2026-2027学年苏科版七年级数学上册单元练习 第4章 一元一次方程

第4章一元一次方程

一、基础巩固

1.下列式子中，方程的个数是（）

①3x3+1=5x2；@（y-2）2>0；©3x+1=5y；④7%-1=卜+4；⑤x+y+z；

A.2B.3C.4D.5

2.下列结论中成立的是（）

A.若ac=be,贝Ila=bB.若m>n,贝！J—m>—n

C.若3a=4b,则5=*D.若m>几，则沸i>/I

3.程大位《直指算法统宗》：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几

丁.意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完.试

问大、小和尚各多少人？设大和尚有x人，依题意列方程得（）

A.+3(100-x)=100B.^-3(100-%)=100

100-x

C.=100D.=100

3%+-3-3、-华

4.如果方程1=3-2%与关于x的方程2=二产的解相同，则a的值是（）

A.1B.3C.7D.±

5.如图是一个运算程序，当输入x=30时，输出结果是147；当输入％=10时，输出结果是232.如

果输入的x是正整数，输出结果是132,那么满足条件的x的值最多有（）

输入x—►计算5x—3的值—xC>7o^>»输出结果

Hr

A.5个B.4个C.3个D.2个

6.一家商店将某种服装按成本吩提高40%后标价，乂以8折优惠售出，售价为112元，则这种服装

的成本价是多少元？（）

A.80元B.100元C.112元D.140元

7.根据力的3倍与5y的和是2”列出方程是..

孚

①11.My③2a1④正W9

-=-+---+

一3-

8.下列关于x的方程:X3x.5o:Lvb2

⑥:+5=*其中，整式方程有

9.若2”T+3=4是关于％的一元一次方程，则a的值.

10.某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉需要配2个螺

母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，则有名工人生产螺钉.

11.如图，已知甲、乙两张长方形纸条等宽，且它们的长分别为a,3若将甲纸条的《与乙纸条的看

叠合在一起，会形成一张长为54的纸条，则a+8=.

12.解方程：

(1)x—1=2(%+1)：

//>\Sx—713x—1

(2)~6~=14~'

13.一家商店将某种服装按成本提高40%后标价，又以八折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种

服装每件的成本是多少元？

分析：设这种服装每件的成本价为％元.依题意可得

利闻③-元

(1)请你依据分析，在横线上填写代数式;

(2)请你求出这种服装的成本单价.

14.圆圆和城城去某商场搞周年庆促销活动，活动方案如下:

一次购物总金额优惠措施

少于等于400元不优惠

超过400,但不超过600元按总售价打9折

超过600元其中600元部分打8折优惠，超过600元部分打七五折优惠

按上述优惠条件，圆圆一次性购买50()多元的某些商品，付款总额为495元.(1)则园园购买商

品原总价为:(2)城城让她别着急付款，花相同的钱，我们还可以选一些其他商品，则其

他商品的金额为.

二、拓展提升

15.如图所示，将一1、2、一3、4、一5、6、一7、8分别填入图中的圆圈内，使图中横、竖以及内

外两圈上的4个数字之和都相等，则图中a+b的值为()

-7

A.一6或一3B.-8或1C.-1或一4D.1或一1

16.春节来临之际，某花店老板购进大量的康乃馨、百合、玫瑰，打算采用三种不同方式搭配成花

束，分别取名为“眷恋”、“永恒”、"守候三种花束的每一束成本分别为a元、b元和c元.已知销售

每束“眷恋”的利润率为10%,每束“永恒”的利润率为20%,每束“守候”的利润率为30%,当售出的三

种花束数量之比为2:3:4时，老板得到的总利润率为25%；当售出的三种花束数量之比为3:2:1时，

老板得到的总利润率为20%,则a:b:c为()

A.1:2:3B.1:3:4C.2:3:5D.3:4:5

17.在3x3的方格中填入一些数，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样

便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”(如图1)，是世界上最早的幻方，图2的九宫格

仅呈现部分的数或代数式，贝广*''处的数可用含九的代数式表示为.

图2

18.已知关于y的方程燮=号的解比关于X的方程3a-x=\+3的解小3,求a的值.

19.我们规定：若关于x的一元一次方程ax二b的解为x=b+a,则称该方程为“和解方程”.例如：方程

2x=-4的解为x=2,而-2=4+2,则方程2x=-4为“和解方程”.

请根据上述规定解答下列问题：

(1)下列关于x的一元一次方程属于“和解方程”的是(填序号).

①卜二=-2

(2)已知关于x的一元一次方程2(x+2)=-m是“和解方程”,求m的值.

(3)若关于x的一元一次方程3x=mn+m和-3x=mn+n都是“和解方程”，求代数式5-4m+4n的值.

三、创新思维

20.如图，数轴上点4衣示数a,点3衣示数b,且a、b满足|a+2|+(匕-4产=0.点P为数轴上一动

点，其对应的数为邛.

AOB

-4-3-2-1012345

(I)点力表示的数为;点8表示的数为；若点P为线段力B的中点，则点P对应

的数;

(2)点P在移动的过程中，其到点力、点B的距离之和为8,求此时点P对应的数不；

(3)对于数轴上的三点，给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍关系

时，则称该点是其他两个点的“2倍点”.如图，原点。是点4B的“2倍点”.现在，点4、点B分别以

每秒4个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点尸以每秒3个单位长度的速度从

表示数5的点向左运动.设出发ts后，点P恰好是点48的“2倍点”，靖直接写出此时的t值.

答案解析部分

1.【答案】A

【知识点】方程的定义及分类

【蟀析】【解答】解：根据方程的定义进行判断：

①式中不含有未知数，故不满足方程的定义，①式不是方程；

②式中不是等式，故不满足方程的定义，②式不是方程；

③式含有等式，也有未知数，故满足方程的定义，③式是方程；

④式含有等式，也有未知数，故满足方程的定义，④式是方程；

⑤式没有等号，不满足方程的定义，故⑤式不是方程，

所以方程的个数为2,

故答案为：A.

【分析】结合方程的定义：含有未知数的等式叫方程，对每个式进行判断即可.

2.【答案】D

【知识点】等式的基本性质；偶次方的非负性；不等式的性质

3.【答案】C

【知识点】根据数量关系列方程

【解析】【解答】解:设大和尚有x人，则小和尚有(100-％)人,

根据题意得：3x+吗==100;

故答案为：C.

【分析】设大和尚有x人，则小和尚有(100-x)人，则大和尚分的馒头为3x,小和尚分的馒头为

黑3,然后根据分100个馒头就可列出方程.

4.【答案】C

【知识点】估计方程的解

5.【答案】D

【知识点】解一元一次方程；求代数式的值•程序框图

【解析】【解答】解:由题意知，5-3=132,

解得尤=27,

若5x—3=27,解得x=6,

若5%-3=6,解得x=2,

・•・满足条件的工的值最多有2个.

故选：D.

【分析】根据程序图示列方程解答即可.

6.【答案】B

【知识点】一元一次方程的实际应用•盈亏问题

【薛析】【解答】解：设这种服装的成本价为x元。

按成本价提高40%后的标价为：xx(1+40%)=1.4x。

以8折优惠售出,即标价乘以0.8,得到售价：1.4xx0.8=1.12x。

已知售价为112元，所以有方程：I.12x=112。

解得：x=112-r1.12=100o

综上，这种服装的成本价是100元，

故答案为：Bo

【分析】明确各个价格之间的逻辑关系：成本价提高40%得到标价，标价打8折得到最终售价。

设成本价为未知数，根据价格变化的步骤，列出对应的方程。解方程即可求出成本价。

7.【答案】3x+5y=2

【知识点】根据数量关系列方程

【解析］【解答】解：根据题意得3x+5y=2.

故答案为：3x+5y=2.

【分析】利用x的3倍，可表示出3x,根据其和为2,可得到关于x,y的方程.

8.【答案】②③④⑥

【知识点】方程的定义及分类

【解析】【解答】解：②■_5=0,@ax2=1+l,④31=号，⑥升＞绑J分母中不含未

知数，是整式方程：①!和⑤等-里袈分母中含未知数，是分式方程.

x3xxx+3

故答案为：②③④⑥.

【分析】根据整式方程的定义“分母中不含未知数的方程是整式方程''逐一判断即可.

9.【答案】2

【知识点】一元一次方程的概念

【解析】【解答】解：•・•方程+3=4是关于x的一元一次方程，

「・Q—1=1,

解得a=2.

故答案为：2.

【分析】本题考查一元一次方程的定义，一元一次方程的核心特征是“只含一个未知数，且未知数的

最高次数为1，系数不为0”。方程2%。一1+3=4中未知数为%,因此未知数的指数需等

于1,解方程a-l=l即可求出a的值。

10.【答案】10

【知识点】一元一次方程的实际应用-配套问题

【解析】【解答】解：设分配x名工人生产螺母，则(22-%)人生产螺钉，

由题意得：2000%=2X1200(22一x),

解得：x=12,

则22-310,

故答案为：10.

【分析】设分配x名工人生产螺母，贝1」(22-外人生产螺钉，则x名工人每大生产螺母的数量为

2000x个，(22-x)名工人每天生产螺钉的数量为1200(22-x)个.由“一个螺钉配两个螺母”可知螺母的

个数是螺钉个数的2倍，据此歹J出方程求解即可.

11.【答案】66

【知识点】比例的性质：-元一次方程的实际应用-几何问题；求代数式的值-直接代入求值

【解析】【解答】解：由题意可知，重叠部分为：=

设重叠部分的长度为匕则Q=3k,8="，

重叠后的总长度为：a-k+(b-k)+k=54,即a+b-k=54,

代入Q=3/C,8=浜得：3左+暴一女=54，

解得k=12,

••・a+b=54+k=54+12=66.

故答案为：66.

【分析】本题考查一元一次方程的应用，关键是利用重叠部分长度相等建立关系。由题意可知，甲

纸条的我乙纸条的看长度相等，设重叠部分长度为匕则a=3k、b=^k;重叠后纸条的总长度为

a-k+b-k+k=54,化简得Q+b-k=54；将Q=3k、b=暴代入该等式，解方程求出k的

值，再代入。+8=54+左计算即可。

12.【答案】(1)解：x-1=2(%+1)

去括号，得；x—1=2x4-2.

移项，得：x-2x=2+l.

合并同类项，得：一%=3.

系数化为1,得：x=-3

(2)解：器=1-3无一1

O4

去分母，得：2(5x-7)=12-3(3x-l).

去括号，得：10%-14=12-9%+3.

移项，得：10%+9%=12+3+14.

合并同类项，得：19%=29.

系数化为1,得：“篙

【知识点】解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程

【解析】【分析】

(1)依次去括号、移项、合并同类项、系数化为1,即可解方程;

(2)依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为I,即可解方程.

(1)解：%—1=2(%+1)

去括号，得：%—1=2x4-2.

移项，得：x-2x=2+1.

合并同类项，得：—％=3.

系数化为1,得：x=-3

(2)解：亨=1一苧

去分母，得：2(5x-7)=12-3(3x-l).

去括号，得：10%-14=12-9%+3.

移项，得：10x+9x=12+3+14.

合并同类项，得：19%=29.

系数化为1,得：“篙

13.【答案】(1)①1.4%；@1.12%;③0.12%

(2)解：根据题意可得0.12%=15,

解得：x=125元,

即这种服装每件的成本是125元.

【知识点】整式的加减运算；一元一次方程的实际应用-盈亏问题；合并同类项法则及应用；折扣问题

【解析】【解答】（1）解：按成本提高40%后标价，则标价为x+40%x=1.4x元，

八折优惠卖出，则售价为1.4“80%=1.12%元,

利润=1.12%—x=0.12x76,

故答案为：（1）①1.4%；（2）1.12%；③0.12%；

【分析】（1）根据条件分别求出成本提高40%后标价为l.4x元、八折优惠卖出对应的售价为1.12

元，最后依据“利润=售价-成本''列式计算即可；

（2）结合条件”每件仍获利15元”以及（1）的计算结果，列式0.12%=15,解方程即可.

（1）解：根据题意可得，标价为％+40%x=1.4%元，

售价为1.4"80%=1.12%元，

利润为1.12x—x=0.12%元，

故答案为：①1.轨；②1.12%；③0.12%；

（2）解：根据题意可得0.12%=15,

解得：x=125元，

答：这种服装每件的成本是125元.

14.【答案】550；70

【知识点】一元一次方程的实际应用-方案选择问题

【解析】【解答】解：设园园购买商品原总价为x元，圆圆一次性购买500多元的某些商品，

所以400VXV600时，0.9%=495,解得，x=550,

当600时,600x0.8+0.75（%-600）=495,解得，x=620,

620-550=70（元），

故答案为：550,70.

【分析】

第1空：由于付款金额超过400元，则实际支付金额是购物总金额的90%；

第2空：购物总金额超出600元，故应分两部分计算，先计算600元的折扣，再计算超出600部分

金额的折扣，再求和即可.

15.【答案】A

【知识点】根据数量关系列方程；幻方、幻圆数学问题

【解析】【解答】解：如图，设内圈上的数为c,外圈上的数为d,

-7

•・•横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，一1十2-3十4一5十6—7+8=4,

・•・内、外两圈上的4个数字的和是2,横、竖的4个数字的和也是2,

Ab=2-（-7+6+8）=-5,力+c=2—（6+4）=-8,a+d=2—（-7+8）=1,

/.b=—5,c=-3,a+d=1,

当a=-1时，d=2,符合题意，此时a+b=—1—5=—6；

当a=2时，d=-1,符合题意，此时a+匕=2—5=—3；

综上所述，图中a+b的值为-6或一3.

故选：A.

【分析】设内圈上的数为c,外圈上的数为d,得到内、外两圈上的4个数字的和，横、竖的4个

数字的和是2列等式解答即可.

16.【答案】A

【知识点】等式的基本性质；一元一次方程的实际应用•销售问题

【解析】【解答】解：三种花束的每一束成本分别为。元、b元和c元，

则三种花束的每一束利润分别为10%a元，20%b元，30%c元，

当售出的三种花束数量之比为2:3:4时，设三种花束的数量分别为2m,3m,4m,

27nxi0%a+3mx20%2+4mx30%c

根据题意得:x100%=25%,

a2m+b-3m+c-4m

整理得：0.3Q+0.15b-0.2c=0,

当售出的三种花束数量之比为3:2:1时，设三种花束的数量分别为3m2n,n,

3nxl0%a4-2nx20%b4-nx30%c

根据题意:=20%,

a-3n+b-2n+C'n

整理得：0.3a—0.1c=0,贝！J：c=3a»

将c=3a代入0.3a+0.15b—0.2c=0得：0.3Q+0.15b—0.6a=0,贝ij：b=2a,

/.a:b:c=a:2a:3a=1:2:3.

故答案为：A.

【分析】根据利润、成本价及利率三者之间的关系得三种花束的每一束利润分别为10%a元，20%b

元，30%c元；然后根据每束花的利润乘以销售数量等于总利润及销售三种花束的利润之和除以三种

花束的进价之和等于销售三种花束的总利润率建立等式，进行整理可得0.3a+0.15b-0.2c=0,

0.3a-0.1c=0,求解分别用含a的式子表示出b、c,即可求出a、b、c的比值.

17.【答案】"pl

【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题；幻方、幻圆数学问题

【解析】【解答】解：设右下角的格子为m,如图所示：

任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等,

司+m=9+11,

Am=20—0,

*/2+n=11+m,

••3+几=11+20-团，

故答案为：竽.

【分析】利用幻方的核心性质：任意一行、i列及两条对角线上的数字之和都相等。

设处的数为X,通过幻方的行列和相等关系，建立方程。

消去中间变量，推导出x与n的关系式，最终得到X="尹。

18.【答案】解：解华二号得：y=5a

解3a-x=5+3得：x=2a-2

由题意得：2a-2-5a=3

解得：a=-1

【知识点】一元一次方程的解.；解含分数系数的一元一次方程

【解析】【分析】将a作为常数，先分别解出两个方程的解，然后根据题意列出关于a的一元一次方

程并解答即可.

19.【答案】（1）②

(2)解：V2(x+2)=-m,

..X4-2=—q.

,mo

•,x=一彳一2,

V2(x+2)=-m即2%=-4-m是“和解方程”,

m

.・.21-4—771=—2—Q2,

Am=0：

(3)解：*/3x=mn+m,

Ar=1(mn+7n),

而3x=mn+m是“和解方程”,

:.3+mn+m=1(mn+m),

mn十nt=­£，(①式)

V-3x=mn+九,

••x=-1(mn+n),

而一3x=nm+九是“和解方程”,

-34-mn4-n=(mn+n),

mn+n=?,(②式)，

99

----24-7

由①-②得：m—n=24

/.5—4m4-4n=5—4（m—n）=5—4x（—，）=5+27=32

【知识点】解一元一次方程；利用整式的混合运算化简求值

【解析】【解答】解：（1）①:爻=一2的解是x=-1,

,»*-1H4+（1}=0，

・•・①不是“和解方程”；

②—3x=X的解是％=—率

39

-3+-

44

，②是“和解方程”;

③5x=-2的解是“一，

2

•.•一髀-2+5=3,

・•・③不是“和解方程”；

故答案为：（2）

【分析】（1）根据“和解方程’'的定义对①②③逐一判断，进而即可求解：

（2）先根据题意解一元一次方程得到x=-号-2,进而根据“和解方程”的定义得到2-4-巾=

-y-2,从而解一元一次方程即可求解；

（3）先根据“和解方程”的定义得到mn+m=-劣，mn+n=p进而相减即可得到m-n=-奈-

*=_弓，从而根据整式的混合运算即可得到5-4m+4几=5-4（6-九）,再代入即可求解。

20.【答案】（1）-2；4；1

（2）解：根据题意，分三种情况讨论：

当町V—2时，PA+PB=8,则（-2—%p）+（4-%p）=8»解得孙=—3；

当一244工4时，PA+PB=4-（-2）=6,不存在这样的犯；

当孙＞4时，PA+PB=8,则孙一（-2）+（孙-4）=8,解得孙=5：

综上所述，此时点P对应的数孙是-3或5.

（3）£的值为京或课或尚

3JLvO

【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题：有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离：分类讨

论

【解析】【解答】（1）解：数轴上点A表示数Q,点8表示数b,且Q、b满足|a+2|+（6-4）2=0,

••・Q+2=0,且b-4=0,解得a=-2,匕=4,

二点/表示的数为-2；点B表示的数为4；

•••点P为线段A8的中点，

•・•点P对应的数为二号二1,

故答案为：—2,4,I；

（3）解：设出发£S后，A表示的数是一2+4£、8表示的数是4+£、P表示的数是5-33根据题意，

分情况讨论：

（1）当4、B、P位置如图所示:

ABP

------1--------1--------1------>

则AP=（5-3t）-（-2+4£）=7—7t>BP=（5—3£）—（4+£）=1—43

由点P是点4B的“2倍点”，数形结合得P4=2PB,即7-7亡=2（1-4t）,解得「二一5（负值，不

合题意，舍去）；

（2）当力、B、P位置如图所示：

APB

------1------1------1-------->

则AP=（5-3t）-（-2+4。=7-7亡、8P=（4+亡）一（5-3t）=-1+43

由点P是点儿B的“2倍点”，数形结合，分两种情况：

@PA=2PBf即7-7t=2（-l+4t）,解得t=,

@2PA=PBf即2（7—7£）=-1+43解得”垓；

（3）当4、B、P位置如图所示：

PAB

-----1------1------1--------->

则AP=（-24-4t）一（5-3t）=-7+7£、8P=（4+t）-（5-3t）=-14-4t,

由点P是点48的“2倍点”，数形结合得2PA=P8,即2（-7+7£）=—1+43解得£=弟

（4）当力、8、P位置如图所示：

PBA

-----1--------1---------1——>

则AP=（-2+4£）—（5—3t）=-7+7£、8P=（4+£）—（5—3£）=-1+43

由点P是点4B的“2倍点”，数形结合得P4=2P8,即一7+7£=2（-1+4。，解得亡=一5（负值,

不合题意，舍去）；

综上所述，亡的值为。或需或需.

【分析】（1）先利用非负数之和为。的性质求出a、b的值，再利用线段中点的性质求出点P对应的

数即可；

（2）分类讨论：①当孙V—2时，②当一24孙44时，③当冷>4时，再分别列出方程求解即

可；

（3）分类讨论，先画出图形并利用“2倍角”的定义分别列出方程求解即口J.

(1)解：数轴上点/!表示数a,点8表示数匕，且a、力满足|a+2|+(b-4产=0,

•,•«+2=0,且b-4=0,解