2026-2027学年云南省玉溪市玉溪第一中学高三上学期8月摸底考数学试卷（含解析）

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B.C. D.2.复数（为虚数单位）的共轭复数等于（）A. B. C. D.3.已知向量，，若，则（）A. B. C. D.4.若的展开式中的系数为，则（）A.4 B.5 C.6 D.75.已知，若，则点C的轨迹方程为（）A. B.C. D.6.已知，，则（）A. B. C. D.7.已知等差数列和的前n项和分别为和，且，则（）A. B.C. D.8.如图，已知四面体中，平面，，，，点为线段中点，则四面体外接球球心到平面距离为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知是定义在上的偶函数，且当时，，则下列结论正确的是（）A.当时，B.，C.不等式的解集为D.若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为10.已知点，圆，则下列结论正确的有（）A.点与圆上的点之间距离的最大值为B.点在圆内部C.若过点的直线截圆的弦长为，则的方程为D.以为中点的弦所在的直线方程为11.在信道内发送5位二进制码数据流，前4位为信息码，最后一位为偶校验码，使得5位二进制码数据流中1的个数为偶数．例如：若信息码为1100，则校验码为0，所发送数据流为11000；若信息码为1000，则校验码为1，所发送数据流为10001．每位二进制码信号的传输相互独立，当发送时，收到的概率为，收到的概率为．接收方收到数据后，若数据流中1的个数是奇数个，则数据传输错误，要求重新发送该数据，则下列说法正确的是（）A.5位二进制码数据流传输全部正确的概率为B.若发送的数据流为10010，则接收到的数据流为11101的概率为；C.接收方要求重新发送该数据的概率为D.若所接收数据流中1的个数是偶数个，则信息码传输正确的概率为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数的递增区间是________________．13.已知点M，N是椭圆（）上的两点，且线段MN恰为圆的一条直径，A为椭圆C上与M，N不重合的一点，且直线AM，AN的斜率之积为，则椭圆C的离心率为__________．14.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为_________；若，则的最大值为_________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.在中，角所对的边分别是，已知，．（1）求角的大小；（2）若，是上的点，平分，求的长．16.如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，，，，是线段的中点，连结．（1）求证：；（2）求平面与平面夹角的余弦值.17.某网红奶茶店统计了2025年10月9日至13日这5天到店消费的人数（单位：人）与时间第天的数据，列表如下：1234550658095100（1）由表中给出的数据判断是否可用线性回归模型拟合人数与时间之间的关系？若可用，估计10月14日到该奶茶店消费的人数（人数用四舍五入法取整数；若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）．（2）运用分层抽样的方法从第1天（50人）和第5天（100人）到该奶茶店消费的人中按比例随机抽取6人，再从这6人中任取2人赠送礼品，求这2人恰好来自不同天的概率．（3）该奶茶店推出两种会员优惠方案：方案一，单次消费每满50元减5元；方案二，单次消费满200元可抽奖两次，每次中奖概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8折，未中奖不打折。某顾客计划消费200元，请从实际付款金额数学期望的角度分析选哪种方案更优惠．附：相关系数，，．18.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求的单调递增区间；（3）当函数有两个极值点时，若恒成立，求的最大整数值.（参考数据：）19.已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的虚轴长为4，直线为双曲线C的一条渐近线．（1）求双曲线C的标准方程；（2）记双曲线C的左、右顶点分别为A，B，过点的直线l与双曲线交于M，N两点，直线MA交y轴于点P，直线NB交y轴于点Q，记的面积为，的面积为，求证：为定值．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B.C. D.答案：D解析：解答过程：由于，故．2.复数（为虚数单位）的共轭复数等于（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：，则.3.已知向量，，若，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：因为，，所以，因为，所以，解得.4.若的展开式中的系数为，则（）A.4 B.5 C.6 D.7答案：D解析：思路：先求得的展开式的通项，再根据的系数为求解解答过程：的展开式的通项，且的系数为，所以，即，解得或，为正整数，舍去负根，得．5.已知，若，则点C的轨迹方程为（）A. B.C. D.答案：D解析：解答过程：由及双曲线的定义可知点C的轨迹是双曲线的左支，设其标准方程为，所以，解得，所以点C的轨迹方程为．6.已知，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先利用余弦和角公式展开，结合已知的​求出的值，再将变形为代入数值计算得到结果.解答过程：因为，又，解得，所以．7.已知等差数列和的前n项和分别为和，且，则（）A. B.C. D.答案：A解析：解答过程：因为为等差数列，所以；因为为等差数列，所以且；又因为，所以，即，则.8.如图，已知四面体中，平面，，，，点为线段中点，则四面体外接球球心到平面距离为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：取的中点，根据题意，证得，得到为四面体外接球球心，得到点到平面的距离为点到平面的距离的一半，设点到平面的距离为，结合，列出方程，求得的值，即可求解.解答过程：如图所示，取的中点，连接，因为平面，且平面，所以，在直角中，可得，又由平面，且平面，所以，因为，，且平面，所以平面，又因为平面，所以，在直角中，且为的中点，可得，所以，所以为四面体外接球球心，因为为的中点，所以点到平面的距离为点到平面的距离的一半，设点到平面的距离为，因为，，点为线段中点，可得，在直角中，可得，所以，且，则，且，因为，即，解得，所以点到平面的距离为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知是定义在上的偶函数，且当时，，则下列结论正确的是（）A.当时，B.，C.不等式的解集为D.若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为答案：AC解析：思路：根据函数的性质，逐个选项判断即可.解答过程：由题知，令，则，所以，因为是定义在上的偶函数，所以，所以当时，，A正确；当时，，当时，，因为是定义在上的偶函数，所以，，B错；当时，令，解得，又因为是定义在上的偶函数，所以，的解集为，C正确；由上述可知，，且，当时，，单调递减，当时，，单调递增，又因为是定义在上的偶函数，所以要使有两个不相等的实数根，即有两个不相等的实数根，即与两函数有两个交点，则需满足或，D错.10.已知点，圆，则下列结论正确的有（）A.点与圆上的点之间距离的最大值为B.点在圆内部C.若过点的直线截圆的弦长为，则的方程为D.以为中点的弦所在的直线方程为答案：BD解析：思路：A.先求出点到圆心的距离，则点到圆上点最大距离是；B.把点代入圆的方程，，所以点在圆内部；C.先由弦长公式求出圆心到直线的距离，接着分斜率存在和斜率不存在设出对应的方程，求解方程；D.由为中点的弦得到弦所在的直线与直线垂直，从而得到斜率，由点斜式求出直线方程.解答过程：已知点，圆，则圆心，半径，选项A，，则点到圆上点最大距离是，故A错误；选项B，因为，所以点在圆内部，故B正确；选项C，弦长，由弦长公式L=2r22=9−直线过，当直线的斜率存在时，设的方程是，即，圆心到直线距离，|2−k4−4k所以直线的方程是即，当直线的斜率不存在时，直线的方程是，圆心到它的距离，也满足条件，所以的方程为：或，故C错误；选项D，以为中点的弦，则弦与垂直，，所以弦所在的直线的斜率，又过，所以该直线方程为，即，故D正确.11.在信道内发送5位二进制码数据流，前4位为信息码，最后一位为偶校验码，使得5位二进制码数据流中1的个数为偶数．例如：若信息码为1100，则校验码为0，所发送数据流为11000；若信息码为1000，则校验码为1，所发送数据流为10001．每位二进制码信号的传输相互独立，当发送时，收到的概率为，收到的概率为．接收方收到数据后，若数据流中1的个数是奇数个，则数据传输错误，要求重新发送该数据，则下列说法正确的是（）A.5位二进制码数据流传输全部正确的概率为B.若发送的数据流为10010，则接收到的数据流为11101的概率为；C.接收方要求重新发送该数据的概率为D.若所接收数据流中1的个数是偶数个，则信息码传输正确的概率为答案：ACD解析：思路：利用相互独立事件同时发生的概率计算公式以及条件概率计算公式即可求解.解答过程：对于A，每位二进制码信号传输正确的概率为，且传输相互独立，因此5位二进制码数据流全部传输正确的概率为，故A正确；对于B，发送数据流为，接收到的数据流为11101，逐位对比，仅第1位传输正确，其余4位都传输错误，因此概率为，故B错误；对于C，设接收方要求重新发送该数据的概率为，不用重新发数据的概率为，接收方要求重新发送该数据，意味着数据流在传输时传错的数码的个数的位数为奇数，错位的概率为，因此需要重新发数据的概率

，不用重新发数据的概率

，所以，①又因为，②由①②得，，所以C正确；对于D，设事件：信息码传输正确，事件：接收数据流的个数为偶数，，表示：前4位（信息码）全对，且所接收数据流中1的个数是偶数；前4位（信息码）全对时，仅校验码也正确时，数据流中1的个数是偶数，因此，因此，故

D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数的递增区间是________________．答案：解析：解答过程：因为是减函数，在上单调递减，在上单调递增，根据复合函数的单调性，所以函数的递增区间是.13.已知点M，N是椭圆（）上的两点，且线段MN恰为圆的一条直径，A为椭圆C上与M，N不重合的一点，且直线AM，AN的斜率之积为，则椭圆C的离心率为__________．答案：解析：思路：利用椭圆的第三定义得到即可求解.解答过程：根据题目条件可知点M，N是椭圆（）上关于原点对称的两点，又由于A为椭圆C上与M，N不重合的一点，且直线AM，AN的斜率之积为，根据椭圆的第三定义可知．因为椭圆离心率，所以，因此椭圆C的离心率为.14.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为_________；若，则的最大值为_________．答案：①.②.解析：思路：由有两个极值点，得有两个变号零点，构造函数，利用导数研究函数的性质，得函数的草图，利用草图列式可求出的取值范围；设，将化为，再构造函数，利用导数可求出其最大值．解答过程：由题意得的定义域为，，由已知得是的两个变号零点，令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以函数在上单调递减，在上单调递增，又当和时，，如图，作出符合题意的图形，由图可知，只需即可，所以，即实数a的取值范围是；若，又，则令，由已知，则，则，则，，所以，令，则，令，则，所以函数在上递增，又因为，所以当时，，即，所以函数在上递增，所以，所以的最大值为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.在中，角所对的边分别是，已知，．（1）求角的大小；（2）若，是上的点，平分，求的长．答案：（1）（2）解析：（1）已知，由余弦定理可得，因为，代入得，所以，所以，所以，因为，所以．（2）因为，，由余弦定理得，即，又因为，所以，由面积公式可得，，所以，可得．16.如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，，，，是线段的中点，连结．（1）求证：；（2）求平面与平面夹角的余弦值.答案：（1）因为四边形为菱形，所以．又因为，为的中点，所以．又因为平面平面，平面平面，所以平面，因为平面，所以．（2）解析：思路：（1）通过证明线面垂直得到线线垂直；（2）利用向量法求解，求出两个平面的一个法向量，再求出两个法向量夹角的余弦值的绝对值，即两个平面夹角的余弦值.（1）略（2）连结．因为，为的中点，所以．由（1）可知平面，所以，．设，则．如图，建立空间直角坐标系．所以．所以，．因为平面，所以是平面的一个法向量．设平面的法向量为，则，即，所以令，则，．于是．所以．平面与平面夹角余弦值为．17.某网红奶茶店统计了2025年10月9日至13日这5天到店消费的人数（单位：人）与时间第天的数据，列表如下：1234550658095100（1）由表中给出的数据判断是否可用线性回归模型拟合人数与时间之间的关系？若可用，估计10月14日到该奶茶店消费的人数（人数用四舍五入法取整数；若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）．（2）运用分层抽样的方法从第1天（50人）和第5天（100人）到该奶茶店消费的人中按比例随机抽取6人，再从这6人中任取2人赠送礼品，求这2人恰好来自不同天的概率．（3）该奶茶店推出两种会员优惠方案：方案一，单次消费每满50元减5元；方案二，单次消费满200元可抽奖两次，每次中奖概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8折，未中奖不打折。某顾客计划消费200元，请从实际付款金额数学期望的角度分析选哪种方案更优惠．附：相关系数，，．答案：（1）可用，，预计117人；（2）；（3）选方案一更优惠解析：思路：（1）通过相关系数的公式计算相关系数即可知道是否可以用线性回归模型拟合.（2）通过分层抽样分别求出两天各抽取的人数，通过古典概型求出概率.（3）通过比较两种方案的均值就可知道哪种方案更好.（1），，，，，，可用线性回归模型拟合．，，令：，所以10月14日到该奶茶店消费的人数约为117人.（2）第1天50人，第5天100人，比例，共抽6人，第1天抽2人，第5天抽4人，从6人中任取2人，总方案数种，2人来自不同天的方案数：，故这2人恰好来自不同天的概率为.（3）方案一：满50减5，消费200元，共减元，实付180元方案二：设实付金额为元，，，，元，因为，方案一期望付款更少，故选方案一更优惠．18.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求的单调递增区间；（3）当函数有两个极值点时，若恒成立，求的最大整数值.（参考数据：）答案：（1）（2）当时，无单调递增区间；当时，的单调递增区间为；（3）解析：思路：（1