北师大版数学 第05讲 解题技巧专题：利用勾股定理解决折叠问题(6类热点题型讲练) 同步练习 含答案

第05讲难点探究专题：利用勾股定理解决折叠问题(6类热点题型讲练)目录TOC\o"1-3"\h\u【模型一长方形中折痕过对角线模型】 1【模型二长方形中折痕过一顶点模型】 5【模型三长方形中折痕过任意两点模型】 16【模型四直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型】 21【模型五直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型】 25【模型六直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型】 29【模型一长方形中折痕过对角线模型】【模型解读】沿着长方形的对角线所在直线进行翻折。已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’.结论1：≌；结论2：折痕AC垂直平方BB’；结论3：AEC是等腰三角形。例题：（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图所示，把一张长方形纸片沿对角线折叠，若，求的长．【变式训练】1．如图，在长方形ABCD中，，将△ABD沿对角线BD对折，得到△EBD，DE与BC交于F，，则（

）A． B．3 C． D．62．如图，长方形ABCD中，，，如果将该长方形沿对角线BD折叠，使点C落在点F处，那么图中阴影部分的面积是______．3．如图，在长方形纸片中，，.把长方形纸片沿直线折叠，点落在点处，交于点，则的长为（）A． B． C． D．4．（22-23八年级上·江苏徐州·期中）如图，长方形中，，，．点为上的一个动点，把沿直线翻折得．

(1)当点落在边上时，(2)如图2，当E点与C点重合时，与交点，求长．【模型二长方形中折痕过一顶点模型】【模型解读】沿着长方形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’.折在矩形内结论1：≌；结论2：折痕AC垂直平方BB’。折在矩形边上结论1：≌；结论2：折痕AC垂直平方BB’。折在矩形外结论1：四边形≌四边形；结论2：折痕AC垂直平方BB’；结论3：AEF是等腰三角形。例题：（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，长方形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且．(1)求的长；(2)求的长．【变式训练】1．（23-24八年级上·山东济南·期中）如图，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D点落在对角线上处，若，则的长为（）A． B．3 C．1 D．2．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，将长方形沿折叠，点D恰好落在边的F点上，已知，，则．3．（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图所示，有一张长方形纸片，，．现折叠该纸片使得边与对角线重合，折痕为，点落在处，求．4．（23-24八年级下·重庆万州·期末）如图，在矩形中，，点E为线段的中点，连接，点F在边上，连接，将沿翻折得到，点G在线段上，则的长为．5．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，长方形纸片，，点P在边上，将沿折叠，点C落在E处，，分别交于点O，F，且，则长为．6．（23-24八年级下·湖北恩施·阶段练习）如图，长方形中，，，为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点，且．(1)求证：；(2)求的长．7．（23-24八年级下·山东淄博·期中）在四边形中，．(1)若P为边上一点，如图①将沿直线翻折至的位置，当点B落在边上点E处时，求的长；(2)如图②，点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点D恰好落在直线上的点处，求的长．8．（23-24八年级下·江西赣州·阶段练习）一数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用，如图，将一张长方形纸片放在平面直角坐标系中，点A与原点O重合，顶点B、D分别在x轴、y轴上，，，P为边上一动点，连接，将沿折叠，点C落在点处．(1)如图1，连接，当点在线段上时，求点P的坐标．(2)如图2，当点P与点D重合时，沿将折叠得，与x轴交于点E，求的面积．(3)是否存在点P，使得点到长方形的两条较长边的距离之比为？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【模型三长方形中折痕过任意两点模型】【模型解读】沿着长方形边上的任意两点所在直线进行翻折。已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’.折在矩形内结论1：≌；结论2：折痕EF垂直平方BB’。折在矩形边上结论1：四边形≌四边形；结论2：折痕AC垂直平方BB’。折在矩形外结论1：四边形≌四边形；结论2：折痕AC垂直平方BB’；结论3：GC’F是直角三角形。例题：（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，长方形纸片中，，，将此长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点的位置，折痕为，则的长度为(

)A．6 B．10 C．24 D．48【变式训练】1．（23-24八年级下·江西赣州·期中）如图，将长方形纸片沿折叠，使顶点C恰好落在边的中点上．若，，求的长．2．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，求的面积．

3．（23-24八年级上·广东深圳·阶段练习）如图，长方形中，边，．将此长方形沿折叠，使点与点重合，点落在点处．

(1)证明；(2)求的面积．4．（22-23八年级上·广东揭阳·期末）如图，把一张长方形纸片折叠起来，为折痕，使其对角顶点与重合，与重合．若长方形的长为，宽为．

(1)求的长；(2)求的长；(3)求阴影部分的面积．【模型四直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型】【模型解读】（1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD；（2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD；（3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。例题：（23-24八年级下·湖北十堰·阶段练习）如图，有一块的纸片，，，，将沿折叠，使点落在上的处，连接，则的长为（

）A． B． C． D．【变式训练】1．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使得点B恰好落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（

）A． B． C． D．2．（22-23八年级下·江西南昌·期中）如图，在等腰直角三角形中，，，点P是边上任意一点，连接，将沿翻折，点B的对应点为，当有一边与垂直时，的长为．3．（23-24八年级下·江西南昌·期中）如图是一张直角三角形纸片，，，．(1)在图1中，将直角边沿折叠，使点落在斜边上的点处，求的长；(2)在图2中，将沿折叠，使点与点重合，求的长．【模型五直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型】【模型解读】（1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合；（2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O.（3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD.例题：（23-24八年级下·河南安阳·期末）如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为．则的长是（

）

A． B． C． D．【变式训练】1．（23-24八年级下·四川广安·期中）如图，在直角坐标系中，C点在线段上，D点在线段上，将沿直线折叠后，B点与A重合，则点C坐标是．2．（23-24八年级下·河南漯河·阶段练习）如图，在中，，，．将按如图所示的方式折叠，使B，C两点重合，折痕为．求的长．3．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图、为一块直角三角形纸片，．【问题初探】：直角三角形纸片的对折问题，可以通过全等变换把所求线段转化成直角三角形的边，进而通过勾股定理来解决，体现数学中的转化思想．（1）如图1，现将纸片沿直线折叠，使直角边落在斜边上，的对应点为，若，求的长．【学以致用】（2）如图2，若将直角沿折叠，点与中点重合，点分别在，上，则之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．【模型六直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型】【模型解读】（1）沿直线MN翻折，使得点C落在点D处，连结CD.（2）沿直线DE翻折使得点C与边AB上的点F重合；例题：在中，，将沿直线折叠，使B落在的三等分点处，求的长．【变式训练】1．（2024·山东滨州·三模）如图，在中，，，．将折叠，使点落在的中点处，折痕为，则线段的长为（

）A． B． C．5 D．42．（23-24八年级下·广东中山·期中）如图，在中，，，，将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边于点，交边于点，则的长为（

）A．3 B．4 C． D．3．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，，点D、E分别在、上．现将沿翻折，使点C落在点处．连接，则长度的最小值．（）A．等于3cm B．等于4cm C．等于5cm D．不存在4．（23-24八年级下·重庆·期中）如图，已知为等腰直角三角形，，点E为上一点，且，点D为边上一点，连接，将沿折叠得到，若的延长线恰好经过点B，则．5．（23-24八年级下·贵州遵义·阶段练习）在中，，，，分别是斜边和直角边上的点．把沿着直线折叠，顶点的对应点是点．(1)如图1，若点和顶点重合，求的长；(2)如图2，若点落在直角边的中点上，求的长．

第05讲难点探究专题：利用勾股定理解决折叠问题(6类热点题型讲练)目录TOC\o"1-3"\h\u【模型一长方形中折痕过对角线模型】 1【模型二长方形中折痕过一顶点模型】 5【模型三长方形中折痕过任意两点模型】 16【模型四直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型】 21【模型五直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型】 25【模型六直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型】 29【模型一长方形中折痕过对角线模型】【模型解读】沿着长方形的对角线所在直线进行翻折。已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’.结论1：≌；结论2：折痕AC垂直平方BB’；结论3：AEC是等腰三角形。例题：（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图所示，把一张长方形纸片沿对角线折叠，若，求的长．【答案】3【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，等角对等边，由平行线的性质和折叠的性质证明，则，设，则，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案．【详解】解：∵一张长方形纸片沿对角线折叠，∴，∴，∴，∴，设，则，在中，由勾股定理得∴，解得，∴．【变式训练】1．如图，在长方形ABCD中，，将△ABD沿对角线BD对折，得到△EBD，DE与BC交于F，，则（

）A． B．3 C． D．6【答案】A【分析】根据折叠的性质，可知BF=DF=-EF，在Rt中，由勾股定理得：，由此即可求得EF值．【详解】解：∵，，∴AD=，，由折叠可知，AB=BE=6，AD=ED=，，，∵，∴∠BDF=∠DBF∴BF=DF=-EF，∴在Rt中，由勾股定理得：，∴，解得：EF=，故选：A．【点睛】本题主要考查的是勾股定理的应用，灵活利用折叠进行发掘条件是解题的关键．2．如图，长方形ABCD中，，，如果将该长方形沿对角线BD折叠，使点C落在点F处，那么图中阴影部分的面积是______．【答案】【分析】要求阴影部分的面积就要先求得它的底和高，这个三角形的高就是，，由此关系就可利用勾股定理求出AE及EF的长，从而求三角形的面积．【详解】解：四边形ABCD是矩形，，，，，由折叠的性质，可得，，，，，设，则，，即，解得，．故答案为．【点睛】此题考查翻折变换的性质，解题的关键是利用勾股定理求三角形的底和高，从而求三角形的面积．3．如图，在长方形纸片中，，.把长方形纸片沿直线折叠，点落在点处，交于点，则的长为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知条件可证△CFE≌△AFD，得到DF=EF,利用折叠知AE=AB=8cm，设AF=xcm，则DF=(8-x)cm，在Rt△AFD中，利用勾股定理即可求得x的值.【解析】∵四边形ABCD是长方形，∴∠B=∠D=900，BC=AD,由翻折得AE=AB=8m，∠E=∠B=900,CE=BC=AD又∵∠CFE=∠AFD∴△CFE≌△AFD∴EF=DF设AF=xcm，则DF=（8-x）cm在Rt△AFD中，AF2=DF2+AD2,AD=6cm，故选择A.【点睛】此题是翻折问题，利用勾股定理求线段的长度.4．（22-23八年级上·江苏徐州·期中）如图，长方形中，，，．点为上的一个动点，把沿直线翻折得．

(1)当点落在边上时，(2)如图2，当E点与C点重合时，与交点，求长．【答案】(1)45(2)【分析】（1）由知，结合点落在边上知，从而得出答案；（2）由折叠得出，再由得出，从而得知，可得，设，则，在中，由得到关于的方程，解之可得．【详解】（1）解：由题意知，，点落在边上时，，，故答案为：45；（2）如图2，由题意知，四边形是长方形，，，，，设，则，在中，由得：，解得，即．【点睛】此题是四边形的综合问题，考查翻折的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，掌握翻折的性质，和勾股定理是解决问题的关键．【模型二长方形中折痕过一顶点模型】【模型解读】沿着长方形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’.折在矩形内结论1：≌；结论2：折痕AC垂直平方BB’。折在矩形边上结论1：≌；结论2：折痕AC垂直平方BB’。折在矩形外结论1：四边形≌四边形；结论2：折痕AC垂直平方BB’；结论3：AEF是等腰三角形。例题：（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，长方形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且．(1)求的长；(2)求的长．【答案】(1)(2)【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，掌握折叠的性质，利用勾股定理进行求解，是解题的关键．（1）根据折叠的性质，得到，进而得到，利用勾股定理进行求解即可；（2）根据折叠的性质，得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可．【详解】（1）解：∵长方形纸片中，，折叠纸片使边与对角线重合，∴，∴，，∴；（2）∵折叠，∴，设，则：，在中，，∴，∴，∴．【变式训练】1．（23-24八年级上·山东济南·期中）如图，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D点落在对角线上处，若，则的长为（）A． B．3 C．1 D．【答案】B【分析】本题考查矩形的折叠，勾股定理，熟练掌握运用勾股定理解决长方形的折叠是解题的关键．首先利用勾股定理计算出的长，再根据折叠可得，设，则，再根据勾股定理可得方程，再解方程即可．【详解】∵，∴，∴根据勾股定理得，根据折叠可得：，∴，设，则，在中：，即，解得：，故答案为：B．2．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，将长方形沿折叠，点D恰好落在边的F点上，已知，，则．【答案】10【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，根据折叠的性质得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，即可得出答案．【详解】解：根据折叠的性质，，长方形中，设，则，在中，由勾股定理得：，即，解得：，∴，故答案为：10．3．（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图所示，有一张长方形纸片，，．现折叠该纸片使得边与对角线重合，折痕为，点落在处，求．【答案】3【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题；先利用勾股定理求出，然后根据折叠的性质得到，，，求出，然后在中，利用勾股定理构建方程，即可求出．【详解】解：∵，，，∴，由折叠得：，，，∴，，在中，，∴，∴，故答案为：3．4．（23-24八年级下·重庆万州·期末）如图，在矩形中，，点E为线段的中点，连接，点F在边上，连接，将沿翻折得到，点G在线段上，则的长为．【答案】【分析】本题考查勾股定理，翻折定义．根据题意可得，，得出，因为，所以，连接，设，即可得到答案．【详解】解：连接，∵，，∴，，，连接，设，可得方程：，代入数值可得：，解得，∴，故答案为：．5．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，长方形纸片，，点P在边上，将沿折叠，点C落在E处，，分别交于点O，F，且，则长为．【答案】/【分析】折叠，得到，证明，得到，进而得到，设，在中，利用勾股定理进行求解，进而求出的长．【详解】解：∵长方形纸片，∴，∵折叠，∴，∵，，∴，∴，∴，即：，∴，设，则：，，∴，在，，即：，解得：，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了折叠，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，解题时常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．6．（23-24八年级下·湖北恩施·阶段练习）如图，长方形中，，，为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点，且．(1)求证：；(2)求的长．【答案】(1)见解析(2)．【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，解题的关键是灵活运用这些性质．（1）根据折叠的性质可得，，，结合，可证明，得到，；（2）推出，设，则，，推出，在中，根据勾股定理即可求解．【详解】（1）证明：四边形是长方形，，，，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点，，在和中，，，，；（2）解：∵，，即，，设，则，，，，在中，根据勾股定理得：，即，解得：，．7．（23-24八年级下·山东淄博·期中）在四边形中，．(1)若P为边上一点，如图①将沿直线翻折至的位置，当点B落在边上点E处时，求的长；(2)如图②，点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点D恰好落在直线上的点处，求的长．【答案】(1)5(2)或【分析】本题主要考查图形折叠的性质和勾股定理：（1）设，则，根据图形折叠的性质可知，，根据勾股定理即可求得答案；（2）分两种情况计算：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时．【详解】（1）解：设，则．根据图形折叠的性质可知，．在中，．则．在中，，即．解得．即；（2）解：①如图所示，当点在线段上时．设，则．根据图形折叠的性质可知，，．在中．则．在中，即解得．即．②如图所示，当点在线段的延长线上时．根据图形折叠的性质可知．∵，∴．∴．∴．在中．∴．综上所述，或．8．（23-24八年级下·江西赣州·阶段练习）一数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用，如图，将一张长方形纸片放在平面直角坐标系中，点A与原点O重合，顶点B、D分别在x轴、y轴上，，，P为边上一动点，连接，将沿折叠，点C落在点处．(1)如图1，连接，当点在线段上时，求点P的坐标．(2)如图2，当点P与点D重合时，沿将折叠得，与x轴交于点E，求的面积．(3)是否存在点P，使得点到长方形的两条较长边的距离之比为？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)点P的坐标为(2)(3)点P的坐标为或【分析】此题考查了勾股定理与折叠问题，坐标与图形，解题的关键是根据题意分情况讨论．（1）首先根据勾股定理求出，然后根据折叠的性质得到，，，设，则，在中，利用勾股定理得到，求出，得到，进而可求出点P的坐标；（2）首先根据平行线的性质和折叠的性质得到，设，则，在中，根据勾股定理求出，得到，然后利用三角形面积公式求解即可；（3）过点C作交于点E，交于点F，根据题意得到，然后分两种情况讨论：和，分别根据勾股定理求解即可．【详解】（1）∵，，∴∵将沿折叠，点C落在点处∴，，∴设，则∴在中，∴解得∴∴∴点P的坐标为；（2）∵∴∵沿将折叠得，∴∴∴设，则∴在中，∴解得∴∴的面积；（3）如图所示，过点C作交于点E，交于点F，∵，∴∴四边形是长方形∴当时，∴，由折叠得，∴∴∴设，则∴在中，∴解得∴∴∴点P的坐标为；当时，∴，由折叠得，∴∴∴设，则∴在中，∴解得∴∴∴点P的坐标为；综上所述，点P的坐标为或．【模型三长方形中折痕过任意两点模型】【模型解读】沿着长方形边上的任意两点所在直线进行翻折。已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’.折在矩形内结论1：≌；结论2：折痕EF垂直平方BB’。折在矩形边上结论1：四边形≌四边形；结论2：折痕AC垂直平方BB’。折在矩形外结论1：四边形≌四边形；结论2：折痕AC垂直平方BB’；结论3：GC’F是直角三角形。例题：（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，长方形纸片中，，，将此长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点的位置，折痕为，则的长度为(

)A．6 B．10 C．24 D．48【答案】B【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题；由折叠可知，设利用勾股定理进行分析计算即可．【详解】解：由折叠可知，设由勾股定理可得，即，解得，，故选：B．【变式训练】1．（23-24八年级下·江西赣州·期中）如图，将长方形纸片沿折叠，使顶点C恰好落在边的中点上．若，，求的长．【答案】【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，由折叠的性质得到，设，则，由线段中点的定义得到，再由勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．【详解】解：由折叠的性质可得，设，则，∵是边的中点，∴，由长方形的性质可得，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴．2．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，求的面积．

【答案】【分析】过点作于点，由四边形是长方形和折叠知，再用平行线的性质和勾股定理即可求解．【详解】解：过点作于点，

过点作于点，四边形是长方形四边形是矩形设，由折叠知，，在中，解得，，，又，，，∴的面积为【点睛】此题考查了折叠的性质、长方形的性质以及勾股定理，解题的关键是掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想与方程思想的应用．3．（23-24八年级上·广东深圳·阶段练习）如图，长方形中，边，．将此长方形沿折叠，使点与点重合，点落在点处．

(1)证明；(2)求的面积．【答案】(1)见解析(2)10【分析】（1）根据同角的余角相等，可得，通过即可证明，可得结论；（2）设，则，在中，利用勾股定理列出方程，即可解决问题．【详解】（1）解：证明：四边形是长方形，，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，点落在点处，，，，，，，，在和中，，，；（2）设，则，在中，由勾股定理得，，解得，，，的面积为．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，运用勾股定理列方程是解题的关键．4．（22-23八年级上·广东揭阳·期末）如图，把一张长方形纸片折叠起来，为折痕，使其对角顶点与重合，与重合．若长方形的长为，宽为．

(1)求的长；(2)求的长；(3)求阴影部分的面积．【答案】(1)(2)(3)阴影部分的面积为【分析】（1）由折叠可知，设，则，在中，根据，求出的长即可；（2）过点作于，在中，由勾股定理的长，在中，由勾股定理即可得出答案；（3）过点作于，根据三角形面积不变性，，求出的长，根据三角形面积求出结果即可．【详解】（1）解：由折叠可知．设，则在中，，，

解得：，；（2）过点作于，则，在中，，由勾股定理：，即．，，

，

（3）过点作于，，，，

，，

．【点睛】本题主要考查了折的性质、勾股定理以及三角形面积不变性，灵活运用折叠的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理是解题的关键．【模型四直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型】【模型解读】（1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD；（2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD；（3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。例题：（23-24八年级下·湖北十堰·阶段练习）如图，有一块的纸片，，，，将沿折叠，使点落在上的处，连接，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查勾股定理，折叠的性质，解题关键在于求得的长.由题意可得，，由勾股定理即可求得的长，则可得的长，然后设，则，由勾股定理，即可得方程，解方程即可求得答案．【详解】解：点是沿折叠，点的对应点，连接，，，在中，，，，，，设，则，在中，，即：，解得：，．故选：A．【变式训练】1．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使得点B恰好落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查勾股定理，折叠的性质，先根据勾股定理求出，设，根据折叠前后对应边相等得出，，再用勾股定理解即可．【详解】解：，，，，设，则，由折叠的性质可得，，，在中，由勾股定理得，，解得，，故选B．2．（22-23八年级下·江西南昌·期中）如图，在等腰直角三角形中，，，点P是边上任意一点，连接，将沿翻折，点B的对应点为，当有一边与垂直时，的长为．【答案】或1或2【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，分三种情况讨论，当时，当时，当时，利用勾股定理建立方程求解即可．【详解】解：当时，如图，在等腰直角三角形中，，，∴，，设，则，，∵将沿翻折，∴，，∴，即，解得；∴当时，如图，此时，；当时，如图，此时，点A，B，在同一直线上，；综上，当有一边与垂直时，的长为或1或2．故答案为：或1或2．3．（23-24八年级下·江西南昌·期中）如图是一张直角三角形纸片，，，．(1)在图1中，将直角边沿折叠，使点落在斜边上的点处，求的长；(2)在图2中，将沿折叠，使点与点重合，求的长．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查的是翻折变换以及勾股定理的应用；熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解题的关键．（1）由勾股定理可得，由折叠可知，，，设，则，，在中，根据，列出方程即可求解；（2）由折叠知，设，则，在中，根据，列出方程即可求解．【详解】（1）解：在中，，，．由题意知，，．．设，则，．在中，，．解得．．（2）由题意知，设，则．在中，，．解得．．【模型五直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型】【模型解读】（1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合；（2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O.（3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD.例题：（23-24八年级下·河南安阳·期末）如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为．则的长是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查的是图形翻折变换的性质及勾股定理，先设，再根据图形翻折变换的性质得出，再根据勾股定理求出的值．【详解】解：设，则，是翻折而成，，在中，，即，解得．故选：C．【变式训练】1．（23-24八年级下·四川广安·期中）如图，在直角坐标系中，C点在线段上，D点在线段上，将沿直线折叠后，B点与A重合，则点C坐标是．【答案】【分析】本题考查勾股定理的折叠问题，设，由折叠可知，，在中，根据列出方程求解是解决问题的关键．【详解】解：设，则，由折叠可知，，在中，，即：，解得：，即，∴点坐标是，故答案为：．2．（23-24八年级下·河南漯河·阶段练习）如图，在中，，，．将按如图所示的方式折叠，使B，C两点重合，折痕为．求的长．【答案】【分析】本题考查的是勾股定理和图形折叠的性质，在中由于，，，所以根据勾股定理可求出的长，由折叠可知，，设，则在中，由即可求出x的值，故可得出结论．【详解】解：在中由于，，，由勾股定理得：，∵由折叠可知，，设，则．在中，，即，解得，∴．3．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图、为一块直角三角形纸片，．【问题初探】：直角三角形纸片的对折问题，可以通过全等变换把所求线段转化成直角三角形的边，进而通过勾股定理来解决，体现数学中的转化思想．（1）如图1，现将纸片沿直线折叠，使直角边落在斜边上，的对应点为，若，求的长．【学以致用】（2）如图2，若将直角沿折叠，点与中点重合，点分别在，上，则之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．【答案】（1），（2），理由见解析．【分析】本题考查了翻折的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，掌握相关性质是解题的关键．（1）先求出，由由翻折的性质可得，，再进一步得到即可求解．（2）过点作交延长线于点，连接，先证明，得到，进一步即可得到．【详解】（1）解：在中，，由翻折的性质可知：，，∵，∴，∴，又∵，∴，∴．（2），理由如下：过点作交延长线于点，连接，如图：∴，在和中，，∴，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，∴．【模型六直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型】【模型解读】（1）沿直线MN翻折，使得点C落在点D处，连结CD.（2）沿直线DE翻折使得点C与边AB上的点F重合；例题：在中，，将沿直线折叠，使B落在的三等分点处，求的长．【答