2026-2027北师大版九（下）数学第一章单元检测卷

【北师大版九年级数学（下）单元测试卷】第一章：直角三角形的边角关系一、选择题（每小题3分共30分）1．（本题3分）在中，，则下列等式不成立的是（

）A． B． C． D．2．（本题3分）在中，，若，则（

）A． B． C． D．3．（本题3分）当锐角时，的值（

）A．小于 B．大于 C．小于 D．大于4．（本题3分）如图，旗杆底部为点垂直水平地面．小明站在地面处观测旗杆顶端，测得仰角为，下列三角函数关系式正确的是（

）A． B． C． D．5．（本题3分）下列说法中，正确的是（

）A．B．若，则C．若为锐角，，则D．在中，锐角的两个邻边都扩大5倍，则也扩大5倍6．（本题3分）如图，中，，，为，则长为（

）A． B． C． D．7．（本题3分）在Rt中，，，，则的值是（

）A． B． C． D．8．（本题3分）如图，在点处有一艘轮船，测得在其北偏西方向有一座灯塔，这时在处的轮船与灯塔之间的距离为千米，轮船以每小时千米的速度沿正北方向匀速行驶到处，点在灯塔的正东方向，则此轮船行驶的时间约为（

）（参考数据：）A．2.1小时 B．1.7小时 C．1.3小时 D．1.2小时9．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，将平移，得到，点在坐标轴上．若，，，则点的坐标为（

）A． B． C． D．10．（本题3分）如图，在中，，是斜边上的高，给出下列线段的比：①；②；③；④．其中，比值与的值相等的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每小题3分共15分）11．（本题3分）已知为锐角，且，则________度．12．（本题3分）如图，有一斜坡，坡顶离地面的高度为．若坡度，则此斜坡的水平宽度为___________．13．（本题3分）在中，，则_____________________，_________________．14．（本题3分）如图是某房屋及其屋外的遮阳设施，已知遮阳设施的固定点距离地面米（即米），遮阳设施的宽度为米，遮阳设施与房屋墙壁的夹角的余弦值为．当太阳光与地面的夹角为时，遮阳设施在地面上的影长为______米．（结果保留小数点后一位，参考数据：）15．（本题3分）在如图所示的正方体中，的值为_______，的值为_______，的值为_______．三、解答题（共55分）16．（本题6分）计算：(1)；(2)17．（本题7分）在中，，分别是，，的对边．(1)已知，，求；(2)已知，，求．18．（本题8分）如图所示，点在直角三角形的斜边上，连接，作，使得，连接交于点，若，．求证：(1)．(2)若，求的值．19．（本题8分）为进一步优化区域交通网络，提升京平高速的通行效率与承载能力，满足日益增长的出行需求，京平高速路段启动扩建升级工程．施工过程中，需使用起重机将钢筋、水泥等修路建材精准吊装至指定作业区域．当货物M被吊起并在空中保持静止时．货物M与吊臂转轴点O的连线恰好平行于地面（水平方向）．如图1，吊臂末端B到货物M的竖直距离米，，（参考数据：，，结果精确到1米）(1)求直吊臂的长；(2)为配合路面施工高度调整，立吊臂与钢索的长度保持不变，在同一竖直平面内将提升至如图2的位置，当时，货物M上升了多少米？20．（本题8分）如图，在中，，平分，，．(1)求的长；(2)求的值．21．（本题9分）图①是某浴室花洒的侧面示意图，已知活动调节点（可以上下调整高度）离地面的初始距离．设花洒臂与墙面的夹角为，可以扭动花洒臂调整角度，且花洒臂长．假设水柱垂直直线喷射，小华在离墙面处淋浴．(1)当时，水柱正好落在小华的头顶上，求小华的身高．(2)如果小华要洗脚，需要调整水柱，使点与点重合，调整的方式有两种：①其他条件不变，把活动调节点向下移动．移动的距离与小华的身高之间有什么数量关系？请直接写出你的结论；②活动调节点不动，只要调整的大小，如图②．试求的度数．（结果保留一位小数，参考数据：，，，）22．（本题9分）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线的性质时，如图将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题：(1)将三角板绕点O旋转到图1所示位置，使得轴，且，则a的值是________；(2)在（1）的结论下，小明将三角板绕点O旋转到图2所示位置时，过B作轴于点F，若，求此时点A、B的坐标；(3)在（1）的结论下，小明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．【北师大版九年级数学（下）单元测试卷】第一章：直角三角形的边角关系一、选择题（每小题3分共30分）1．（本题3分）在中，，则下列等式不成立的是（

）A． B． C． D．解：在中，，斜边为，，C选项中，与不符，C选项等式不成立．故选：C2．（本题3分）在中，，若，则（

）A． B． C． D．解：∵在中，，∴为锐角，又∵，∴．故选：C3．（本题3分）当锐角时，的值（

）A．小于 B．大于 C．小于 D．大于解：∵，∴锐角时，的值大于．故选：B．4．（本题3分）如图，旗杆底部为点垂直水平地面．小明站在地面处观测旗杆顶端，测得仰角为，下列三角函数关系式正确的是（

）A． B． C． D．解：根据题意，得，，．故选：C5．（本题3分）下列说法中，正确的是（

）A．B．若，则C．若为锐角，，则D．在中，锐角的两个邻边都扩大5倍，则也扩大5倍解：A、三角函数的度数不能直接相加，A错误；B、α为锐角时，，所以当时，，B错误；C、，设对边为，邻边为，则斜边为，所以，C正确；D、在中，等于角A的邻边与斜边的比值，当两边都扩大5倍时，另外一条直角边也扩大了5倍，比值不变，所以不变，D错误．故选：C．6．（本题3分）如图，中，，，为，则长为（

）A． B． C． D．解：A、，解得，符合题意；B、，解得，不符合题意；C、，解得，不符合题意；D、，解得，不符合题意．故选：A7．（本题3分）在Rt中，，，，则的值是（

）A． B． C． D．解：在中，，∴，∴．故选：C8．（本题3分）如图，在点处有一艘轮船，测得在其北偏西方向有一座灯塔，这时在处的轮船与灯塔之间的距离为千米，轮船以每小时千米的速度沿正北方向匀速行驶到处，点在灯塔的正东方向，则此轮船行驶的时间约为（

）（参考数据：）A．2.1小时 B．1.7小时 C．1.3小时 D．1.2小时解：由题意可得，，，千米，∴在中，，即，解得千米，∴行驶时间（小时），取，得（小时），故选：C．9．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，将平移，得到，点在坐标轴上．若，，，则点的坐标为（

）A． B． C． D．解：如图所示，过点作轴于点，过点作，交的延长线于点，∴，∴，∴，∴，∵，∴，由勾股定理得，∵，∴，∴，∴，∴，∴，由点平移到点可知，图形向右平移了个单位长度，由点平移到点可知，图形向下平移了个单位长度，∴将向右平移个单位长度，再向下平移了个单位长度，可得到，点的坐标可由点的坐标得到，即点的坐标为，∴点的坐标为．故选：B10．（本题3分）如图，在中，，是斜边上的高，给出下列线段的比：①；②；③；④．其中，比值与的值相等的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4解：∵，∴在中，，即②满足要求；∵是斜边上的高，∴在中，，即①满足要求；由题可知，，则，，∴，∴，∴，则，即④满足要求；综上，比值与的值相等的个数为个．故选：C二、填空题（每小题3分共15分）11．（本题3分）已知为锐角，且，则________度．解：∵为锐角∴∴∵，且∴∴．12．（本题3分）如图，有一斜坡，坡顶离地面的高度为．若坡度，则此斜坡的水平宽度为___________．解：设，则∴解得，所以水平宽度为．13．（本题3分）在中，，则_____________________，_________________．解：∵在中，，，，∴，∵，∴，∵直角三角形两锐角和为，∴．14．（本题3分）如图是某房屋及其屋外的遮阳设施，已知遮阳设施的固定点距离地面米（即米），遮阳设施的宽度为米，遮阳设施与房屋墙壁的夹角的余弦值为．当太阳光与地面的夹角为时，遮阳设施在地面上的影长为______米．（结果保留小数点后一位，参考数据：）解：作于点，作，交的延长线于点，如图，在中，米，，∴米，∴米，∵米，∴米，∵，∴四边形是矩形，∴米，米，在中，米，，∴米，∴米．15．（本题3分）在如图所示的正方体中，的值为_______，的值为_______，的值为_______．解：在如图所示的正方体中，，，设，∴，∴，∴，，．三、解答题（共55分）16．（本题6分）计算：(1)；(2)（1）解：；（2）解：．17．（本题7分）在中，，分别是，，的对边．(1)已知，，求；(2)已知，，求．（1）解：如图所示，，，∴，根据特殊角的三角函数可知，；（2）解：如图所示，∵，，即，∴．18．（本题8分）如图所示，点在直角三角形的斜边上，连接，作，使得，连接交于点，若，．求证：(1)．(2)若，求的值．(1)证明：∵，∴．又∵，∴．（2）解：∵，∴．∵，∴∴．∵在中，，，∴．∵，∴．∵，∴，∴，∴．∴在中，．∴．19．（本题8分）为进一步优化区域交通网络，提升京平高速的通行效率与承载能力，满足日益增长的出行需求，京平高速路段启动扩建升级工程．施工过程中，需使用起重机将钢筋、水泥等修路建材精准吊装至指定作业区域．当货物M被吊起并在空中保持静止时．货物M与吊臂转轴点O的连线恰好平行于地面（水平方向）．如图1，吊臂末端B到货物M的竖直距离米，，（参考数据：，，结果精确到1米）(1)求直吊臂的长；(2)为配合路面施工高度调整，立吊臂与钢索的长度保持不变，在同一竖直平面内将提升至如图2的位置，当时，货物M上升了多少米？（1）解：在中，米，，∴（米），∴直吊臂的长约为13米；（2）解：延长交水平线于点C，则水平线，在中，米，，∴（米），∵米，∴（米），∴当时，货物M上升了约6米．20．（本题8分）如图，在中，，平分，，．(1)求的长；(2)求的值．（1）解：在中，，，，，，在中，，，，由勾股定理得：；（2）解：过点D作交于点E，则，如下图所示，平分，，，，，，，，在中，，，由勾股定理得：，即，，整理得：，解得：，．21．（本题9分）图①是某浴室花洒的侧面示意图，已知活动调节点（可以上下调整高度）离地面的初始距离．设花洒臂与墙面的夹角为，可以扭动花洒臂调整角度，且花洒臂长．假设水柱垂直直线喷射，小华在离墙面处淋浴．(1)当时，水柱正好落在小华的头顶上，求小华的身高．(2)如果小华要洗脚，需要调整水柱，使点与点重合，调整的方式有两种：①其他条件不变，把活动调节点向下移动．移动的距离与小华的身高之间有什么数量关系？请直接写出你的结论；②活动调节点不动，只要调整的大小，如图②．试求的度数．（结果保留一位小数，参考数据：，，，）（1）解：如图①，过点作交的延长线于点，交的延长线于点，，四边形为矩形，，，，在中，，，，，∴，，，∴，，，，．（2）解：①如图，由平移的性质可知，，，四边形为平行四边形，，同理可得，四边形为平行四边形，，．②如图，连接．在中，，，，在中，，，，，．22．（本题9分）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线的性质时，如图将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题：(1)将三角板绕点O旋转到图1所示位置，使得轴，且，则a的值是________；(2)在（1）的结论下，小明将三角板绕点O旋转到图