北师大版数学 第1章 勾股定理（章节复习检测培优卷） 试卷 含答案

2025-2026学年北师大版数学八年级上册章节复习检测培优卷（新教材）第1章勾股定理检测时间：90分钟试题满分：100分难度系数：0.45班级：姓名：学号：一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上）1．（23-24七年级上·山东淄博·期中）如图，点P为Rt△ABC的边BC上一点，已知PC=5,AC=10，折线P→B→A与折线P→C→A的长度相等，则直角边BC的长为(

A．6.5 B．7 C．7.5 D．82．（22-23八年级上·山西临汾·阶段练习）下列各组数中，是勾股数的是（

）A．8，15，17 B．32，2，52 C．1，2，33．（17-18八年级下·全国·单元测试）下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（

）A． B． C．

D．4．（22-23八年级下·四川绵阳·期中）如图，矩形纸片ABCD中，AD=9，AB=3，将矩形折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（

）A．3 B．4 C．6 D．125．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，一只蚂蚁从圆柱体的下底面A点沿着侧面爬到上底面B点，已知圆柱的底面半径为5cm，高为20cm（π取3），则蚂蚁所走过的最短路径是（A．28 B．29 C．25 D．226．（21-22八年级下·广东河源·期末）如图，在△ACD中，AC=3，CD=4，CE⊥AD于点E，以AD为直径的半圆的面积为25π8，那么CE的长是（

A．2.4 B．4 C．5 D．27．（22-23八年级上·山东泰安·期末）如图，点P是等边△ABC内部一点，连接AP、BP、CP，且AP2=BP2+CP2，现将△APC绕点A顺时针旋转到△ADB的位置，对于下列结论：①A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．（21-22八年级上·广东深圳·阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为4，E为CD上的点，DE=1，将△ADE沿AE对折至△AEF，延长EF交BC于G．连接AG、CF．下列结论：①△ABG≅△AFG；②∠GAE=45°；③3BG=5CG；④S△CFG=144A．1 B．2 C．3 D．49．（20-21八年级上·河南开封·期末）若△ABC的三边长a、b、c满足a2+b2+A．等腰三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．钝角三角形10．（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，求EF的最小值为（

）A．5 B．4.8 C．2.4 D．4二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.）11．（24-25八年级下·吉林·期中）以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形A的边长为．12．（2024八年级上·江苏·专题练习）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且满足a−613．（24-25八年级上·辽宁辽阳·阶段练习）如图是楼梯的一部分，若AD=2，BE=1，AE=3，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为．14．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S415．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，BC=4cm，将△ABC折叠，使点C与A重合，得折痕DE，则BE的长等于16．（22-23八年级上·河南郑州·开学考试）在一个长14cm，宽8cm的长方形纸片上，如图放置一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且大于纸片的宽AD，它的底面边长为1cm的等边三角形，一只蚂蚁从点A处到点C处的最短路程是

17．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3．P是射线AB上一动点，将矩形ABCD沿着PD对折，点A的对应点为A′．当P，A′，C三点在同一直线上时，则AP的长18．（23-24八年级下·四川南充·期中）如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF；把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A′处，得到折痕BM，BM与EF相交于点N，若直线BA′交直线CD于点O，BC=5，EN=1，则三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.）19．（本题6分）（23-24八年级上·广东梅州·期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°,AC=5,BC=12，P是线段AB上的一个动点，求CP的最小值．20．（本题6分）（24-25八年级上·山西忻州·期中）如图，在△ABC中，CA=CB，D是BC上的一点，AB=10，BD=6，（本题8分）问题背景如图，在矩形ABCD中，AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2问题探究(1)若点P从点A沿AB向终点B移动，点Q从点C沿CD向点D移动，点Q随点P的停止而停止，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是10cm(2)若点P沿着AB→BC移动，点P从点A移动到点C停止，点Q从点C沿CD向点D移动点Q随点P的停止而停止，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm22．（本题8分）（23-24八年级下·河南新乡·期中）小区内有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE=0.6m，将它往前推送1.8m（水平距离BC=1.8m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF=1.2m23．（本题8分）（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB=90°．(1)尺规作图：在△ABC的BC边上找到点D，使得点D到AB的距离等于CD；（请用圆规和无刻度直尺作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)若AC=6，BC=8，求CD的长．24．（本题8分）（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图，在△ABC中，AB=13,BC=10，BE⊥AC于点E，点D是BC边的中点，AD=12．(1)求AC的长；(2)求BE的长．25．（本题10分）（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．某城市清理出了一块可以绿化的空地（阴影部分）．如图，已知AC=40m，BC=30m，BD=120m，AD=13026．（本题10分）（22-23八年级上·江苏宿迁·阶段练习）△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，连接(1)如图1，求证：①△ABD≌△ACE．②BD⊥EC(2)如图2，连接CD，若BD=13，CD=5，(3)如图3，取BD，CE的中点M，N，连接AM，

2025-2026学年北师大版数学八年级上册章节复习检测培优卷（新教材）第1章勾股定理检测时间：90分钟试题满分：100分难度系数：0.45班级：姓名：学号：一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上）1．（23-24七年级上·山东淄博·期中）如图，点P为Rt△ABC的边BC上一点，已知PC=5,AC=10，折线P→B→A与折线P→C→A的长度相等，则直角边BC的长为(

A．6.5 B．7 C．7.5 D．8【答案】C【思路引导】本题考查勾股定理，根据Rt△ABC，已知PC=5,AC=10，由折线P→B→A与折线P→C→A的长度相等，可以设PB为x，则AB为(15−x)，由勾股定理即可求得BC【规范解答】解：∵折线P→B→A与折线P→C→A的长度相等，PC=5,AC=10∴AC+PC=PB+AB=15，设PB为x，则AB为(15−x)，在Rt△ABC中，有A即5+x解得：x=2.5，故BC=BP+PC=7.5故选：C．2．（22-23八年级上·山西临汾·阶段练习）下列各组数中，是勾股数的是（

）A．8，15，17 B．32，2，52 C．1，2，3【答案】A【思路引导】根据勾股数的定义：勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，结合勾股定理逆定理，逐个进行判断即可．【规范解答】解：A、8，15，17∵82+15∴82∴A组数是勾股数，符合题意；B、32，2，∵32，5∴B组数不是勾股数，不符合题意；C、1，2，3∵2，3不是整数，∴C组数不是勾股数，不符合题意；D、4，5，6∵42+5∴D组数不是勾股数，不符合题意．故选：A．【点睛】本题主要考查了勾股数，解决问题的关键是熟练掌握勾股数的定义．3．（17-18八年级下·全国·单元测试）下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（

）A．B．C．

D．【答案】D【思路引导】对于选项A的图形，可以用两种方法分别表示出大正方形的面积，然后由两种表示法的面积相等进行证明；对于选项B的图形，可以用两种方法都表示中间正方形的面积，一种是直接表示正方形的面积，另一组是根据“中间正方形的面积=大正方形的面积−4个全等的直角三角形的面积”进行表示，再由两种表示法的面积相等，结合整式的运算证明勾股定理；接下来按照同样的方法，表示出选项C、D中图形的面积，进而得出结论．【规范解答】解：A、∵四个直角三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积，∴4×12ab+B、∵四个直角三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积，∴4×12ab+C、∵三个直角三角形的面积和=梯形的面积，∴2×12ab+D、不能证明勾股定理，故此选项符合题意，故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理计算与证明，熟练掌握勾股定理，根据图形的面积关系进行证明是解答本题的关键．4．（22-23八年级下·四川绵阳·期中）如图，矩形纸片ABCD中，AD=9，AB=3，将矩形折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（

）A．3 B．4 C．6 D．12【答案】C【思路引导】设AE=x，根据折叠可得DE=BE=9−x，在Rt△ABE中，根据勾股定理列方程，求出AE的长，进一步求△ABE【规范解答】解：设AE=x，在长方形ABCD中，AD=9，AB=3，∠A=90°，根据折叠，可得DE=BE=9−x，在Rt△ABE得x2解得x=4，∴AE=4，∴△ABE的面积为3×42故选：C．【点睛】本题考查了折叠问题，矩形的性质，三角形的面积，勾股定理等，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．5．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，一只蚂蚁从圆柱体的下底面A点沿着侧面爬到上底面B点，已知圆柱的底面半径为5cm，高为20cm（π取3），则蚂蚁所走过的最短路径是（A．28 B．29 C．25 D．22【答案】C【思路引导】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解．【规范解答】解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点A、B的最短距离为线段AB的长．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=20cm，AC为底面半圆弧长，所以AB=故选：C．【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答．6．（21-22八年级下·广东河源·期末）如图，在△ACD中，AC=3，CD=4，CE⊥AD于点E，以AD为直径的半圆的面积为25π8，那么CE的长是（

A．2.4 B．4 C．5 D．2【答案】A【思路引导】根据以AD为直径的半圆的面积为25π8，可求得AD=5，再由勾股定理的逆定理确定△ACD为直角三角形，然后借助△ACD【规范解答】解：根据题意，以AD为直径的半圆的面积为25π8则有12π(又∵AC=3，CD=4，∴AC∴△ACD为直角三角形，∵CE⊥AD，∴S△ACD即12×3×4=1故选：A．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理、半圆的面积等知识，利用勾股定理的逆定理证明△ACD为直角三角形是解题关键．7．（22-23八年级上·山东泰安·期末）如图，点P是等边△ABC内部一点，连接AP、BP、CP，且AP2=BP2+CP2，现将△APC绕点A顺时针旋转到△ADB的位置，对于下列结论：①A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【思路引导】由题意知旋转角∠DAP=∠BAC=60°，AD=AP，BD=CP，∠ABD=∠ACP，可得△ADP是等边三角形；由AP2=BP2+CP2知AP≠CP，可得【规范解答】解：由题意知旋转角∠DAP=∠BAC=60°，∴△ADP是等边三角形，故①正确；∴AD=AP=DP，∵AP∴AP≠CP，∴△ABP与△CBP不全等，故②错误；∵AP∴DP∴△BDP是直角三角形，∴∠DBP=90°，故③正确；∵∠ABD=∠ACP，∠DBP=90°，∴∠ACP+∠ABP=∠ABD+∠ABP=90°，∴∠BAP+∠CAP=∠BAC=60°，∴∠BDA+∠BPA=180°−∠ABP−∠BAP+180°−∠ACP−∠CAP=360°−90°−60°=210°，故④正确；综上，正确的有①③④．故选：C．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理的逆应用，三角形的内角和定理．解题的关键在于对知识的灵活运用．8．（21-22八年级上·广东深圳·阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为4，E为CD上的点，DE=1，将△ADE沿AE对折至△AEF，延长EF交BC于G．连接AG、CF．下列结论：①△ABG≅△AFG；②∠GAE=45°；③3BG=5CG；④S△CFG=144A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【思路引导】①正确，根据HL进行证明即可；②正确．利用全等三角形的性质解决问题即可；③错误，在Rt△EGC中，利用勾股定理求出BG，CG④正确，根据S△FGC【规范解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD=4，∠BAD=∠B=∠BCD=∠D=90°，由翻折可知：AF=AD，∠AFE=∠D=90°，∠DAE=∠FAE，∴AF=AB，∠AFG=∠B=90°，在Rt△ABG和RtAG=AGAB=AF∴Rt②∵Rt∴∠AGB=∠AGF，∵∠DAE=∠FAE，∠BAD=90°，∴∠EAG=∠EAF+∠FAG=1③∵Rt∴BG=FG，∵CD=4，DE=1，∴DE=EF=1，EC=3，在Rt△ECG中，CE=3，EG=EF+FG=1+BG，CG=BC−BG=4−BG根据勾股定理，得EG即(1+BG)2解得BG=12∴CG=4−12∴BG:CG=12∴2BG=3CG．故③错误．④∵CG=85，∴S△CEG又∵FG=BG=125，∴FG:EF=12∴S△FGC所以其中正确的是①②④，一共3个．故选：C．【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、翻折变换以及勾股定理等相关知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．9．（20-21八年级上·河南开封·期末）若△ABC的三边长a、b、c满足a2+b2+A．等腰三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．钝角三角形【答案】B【思路引导】先用完全平方公式进行因式分解求出a、b、c的值，再确定三角形的形状即可．【规范解答】解：a2移项得，a2a2(a−3)2a−3=0,b−4=0,c−5=0，a=3,b=4,c=5，a2a2△ABC是直角三角形，故选：B．【点睛】本题考查了运用完全平方公式因式分解，勾股定理逆定理，非负数的性质，解题关键是通过等式的变形，恰当的拆数配成完全平方，再根据非负数的性质求边长．10．（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，求EF的最小值为（

）A．5 B．4.8 C．2.4 D．4【答案】B【思路引导】本题考查勾股定理逆定理，垂线段最短，矩形的判定和性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识．连接PA，利用勾股定理逆定理推出∠BAC=90°，证明四边形AEPF为矩形，进而得到EF=PA，结合垂线段最短得到当PA⊥BC于点P时，PA最小，即EF最小，再结合等面积法求解，即可解题．【规范解答】解：连接PA，∵在△ABC中，AB=8，AC=6，BC=10，又∵62+8∴∠BAC=90°，∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴∠PFA=∠PEA=90°=∠BAC，∴四边形AEPF为矩形，∴EF=PA，当PA⊥BC于点P时，PA最小，即EF最小，有EF=PA=6×8故选：B．二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.）11．（24-25八年级下·吉林·期中）以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形A的边长为．【答案】6【思路引导】本题考查了勾股定理，根据勾股定理结合正方形的面积，即可求解．【规范解答】解：由题意可知，8+S那么SA所以正方形A的边长为14−8=故答案为：6．12．（2024八年级上·江苏·专题练习）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且满足a−6【答案】90°/90度【思路引导】先运用非负数性质求得a，b，c的值，再运用勾股定理的逆定理求得∠C=90°．此题考查了非负数的性质和勾股定理的逆定理的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行求解．【规范解答】解：∵a−62∴a−6=0,c−10=0,b−8=0，解得a=6,b=8,c=10，∴a2+b∴a2∴∠C=90°，故答案为：90°．13．（24-25八年级上·辽宁辽阳·阶段练习）如图是楼梯的一部分，若AD=2，BE=1，AE=3，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为．【答案】2【思路引导】本题考查勾股定理求最短路径问题．根据题意将楼梯展开即可直观看到从点A到点C的最短距离即为展开后矩形的对角线，继而勾股定理求出本题答案．【规范解答】解：将楼梯展开，如下图：，∵AD=2，BE=1，AE=3，∴DC=AE+BE=3+1=4，∴AC∴AC=25故答案为：2514．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S4【答案】1【思路引导】根据题意求出面积标记为S2的等腰直角三角形的直角边长，得到S2，同理求出S3【规范解答】解：如图所示，∵△CDE是等腰直角三角形，∴DE=CE，∠CED=90°，∴CD∴DE=2即等腰直角三角形的直角边为斜边的22∵正方形ABCD的边长为2，∴2×2∴面积标记为S2的等腰直角三角形的直角边长为GF=DE=则S2面积标记为S3的等腰直角三角形的直角边长为HG=HF=则S3面积标记为S4的等腰直角三角形的直角边长为2则S4故答案为：1215．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，BC=4cm，将△ABC折叠，使点C与A重合，得折痕DE，则BE的长等于【答案】78【思路引导】本题考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键是掌握折叠前后对应边相等，直角三角形两直角边平方和等于斜边平方．设BE=xcm，则CE=4−xcm，由折叠可得：CE=AE=【规范解答】解：设BE=xcm，则CE=由折叠可得：CE=AE=4−x∵∠B=90°，∴AB2+B解得：x=7∴BE=7故答案为：7816．（22-23八年级上·河南郑州·开学考试）在一个长14cm，宽8cm的长方形纸片上，如图放置一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且大于纸片的宽AD，它的底面边长为1cm的等边三角形，一只蚂蚁从点A处到点C处的最短路程是

【答案】17【思路引导】本题主要考查了立体图形的展开图和勾股定理．将正三棱柱的木块展开看作平面是解题的关键．将木块展开看作平面后，由两点之间线段最短知蚂蚁的最短距离为线段AC，由勾股定理计算即可．【规范解答】将长方形纸片与木块展开后如图所示，由两点之间线段最短可知蚂蚁的最短距离为线段AC，此时AB=14−1+2=15，∵BC=AD=8，∠B=90°，∴AC=A∴蚂蚁从点A处到点C处的最短路程是17cm故答案为：17．

17．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3．P是射线AB上一动点，将矩形ABCD沿着PD对折，点A的对应点为A′．当P，A′，C三点在同一直线上时，则AP的长【答案】4±【思路引导】分类讨论：当点P在AB上时，由折叠的性质得AD=A′D=3，AP=A′P，∠A=∠DA′P=90°，利用勾股定理求得A′C=7，设AP=A′P=x，则PB=4−x，PC=x+7，利用勾股定理列方程求解即可；当点P在【规范解答】解：如图，当点P在AB上时，由折叠的性质得，AD=A′D=3，AP=∴∠DA在Rt△DA'设AP=A′P=x，则PB=4−x在Rt△BCP中，BC2解得x=4−7∴AP=4−7如图，当点P在AB的延长线上时，由折叠的性质得，∠A=∠A′=90°，AP=在Rt△A'设AP=A′P=a，则CP=a−在Rt△BCP中，BC2解得a=4+7综上所述，AP=±7故答案为：4±7【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、解一元一次方程，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键．18．（23-24八年级下·四川南充·期中）如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF；把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A′处，得到折痕BM，BM与EF相交于点N，若直线BA′交直线CD于点O，BC=5，EN=1，则【答案】3【思路引导】连接AN，由折叠的性质易得BN=A′N，则∠NBA′=∠NA【规范解答】解：如图，连接AN，由折叠的性质得：AN=BN，EF⊥AB，∠ABN=∠NBA∴BN=A′N∴∠NBA在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∴EF∴∠NA∴∠NBA∵∠NBA∴∠ABN=1在Rt△BEN中，BN=2EN=2由勾股定理得：BE=B故答案为：3．【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理等知识；由折叠的性质求得∠ABN=30°是解题的关键．三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.）19．（本题6分）（23-24八年级上·广东梅州·期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°,AC=5,BC=12，P是线段AB上的一个动点，求CP的最小值．【答案】60【思路引导】本题考查了勾股定理、垂线段最短，熟练掌握勾股定理是解题关键．先利用勾股定理可得AB=13，再根据垂线段最短可得当CP⊥AB时，CP的值最小，利用三角形的面积公式计算即可得．【规范解答】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°,AC=5,BC=12，∴AB=A由垂线段最短可知，当CP⊥AB时，CP的值最小，∴S△ABC=1解得CP=60答：CP的最小值为601320．（本题6分）（24-25八年级上·山西忻州·期中）如图，在△ABC中，CA=CB，D是BC上的一点，AB=10，BD=6，【答案】100【思路引导】先根据勾股定理的逆定理确定△ABC是直角三角形且∠ADB=90°，再根据勾股定理解决此题．本题主要考查勾股定理以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理以及勾股定理的逆定理是解决本题的关键．【规范解答】解：∵BD2+A∴BD∴△ABC是直角三角形且∠ADB=90°．设CA=CB=x，则CD=x−6．在Rt△ADC中，C∴(x−6)解得：x=25即BC=25∴S21．（本题8分）（17-18九年级上·江苏盐城·阶段练习）问题背景如图，在矩形ABCD中，AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2问题探究(1)若点P从点A沿AB向终点B移动，点Q从点C沿CD向点D移动，点Q随点P的停止而停止，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是10cm(2)若点P沿着AB→BC移动，点P从点A移动到点C停止，点Q从点C沿CD向点D移动点Q随点P的停止而停止，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm【答案】(1)85s(2)4秒或6秒【思路引导】本题考查了几何动点问题，涉及了矩形的性质、勾股定理、一元二次方程以及一元一次方程等知识点，注意计算的准确性是解题关键．（1）过点P作PE⊥CD于E，根据四边形APED,PBCE均为矩形可得PE=BC=6cm，EQ=CD−DE−CQ=CD−AP−CQ=16−2x−3x（2）分类讨论①当点P在线段AB上和②当点P在线段BC上两种情况即可求解；【规范解答】（1）解：如图1，过点P作PE⊥CD于E，则四边形APED,PBCE均为矩形，∴PE=BC=6cm设x秒后，点P和点Q的距离是10cm∵AP=3x,CQ=2x，∴EQ=CD−DE−CQ=CD−AP−CQ=16−2x−3x=16−5x，由题意得，16−5x2∴x1=8由题意知点P的运动时间为163s，即x≤163，故∴经过85s或245s，P、（2）解：由点P从点A移动到点C停止知，点P运动的时间为16+63设经过ys后△PBQ的面积为12①当点P在线段AB上（如图1），即0≤y≤16PB=16−3y，连接BQ，∴12即12解得y=4；②当点P在线段BC上（如图2），即163≤y≤22则BP=3y−16，QC=2y，则12解得y1=6，综上所述，经过4秒或6秒，△PBQ的面积为12cm22．（本题8分）（23-24八年级下·河南新乡·期中）小区内有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE=0.6m，将它往前推送1.8m（水平距离BC=1.8m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF=1.2m【答案】绳索AD的长度是3米．【思路引导】此题考查了勾股定理的应用．设秋千的绳索长为xm，表示出AC，AB【规范解答】解：设秋千的绳索长为xm由题意得AB=AD=x，CD=CE−DE=BF−DE=1.2−0.6=0.6，∴AC=x−0.6，在Rt△ACB中，Ax−0.62解得：x=3，∴绳索AD的长度是3米．23．（本题8分）（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB=90°．(1)尺规作图：在△ABC的BC边上找到点D，使得点D到AB的距离等于CD；（请用圆规和无刻度直尺作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)若AC=6，BC=8，求CD的长．【答案】(1)图见解析(2)CD的长为3．【思路引导】（1）作∠BAC的角平分线，交BC于点D，根据角平分线的性质得点D到AB的距离等于CD；（2）根据DE=CD，AD=AD，证明Rt△ACD≌Rt△AEDHL，即可得出AE=AC=6，由勾股定理可得AB的值，从而得出则BE，设CD=x，则【规范解答】（1）解：如图，作∠BAC的角平分线，交BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，∵CD⊥AC，DE⊥AB，AD是∠BAC的角平分线，∴点D到AB的距离等于CD，即DE=CD，故点D即为所求；（2）解：由（1）可得，DE=CD，∵AD=AD，∠ACB=∠AED=90°，∴Rt△ACD≌∴AE=AC=6，在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=∴BE=AB−AE=4，设CD=x，则DE=x，在Rt△BDE中，由勾股定理得，B即8−x2解得：x=3，∴CD的长为3．【点睛】本题考查尺规作角平分线，角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，点到直线的距离的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．24．（本题8分）（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图，在△ABC中，AB=13,BC=10，BE⊥AC于点E，点D是BC边的中点，AD=12．(1)求AC的长；(2)求BE的长．【答案】(1)13(2)120【思路引导】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用、三角形等积关系的应用等知识点，掌握勾股定理及其逆定理成为解题的关键．（1）根据D是BC边的中点得出BD=DC=12BC=5，再由勾股定理逆定理证明∠ADB=∠ADC=90°（2）运用等面积法求解即可．【规范解答】（1）解：∵BC=10，且D是BC边的中点，∴B