元素完全相同，就称这两个集合相

等，记作4=5.

(4)空集的性质:空集是任何集合的子集,是任何集合的真子集.

3.集合的基本运算

集合的并集集合的交集集合的补集

若全集为U,则集合A

符号表示AUBAQB

的补集为CuA

图形表示u

.0J

AU"APIA

集合表示{小WA,或x£B}—{HEWU,且.也}

4.集合的运算性质

⑴AGA=A,AC0=0,

(2)ALM=A,AU0=ArAUB=BUA.

(3)AG([uA)=。，AU([uA)=U,

[u([M=A

[常用结论与微点提醒]

1.若有限集人中有，?个元素，则人的子集有2〃个，真子集有2”一1个，非空子集

有2〃一1个，非空真子集有2〃一2个.

2.4G8=AC8=A=AUB=Bo[uA=luB.

3.0(4rB)=([M)U([团),

[u(AU8)=(1uA)C([uB).

【诊断自测】.概(念思考辨析+教材经典改编

1.思考辨析(在括号内打“，'或"X”)

⑴任何一个集合都至少有两个子集.()

(2){x|y=f+1}={y\y=xi+1}={(X,y)|y=f+1}.()

⑶若IE，，X}t则尤=-1或1.()

(4)对于任意两个集合48,(4n3)U(4U8)恒成立.()

2.(人教B必修一P9练习BT4改编)已知集合A={x—2,x+5,12),且一3£人,

贝|Jx=.

3.(人教A必修一Pl3Tl改编)己知U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5},

B={1,3,5,7},则4G([附=.

4.(苏教必修一P23T14改编)已知集合A={x|0VxV〃},8={.巾Vx<2},若BG4,

则实数。的取值范围是.

考点一集合的基本概念

例1(1)(2024•南京二模)已知集合A={1,2,4},B={(x,y)bEA,y£A,x—)，eA},

则集合B的元素个数为.

(2)若含有3个实数的集合既可表示成,1},又可表示成{序，，+40},则

^2026卜62026=

思维建模1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是数集、点集，还是

其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件，从而准确把握集合的含义.

2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验

集合中的元素是否满足互异性.

训练1(1)(2025•银川、昆明联考)已知集合4={-1,0,1},B={x\x=mnt

〃£A},则集合8的真子集个数是()

A.4B.7

C.8D.15

(2)(2025•北京西城区调研)已知集合4={%||%—1|<3},3={Hd-3x-10v0},若於

A,且则。的取值范围是()

A.(-2,4)B.(4,5)

C.[4,5]D.[4,5)

考点二集合间的基本关系

例2(1)(2024•江门联考)设历={小=4左一3,k£Z\,N={#=24一1,kGZ},则

()

A.MNNB.NEM

C.M=ND.MCN=0

(2)(2025・大连模拟)设集合4={小一5=0},8="加-1=0},若则实

数a的值为.

思维建模1.若应分B=。和两种情况讨论.

2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区

间端点间的关系，进而求得参数范围.注意合理利用数轴、Venn图帮助分析及对

参数进行讨论.求得参数后，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解.

训练2(1)(2025♦北京人大附中检测)已知集合U={-1,0,1,2},A={-1,0,

I),B=(0,I,2},则{-1}G()

A.CMB.Ct-B

C.(Cb'A)nBD.[u(AUB)

⑵设集合4={x|—lWi+lW6},8={X|〃2—14V2〃?+1},当时，集合A的

非空真子集的个数为;当8GA时，实数机的取值范围是_______.

考点三集合的运算

例3(1)(2024•北京卷)已知集合Af={x|-3<x<l},N={x|—IWx<4},则MUN=

()

A.{x|—1^x<\]B.{x|x>—3)

C.(x|—3<r<4)D.[x|x<4}

⑵(2024•全国甲卷)已知集合从={1,2,3,4,5,9),8={。皿金川,则[AG4n4)

=()

A.{1,4,9)B.{3,4,9|

C.{1,2,3)D.{2,3,5)

⑶已知集合4={x|)，=ln(l—f)},B={x\x^a],且([RA)U5=R,则实数〃的取

值范围为()

A.(l,+8)B.[l,4-oo)

C.(-8,1)D.(—8,1]

思维建模1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究

其关系并进行运算.

2.对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示;

如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况.

训练3(1)(2024・新高考I卷)已知集合4=3—5<好<5},3={-3,-1,0,2,

3},则ACIB=()

A.{-|,0)B.{2,3}

C.{-3,-1,0}D.{-1,0,2}

(2)(2025•聊城质检)已知全集U=R,集合A={小3)>0},B={x|k)g2a—1)<2},

则图中阴影部分所表示的集合为()

三

A.{x|3Wx<5}B.{川OWxW3}

C.{X|1<¥<3}D.3VW3}

(3)已知集合A,3满足A={H>1},B={x\x<a~\],若An§=。，则实数。的取

值范围为()

A.(—8,1]B.(—8,2]

C.[l,+8)D.[2,+8)

考点四集合的新定义问题

例4(多选)(2025・开封联考)当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这

两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两

个集合构成"偏食”.对于集合A={-2,0»1，，B—{A|(OV-l>(x+a)=0},

若A与3构成“全食”或“偏食”，则实数。的取值可以是()

A.-2B.—

C.OD.1

思维建模解决集合新定义问题的关键

解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题

目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆.

训练4(2025・广州调研诺集合4=33«—81一34)),8=｛小＞1｝，定义集合人一

且依3｝,则4-8=.

教考衔接

1.教材母题(人教A必修一P35T11)学校举办运动会时，高一(1)班共有28名同学

参加比赛，有15人参加