北师大版数学 第1章 勾股定理（拔高卷） 同步练习 含答案

2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷第一章勾股定理（拔高卷）时间：120分钟满分：120分单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.请从A、B、C、D四个选项中选出你认为的正确的选项）1．若a，b，c为一组勾股数，则下列各组数中仍为勾股数的是（

）A．a， B． C． D．2．“勾股定理”被称为“千古第一定理”，其证明的方法多种多样．中国汉代数学家在注释《周髀算经》时给出一个图形，后来人们称它为“赵爽弦图”．这个图形是（

）A． B． C． D．3．下列说法中正确的是（）A．已知，，分别是直角三角形的三边长，则必有B．直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方C．在中，若，边、、的长分别是，，，则D．在中，若，，，分别是，，的对边，则4．如图，一棵大树在离地面两处折断成了三段，中间一段恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部处，则大树折断前的高度是（

）A． B． C． D．5．在如图所示的“赵爽弦图”中，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的大正方形，分别以点为圆心，长为半径作弧，若，，则图中阴影部分的面积为（）A． B． C．D．6．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题，一根竹子高10尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，根据题意，可列方程为（

）A． B．C． D．7．如图，四边形中，于点，若，则等于（

）A．15 B．16 C．17 D．208．如图，在中，，现将进行折叠，使顶点重合，则折痕的长为（

）A． B． C． D．5cm9．一只的铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒内部底面直径是，内壁高，那么这根铅笔需在笔筒外的部分长度h的范围是（

）A． B． C． D．10．如图，长方体的长、宽分别为和，高为，若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为（

）A． B． C． D．11．如图，，点为边上的两点，且，连结，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个12．《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．已知在矩形中，是对角线，则有，即，，满足勾股定理；类比矩形的性质，如图，是长方体，若长方体的面，面，面的面积分别为，，，则，，的数量关系为（

）A． B．C． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．如图，中，，现将△ABC翻折，使点和点重合，折痕分别交、于点、，那么．14．在学习勾股数的知识时，爱思考的小琦发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中：a68101214…b815243548…c1017263750…当时，的值为．15．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作．书中有个关于门和竹竿的问题：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高几何？译文：现有一扇门，不知道门的高度和门的宽度是多少，现有一支竹竿，不知竹竿的长短是多少．横着放竹竿比门宽多出4尺，竖着放竹竿比门高多出2尺，斜着放恰好与门的对角线一样长，如图．设门的对角线长为尺，可列方程为．16．数学思想·分类讨论已知：如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为．（1）求边的长．（2）当为直角三角形时，t的值．三、解答题（本大题共9小题，共98分，作答时需要写出必要的步骤或演绎过程）17．（10分）如图，在△ABC中，，平分交于点，过点作于点．(1)求证：；(2)当，，求的长．18．（10分）如图，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，，，．(1)求证：；(2)若，的周长为12，求的面积．19．（10分）某条东西走向的公路上，按规定小汽车的行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在这条公路上由东向西匀速行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方的C处，过了后，测得小汽车在B处与车速检测仪A之间的距离为．这辆小汽车超速了吗？请通过计算说明理由．20．（10分）如图，在中，，平分交于点，点为上一点，，连接．(1)求证：；(2)若，，求的长．21．（10分）数学兴趣小组发现，系在旗杆顶端B的绳子垂到地面时多出了3米，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点A处（如图所示），测得绳子底端A与旗杆根部C之间的距离为9米．(1)求旗杆的高度；(2)珍珍在绳子底端又接上了长5米的绳子（接头处忽略不计），把绳子拉直，若要拼接后绳子的底端恰好接触地面的点D处，求珍珍应从A处向东走多少米？22．（12分）如图①，同学们想测量旗杆的高度h（单位：），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明应用勾股定理提出这个问题的解决方案如下：①测量出绳子垂直落地后还剩余；②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部，如图②．(1)请你按小明的方案求出旗杆的高度h．(2)小亮先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图③所示的点D处（）．已知小亮举起绳结离旗杆远，求此时绳结离地面的距离．23．（12分）如图，在长方形中，．(1)如图①，将长方形沿翻折，使点与点重合，点落在点处，求的长；(2)如图②，将沿翻折，若交于点，求的长；(3)如图③，为边上的一点，将沿翻折得到分别交边于点，且，求的长．24．（12分）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），由此推导出直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则．

(1)如图②，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理．(2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求原路长多少千米？25．（12分）“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形．【模型呈现】（1）如图1，在等腰直角△ABC中，，，过点作直线，于点，于点，请直接写出、与之间的数量关系；【模型应用】（2）如图2，在等腰直角△ABC中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，．①求的长；②如图3，延长，交于点，求的长度．

2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷第一章勾股定理（拔高卷）时间：120分钟满分：120分单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.请从A、B、C、D四个选项中选出你认为的正确的选项）1．若a，b，c为一组勾股数，则下列各组数中仍为勾股数的是（

）A．a， B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．根据勾股数的定义，若原数满足，则各选项需验证是否满足类似关系．【详解】解：原勾股数满足．若每个数均乘以2，得到，则：，等式成立，故仍为勾股数，故选项C成立，符合题意；A：．例如，原勾股数代入后为，但，不成立；B：．以代入得，但，不成立；D：．以代入得，但，不成立；故选：C．2．“勾股定理”被称为“千古第一定理”，其证明的方法多种多样．中国汉代数学家在注释《周髀算经》时给出一个图形，后来人们称它为“赵爽弦图”．这个图形是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查“赵爽弦图”的图形特征，对选项中的图形进行判断．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成的大正方形图案．【详解】解：A、是由四个直角三角形组成的大正方形，但直角三角形的排列方式与“赵爽弦图”不符；B、是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成的大正方形，符合“赵爽弦图”的特征；C、是由正方形和三角形组成的图形，不符合“赵爽弦图”的特征；D、是由三角形组成的大三角形，不符合“赵爽弦图”的特征；故选：B．3．下列说法中正确的是（）A．已知，，分别是直角三角形的三边长，则必有B．直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方C．在中，若，边、、的长分别是，，，则D．在中，若，，，分别是，，的对边，则【答案】D【分析】本题考查了勾股定理的运用，勾股定理的内容：在直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，在运用的时候一定要分清楚直角边和斜边，掌握勾股定理的运用是解本题的关键．根据勾股定理逐项求解判断即可．【详解】解：A、无法确定、、哪条是斜边，故无法确定，此说法错误；B、直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，此说法错误；C、由，故是斜边，则，此说法错误；D、由，可得是斜边，故，此说法正确．故选：D．4．如图，一棵大树在离地面两处折断成了三段，中间一段恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部处，则大树折断前的高度是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了勾股定理和矩形性质的应用，通过构造直角三角形并利用勾股定理求解斜边长度，进而计算大树折断前的高度，解题的关键在于准确识别和应用几何图形的性质，特别是利用矩形对边相等及勾股定理进行线段长度的计算．通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求出折断部分的长度，再加上未折断部分的长度得到大树折断前的高度。【详解】解：过点B作于点E，则，，，四边形是矩形，，，，在中，，，大树折断前的高度为．故选：D．5．在如图所示的“赵爽弦图”中，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的大正方形，分别以点为圆心，长为半径作弧，若，，则图中阴影部分的面积为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用全等直角三角形的性质，得出线段之间的数量关系，求出小正方形边长，再分别计算扇形面积和小正方形中相关三角形（或直接小正方形）面积，通过面积和差求出阴影部分面积．本题主要考查赵爽弦图的性质、扇形面积公式，熟练掌握全等三角形对应边关系求小正方形边长，以及利用“扇形面积和-重叠部分面积（小正方形）”计算阴影面积是解题关键．【详解】解：根据题意可得，小正方形的边长．∴故选：．6．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题，一根竹子高10尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，根据题意，可列方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．设折断处离地面的高度为x尺，根据勾股定理列出方程即可．【详解】解：设折断处离地面的高度为x尺，根据题意可得：故选：A．7．如图，四边形中，于点，若，则等于（

）A．15 B．16 C．17 D．20【答案】C【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由得到，再利用勾股定理即可求解．【详解】解：∵，∴，∴，，，，∵，∴，∴的值为17故选：C．8．如图，在中，，现将进行折叠，使顶点重合，则折痕的长为（

）A． B． C． D．5cm【答案】C【分析】本题考查了勾股定理的应用，折叠性质，先根据勾股定理求出的长，再由折叠性质得到，，设，则，，再根据勾股定理列式计算即可．【详解】解：，，，，．由折叠的性质可得，．设，则，．在中，，，解得，即，，．故选C．9．一只的铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒内部底面直径是，内壁高，那么这根铅笔需在笔筒外的部分长度h的范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，首先根据问题的条件可得到当铅笔与笔筒底垂直时x最大，此时x最大值为铅笔的高减去笔筒内壁的高；分析可知，当铅笔如图放置时h最小，在中，运用勾股定理即可得到答案．【详解】解：当铅笔与笔筒底垂直时x最大，．当铅笔如图放置时x最小．在中，，∴，∴．∴x的取值范围：.故选：B．10．如图，长方体的长、宽分别为和，高为，若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查的是勾股定理的应用，正确画出长方体侧面展开图是解题的关键．根据题意先画出长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短，通过勾股定理计算即可．【详解】解：长方体的侧面展开图如图所示，由题意得，(cm)，(cm)．在Rt中，由勾股定理得，解得：cm(负值已舍去)故选：．11．如图，，点为边上的两点，且，连结，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理．熟练掌握全等三角形的判定与性质、勾股定理是解题的关键．利用已知条件证明三角形全等从而得出边和角的关系是解题的关键，再利用三角形的性质判断各个结论的正确性即可．【详解】解：，，，在与中，，，故①正确；，，，，在与中，，，，，在中，，，故③正确；，，，，在中，，，，故④正确；由题干条件无法证明出，综上所述，其中正确的有①③④，共3个．故选C．12．《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．已知在矩形中，是对角线，则有，即，，满足勾股定理；类比矩形的性质，如图，是长方体，若长方体的面，面，面的面积分别为，，，则，，的数量关系为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题主要考查勾股定理的应用，分别计算出面，面，面的面积，求出它们的平方即可得出结论．【详解】解：在长方体中，设∴，∴面的面积，面的面积；面的面积，∴，∴，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．如图，中，，现将△ABC翻折，使点和点重合，折痕分别交、于点、，那么．【答案】【分析】设，则，根据勾股定理，得，解答即可．本题考查了勾股定理，折叠的性质，解方程，熟练掌握定理和折叠的性质是解题的关键．【详解】解：根据折叠的性质，得，设，则，根据勾股定理，得，解得，故答案为：．14．在学习勾股数的知识时，爱思考的小琦发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中：a68101214…b815243548…c1017263750…当时，的值为．【答案】162【分析】本题考查了勾股数，关键是注意观察表格中的数据，确定、、的数量关系．根据表格中数据确定、、的关系，然后再代入求出、的值进而可得答案．【详解】解：根据表格中数据可得：，并且，则，当时，，解得，则，则．故答案为：162．15．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作．书中有个关于门和竹竿的问题：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高几何？译文：现有一扇门，不知道门的高度和门的宽度是多少，现有一支竹竿，不知竹竿的长短是多少．横着放竹竿比门宽多出4尺，竖着放竹竿比门高多出2尺，斜着放恰好与门的对角线一样长，如图．设门的对角线长为尺，可列方程为．【答案】【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意是解题的关键．先求出门高和门宽，再根据勾股定理列方程即可．【详解】解：根据题意可知，门高为尺，门宽为尺，由勾股定理，得．故答案为：．16．数学思想·分类讨论已知：如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为．（1）求边的长．（2）当为直角三角形时，t的值．【答案】2或【分析】本题考查了勾股定理，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解．（1）在中，利用勾股定理求解即可得；（2）先求出，再分①当，②当两种情况，利用勾股定理求解即可得．【详解】解：（1）在中，，由勾股定理得，故答案为：；（2）由题意知：．①当时，如图1，，点P与点C重合，，∴；②当时，如图2，，，．在中，，在中，，∴，解得．综上所述，当为直角三角形时，t的值为2或，故答案为：2或．三、解答题（本大题共9小题，共98分，作答时需要写出必要的步骤或演绎过程）17．（10分）如图，在△ABC中，，平分交于点，过点作于点．(1)求证：；(2)当，，求的长．【答案】(1)见详解(2)6【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，勾股定理．（1）利用角平分线的性质得出，然后利用证明三角形全等即可．（2）设，则，，，利用勾股定理先求出的长，进而求出的长，然后再利用勾股定理列出关于x的方程，解方程即可求出答案．【详解】（1）证明：∵平分交于点，∴，∵，∴，在和中，，∴．（2）设，由（1）可知，∴，，，∵在△ABC中，，∴，即或（舍），∴，∵在中，，根据勾股定理，，即，解得，即．18．（10分）如图，和均为等腰直角三角形，，，．(1)求证：；(2)若，的周长为12，求的面积．【答案】(1)见解析(2)面积为【分析】本题考查了全等三角形和勾股定理，要熟练掌握全等三角形的判定条件（“”、“、”“”、“”和“”），以及勾股定理（斜边长的平方等于两条直角边平方的和），（1）通过旋转全等模型，结合判定条件“”得到，因此，对应边相等，即可得证．（2）利用勾股定理求解，由第（1）问，可知，得到为直角三角形，然后，结合题目给出周长和一条直角边的长，即可在中，利用勾股定理构建方程，求得另一条直角边长度，进而得到面积．【详解】（1）解：证明：依据题意可知，，，，．在和中，，．．（2）由（）可知，，，，为直角三角形，周长为，且，由勾股定理可知，，代入周长和边长得：，解得：．．19．（10分）某条东西走向的公路上，按规定小汽车的行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在这条公路上由东向西匀速行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方的C处，过了后，测得小汽车在B处与车速检测仪A之间的距离为．这辆小汽车超速了吗？请通过计算说明理由．【答案】这辆小汽车超速了，理由见解析【分析】根据勾股定理，求得，计算出速度，与限速比较解答即可．本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．【详解】在中，，根据勾股定理，得，所以．因为小汽车行驶了，所以它的速度为．因为，且，所以这辆小汽车超速了．20．（10分）如图，在中，，平分交于点，点为上一点，，连接．(1)求证：；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，证明是解题的关键．（1）利用证明得到，则由勾股定理可证明结论；（2）由全等三角形的性质得到，由勾股定理可得，设，则，由勾股定理可得，解方程即可得到答案．【详解】（1））证明：平分，∴，又∵，，∴，，；（2）解：，．在中，由勾股定理可得，设，则，在中，由勾股定理可得，∴．解得，即的长为．21．（10分）数学兴趣小组发现，系在旗杆顶端B的绳子垂到地面时多出了3米，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点A处（如图所示），测得绳子底端A与旗杆根部C之间的距离为9米．(1)求旗杆的高度；(2)珍珍在绳子底端又接上了长5米的绳子（接头处忽略不计），把绳子拉直，若要拼接后绳子的底端恰好接触地面的点D处，求珍珍应从A处向东走多少米？【答案】(1)12米(2)7米【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题．（1）设旗杆的高度为x米，则绳子的长为米，根据勾股定理列方程求解即可；（2）先根据勾股定理求出，即可得解．【详解】（1）解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长为米，由题意知：米，，在中，，，解得：，答：旗杆的高度12米；（2）解：由（1）知，米，则米，米，米，答：珍珍应从A处向东走7米．22．（12分）如图①，同学们想测量旗杆的高度h（单位：），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明应用勾股定理提出这个问题的解决方案如下：①测量出绳子垂直落地后还剩余；②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部，如图②．(1)请你按小明的方案求出旗杆的高度h．(2)小亮先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图③所示的点D处（）．已知小亮举起绳结离旗杆远，求此时绳结离地面的距离．【答案】(1)旗杆的高度为(2)【分析】（1）由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答；（2）由题可知，．在中根据勾股定理列出方程，求出，进而求解即可．【详解】（1）解：旗杆的高度为，则绳子的长度为．在中，由勾股定理，得，解得．故旗杆的高度为m．（2）由题意可知，．在中，由勾股定理，得，解得，所以，所以．23．（12分）如图，在长方形中，．(1)如图①，将长方形沿翻折，使点与点重合，点落在点处，求的长；(2)如图②，将沿翻折，若交于点，求的长；(3)如图③，为边上的一点，将沿翻折得到分别交边于点，且，求的长．【答案】(1)(2)(3)【分析】设，在中，根据，构建方程即可解决问题；首先证明，设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题；设，首先证明，推出，，由，推出，，，在中，可得，解方程即可解决问题；【详解】（1）解：根据折叠的性质，得．因为四边形是长方形，所以．设，则，在Rt中，因为，所以，解得，所以．（2）因为四边形是长方形，