【圆锥曲线概念教学概述5200字】

(一)圆锥曲线概念的历史发展程中的两个方程：x²=ay,y²=2ax而柏拉图学派的梅内克缪斯是研究满足上述代数性质的第一人，他指出通过这些一步研究了圆锥曲线的性质。关于圆锥曲线的定义，他是这样引入的：他利用三种圆锥(直角的、锐角的和钝角的圆锥),再用垂直于锥面一母线的平面来割每个圆锥面，从而得到椭圆、抛物线和双曲线的一支(当时他们只知道双曲线的一个支)[26]。阿波罗尼斯是第一个依据同一个(正的或斜的)圆锥的截面来搞圆锥曲线理论的与底圆相较于ST,且ST垂直BC或BC的延长线的平面截圆锥后所得的曲线分别定义义：用一个平面去截一个圆锥面，得到的交线就称为圆锥曲线。所以，在《圆锥曲线截面与圆锥的位置关系决定了截面的形状，假设锥面的半顶角为截面与圆锥的轴所成的角为截面不经过圆锥面的顶点，截线为圆；当截线为椭圆；截面是抛物线。如古希腊后期的数学家帕普斯(Pappus,公元3世纪末)在他的《数学汇编》中证明了椭圆、双曲线和抛物线的焦点-准线性质：到一定点(焦点)及定直线(准线)的17世纪，笛卡尔《几何学》中对圆锥曲线方程的研究导致人们对圆锥曲线画法的探求。荷兰数学家舒滕给出了椭圆的三种作图工具，其中就包括我们今天教材给出的拉线作图。法国数学家洛必达在《圆锥曲线分析》中抛弃了古希腊人的定义方法，将椭圆定义为平面上到两定点距离之和等于常数的动点轨迹(第一定义),并据此推导椭(二)课程标准《课标》将“圆锥曲线与方程”安排在选择性必修课程“几何与代数”这一主题中，这一主题都是运用代数方法研究几何问题。在这一主题下的平面解析几何单元的学习中，学生通过建立平面直角坐标系，先后研究直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线的几何特征，导出它们相应的标准方程；运用代数方法进一步认识圆锥曲线的性质以及它们的位置关系；运用平面解析几何方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟平《课标》中关于“圆锥曲线与方程”具体的要求如下：(1)了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。(2)经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义及标准方程。(3)了解抛物线与双曲线的定义、几何图形和标准方程。(4)通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想。(5)了解椭圆、抛物线的简单应用。《课标》依据高中数学课程理念，给出了教学建议：在引入圆锥曲线及具体的教学时，应通过丰富的现实生活实例(如：通过行星运行轨道、抛物线运行轨迹等)使学生了解圆锥曲线的背景与应用；进而，结合情境清晰地描述圆锥曲线的几何特征与问题(如椭圆是到两个定点的距离之和为定长的动点的轨迹等);再结合具体问题合理地建立坐标系，用代数语言描述这些特征与问题；最后，借助圆锥曲线的特点，形成解决问题的思路。应充分发挥信息技术的作用，通过计算机软件向学生演示方程中参【说明】椭圆的内容要求“理解”;双曲线的内容只作“了解”;抛物线的内容要(三)教材的内容分析第一节是曲线与方程，在这一节中不仅介绍了曲线的方程，方程曲线的概念，而且简单介绍了解析几何的基本思想(用代数方法研究几何问题)、基本方法(坐标法),本节对本章内容起到了统领作用，后面对三种圆锥曲线的研究正是第一节中介绍的研第二三四节分别研究了椭圆、双曲线、抛物线这三种圆锥曲线。每一节都分两小节的内容，前一小节主要学习圆锥曲线的定义和标准方程；后一小节主要学习圆锥曲线的几何性质，并通过典型例题渗透直线与圆锥曲线相交所得弦的长度、确定圆锥曲图1基本知识结构图图1基本知识结构图1.2椭圆概念课的教学重点、难点分析从已有研究中总结有关椭圆概念课的教学重、难点，主要表现在：(1)(1)课标要求《课标》对本节课内容的要求是：经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭(2)教材分析包括例题习题的设置顺序和数量都是编者精心撰写的，所以，这是判断教学重难点的置分析教材。以人教A版的教材为例，有很多探究与思考环节，大多都是对知识的再表1维度知识体系与内打下了基础。探究与思目Q1:拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线?Q2:在这一过程中，你能说出移动的笔尖(动点)满足的几何条件吗?Q3:观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程简单?Q4:观察图2.2-3,你能从中找出表示a,c,√a²-b²的线段吗?Q5:如图，如果焦点F₁,F₂在y轴上，且F₁,F₂的坐标分别为(0,-c),(0,c),a,b的意义同上，那么椭圆的方程是什么?例习题的设置从例习题数目和类型来看，本节中共有14题。其中考查椭圆的定义的题目有3道，考查求解标准方程的题目有9道，对“标准方程”这一重点的考查占到一半以上。(3)学情分析学生已经学习了直线与圆的方程，对曲线和方程的思想方法有了一些了解和运用的经验，对坐标法研究几何问题也有了初步的认识。但由于学生学习解析几何时间还不长、学习程度也较浅，在学习过程中难免会有些困难。由于学生对运用坐标法解决几何问题掌握还不够，因此从研究圆到椭圆，学生思维上会存在障碍。如：日常生活中，学生对椭圆的大致形状已经有了一定的感性认识。但并不清楚椭圆上的点满足的几何特征。对于带根式的方程的化简是学生感到困难的，学生之前在初中代数中很少难点可以确定为：掌握椭圆定义及标准方程，理解坐标法的基本思想；椭圆定义的导1.3双曲线概念课的教学重点、难点(1)课标要求(2)教材分析维度知识体系与内容安排知识体系：双曲线是在学生学习了直线、圆和椭圆的基础上进一步研究学习的，也为后面的抛物线及其标准方程做准内容安排：拉线作图法引出双曲线的轨迹→第一定义→建立坐标系→标准方程探究与思考栏目Q1:我们知道，与两个定点距离的和为非零常数(大于两定点间的距离)的点的轨迹是椭圆。那么,与两定点距离的差为非零常数的点的轨迹是什么?Q3:类比椭圆标准方程的建立过程，你能说说应怎样选择坐标建立双曲线的标准方程吗?Q5:类比焦点在y轴上的椭圆标准方程，如图，双曲线的焦点分别么?【说明】从上述设置来看，总共有五个问题，其中有两个是针对双曲线的定义设计的思考栏目，有三个是针对双曲线的标准方程设计的。由此可以看出教材的重点是双曲线的定义以及双曲线的标准方程。例习题的设置从例习题数目和类型来看，本节中共有12题。其中考查椭圆的定义的题目有2道，考查求解标准方程的题目有6道，对“标准方程”【说明】分析教材后，易得到对双曲线标准方程的理解与掌握是本(3)学生学情分析能对含有两个根式的方程进行化简，对数形结合的思想、类比推理的思想方法有一定的体会。能力方面：学生已经具备了一定的学习基础和分析问题、解决问题的能力，根据以上对课程标准、教材以及学生学情的分析，本节课的教学重难点可以确定1.4抛物线概念课的教学重点、难点分析(1)课标要求(2)教材分析接下来我们将从内容安排、概念的呈现方式、探究与思考栏目以及例习题的设置维度知识体系与内容安排再次体验数形结合的数学思想在数学学习中的应用。线的轨迹→定义→建立坐标系→标准方程栏目Q1:用《几何画板》画图，拖到点H,观察现点M满足的几何条件吗?Q2:比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程Q3:在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系我们同的形式?Q4:你能说明二次函数y=ax²(a≠0)的图象为什么是抛物线吗?指出它的焦点坐标、准线方程。例习题的设置定义的题目有4道，考查标准方程的题目有10道，有7道是考查(3)学情分析在知识上：学生是在高一学习过直线与圆等解析几何初步的内容之后再次学习解析几何的相关内容，同时刚刚学习了椭圆、双曲线的定义和标准方程，对于曲线与方程的对应关系有了一定的认识，但由于抛物线涉及的是到一个点与一条直线的距离相等的点的轨迹