2025年沪科版9年级下册期末测试卷及参考答案详解

沪科版9年级下册期末测试卷

考试时间：90分钟；命题人：教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，满分loo分，考试时间9。分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新

的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题16分）

一、单选题（8小题，每小题2分，共计16分）

1、在一个不透明的口袋中装有3张完全相同的卡片，卡片上面分别写有数字-1,0,2,从中随机抽

出两张不同卡片，则下列判断正确的是（）

A.数字之和是。的概率为0B.数字之和是正数的概率为:

C.卡片上面的数字之和是负数的概率为gD.数字之和分别是负数、0、正数的概率相同

2、如图，△4町外接于。0,Z/f=30°,BC=3,则。。的半径长为（）

A

A.3B.V2C.x/3D.2叵

3,如图，在此ZUH，中，/R4C=90。，AB=AC=6,点〃、£'分别是力从〃'的中点.将△4配'绕点/

顺时针旋转60°,射线劭与射线四交于点A在这个旋转过程中有下列结论：①△川%△力如；②

"存在最大值为3+3石；③掰存在最小值为3a-3;④点尸运动的路径长为27r.其中，正确的（）

A.©©③B.①②④C.①③④D.②③④

4、已知。。的半径为4,。4=5,则点力在（）

A.。。内B.。。上C.。。外D.无法确定

5、如图，在△业?C中，/%。=130°,将△4?。绕点C逆时针旋转得到△加£点儿8的对应点分别

为〃，E,连接力〃当点力，D,”在同一条直线上时，则N4I〃的大小是（）

A.80°B.70°C.60°D.50°

6、如图，然是。。的直径，弦切交力8于点P,AP=3,BP=7,ZAPC=3O。，则徵的长为（）

A.4GB-2aC.瓜D.8

7、如图，在中，OA=4,08=6,AB=2出,将绕原点。逆时针旋转9（T,则旋转后点

力的对应点4的坐标是（）

A.（-4,2）B.（-2.万,4）C.（-2>/3,2）D.（-2,275）

8、如图，在应△力勿中，N4==90°,ZJ=30°,/=2.将绕点。按顺时针方向旋转到点〃

落在/山边上，此时得到△面C,斜边底交边于点尸，则图中阴影部分的面积为（）

c.V5D.4

第n卷（非选择题84分）

二、填空题（7小题，每小题2分，共计14分）

1、如果点A（3,-2）与点夕关于原点对称，那么点8的坐标是.

2、第24届世界冬季奥林匹克运动会，于2022年2月4日在中国北京市和河北省张家口市联合举行,

其会徽为“冬梦”，这是中国历史上首次举办冬季奥运会.如图，是一幅印有北京冬奥会会徽且长为

3m,宽为2m的长方形宣传画，为测量宣传画上会徽图案的面积，现将宣传画平铺，向长方形宣传画内

随机投掷骰子（假设骰子落在长方形内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落

在会徽图案上的频率稳定在0.15左右，由此可估计宣传画上北京冬奥会会徽图案的面积约为m2

hc

嗅4022

0(^)

3、点户为边长为2的正方形力舒内一点，二MC是等边三角形，点"为火中点，川是线段帆上一动

点，将线段」邠绕点"顺时针旋转60°得到线段阳，连接力2、PQ,则人Q+PQ的最小值为_____.

4、一个五边形共有条对角线.

5、如图，在中，Z6^90°,力后10,在同一平面内，点。到点4B,。的距离均等于a（a为常

数）.那么常数d的值等于_______.

6、两直角边分别为6、8,那么用,ABC的内接圆的半径为

7、如图，⑸是。。的切线，力是切点.若N力叫25°,则/从乃

A

O

P

三、解答题（7小题，每小题0分，共计0分）

1、在等边&ABC中，。是边4c上一动点，连接8。，将8。绕点。顺时针旋转120°,得到。E,连接

CE.

（1）如图1,当8、A、七三点共线时，连接A&,若A8=2,求CE的长；

（2）如图2,取CE的中点F,连接。尸，猜想A。与。「存在的数量关系，并证明你的猜想；

（3）如图3,在（2）的条件下，连接庭、A尸交于G点.若GF=DF,请直接写出空0的值.

2、如图，已知线段历N=4,点力在线段用N上，旦AA/=1,点方为线段AN上的一个动点.以力为中

心顺时针旋转点M以月为中心逆时针旋转点A；旋转角分别为。和夕.若旋转后以M两点重合成一

点。（即构成-ABC）,设AB=x.

（1）的周长为：

（2）若。+6=270。，求x的直.

3、在-ABC中，AB=AC,N8AC=90。，过点力作比的垂线49,垂足为。，夕为线段比'上一动点（不

与点C重合），连接力£；以点力为中心，将线段月£'逆时针旋转90°得到线段加；连接班；与直线月〃

交于点G.

A

(1)如图,当点£在线段。卜时，

①依题意补全图形，并直接写出比与成的位置关系；

②求证：点G为为•、的中点.

(2)直接写出力反BE,力G之间的数量关系.

4、如图，在RlZXABC中，〃C4=90。，AC=BC,将"8C绕着点月顺时针旋转得到..XD£,连接机

连接〃并延长交必于点尸.

(1)求加方的度数；

(2)若4c=8C=5,且CE=M,求"'的长.

5、某省高考采用“3+1+2”模式：“3”是指语文、数学、英语3科为必选科目，“1”是指在物理、历

史2科中任选1科，“2”是指在思想政治、化学、生物、地理4科中任选2科.

(1)假定在“1”中选择历史，在“2”中已选择地理，则选择生物的概率是；

(2)求同时选择物理、化学、生物的概率.

6、如图，是由一些大小相同的小正方体组合成的简单几同体，请在下面方格纸中分别画出从它的左面

和上面看到的形状图.

从左面看从上面看

7、在平面直角坐标系xOy中，对于点80,。给出如下定义：韭OQ<PO<PQ豆pg,我们称点户

是线段制的“潜力点”

已知点0(0,0),0(1,0)

(1)在4(0,-1),月(?1),P.(-1,1)中是线段。。的“潜力点”是；

(2)若点〃在直线尸x上，且为线段〃。的“潜力点”，求点尸横坐标的取值范围；

(3)直线y=2x+6与4轴交于点M与y轴交于点Mq线段制V上存在线段8的“潜力点”时，

直接写出〃的取值范围

-参考答案-

一、单选题

1、A

【分析】

列树状图，得到共有6种等可能的情况，和为正数的有4种情况，和为负数的有2种情况，依次判断

即可.

【详解】

解：列树状图如下：

^

^

2

2

共有6种等可能的情况，和为正数的有4种情况，和为负数的有2种情况，

A.数字之和是0的概率为0.故该项符合题意；

笈数字之和是正数的概率为?4=2故该项不符合题意；

63

21

C.卡片上面的数字之和是负数的概率为♦=故该项不符合题意；

〃数字之和分别是负数、0、正数的概率不相同，故该项不符合题意；

故选:A.

【点睛】

此题考查了列树状图求事件的概率，概率的计算公式，正确列出树状图解答是解题的关键.

2、A

【分析】

分析：连接0A、0B,根据圆周角定理，易知NA0B=60°；因此aABO是等边三角形，即可求出£>0的

半径.

【详解】

解：连接8。并延长交。。于〃连结比:

VZ/f=30°,

・・・NZtN上30°,

:初为直径，

:"BCS,

在中，6白3,N介30°,

:.B22BO6,

，0斤3.

故选A.

【点睛】

本题考查了圆周角性质，利用同弧所对圆周角性质与直径所对圆周角性质，30°角所对直角三角形性

质，掌握圆周角性质，利用同弧所对"圆周角性质与直径所对圆周角性质，30。角所对直角三角形性质

是解题的关键.

3、B

【分析】

根据/BAC=9O。，/W=4C=6,点〃、/分别是力氏力。的中点.得出NO4后90°,AD-AEF\X6=3,

可证/加比N浏d再证4以侬（SAS）,可判断①△力比力△力的正确；作以点力为圆心，AE为

半径的圆，当。，为。力的切线时，叱最大，根据△/1£3A4/况得出NDBA=/比）,可证N片/力090°,

b为的切线，证明四边形加"为正方形，得出小4尺3,在Rt△力以中，CEF

y/AC2-AE2=>JAC2-AE2=76^?=3x/3，可判断②夕存在最大值为3+36正确；△熊恒△力战得

出盼83石，在RtABPC中，小=JBC?-PC最J=4附丫—(3+3可=36-3可判断③外存在最

小值为3&-3不正确；取成中点为。，连结力。，0P,盼祐=6,/仍090°,B4dg

^-BC=^AB2+AC2=1x6x/2=3V2,当力自！⑦时，少与以点力为圆心，4?为半径的圆相切，此时sin

Ap3I

/力行大二二二二，可求N力辔30°,根据圆周角定理得出/力。62/力诲60°,当月〃_1_利'时，BP'

AC62

与以点力为圆心，然为半径的圆相切，此时sin/力防当=?=(，可得/力/30°根据圆周角定理

得出/力8'二2乙物介60°,点尸在以点。为圆心，见长为半径，的圆上运动轨迹为抬尸，，LPAP，

=当二=2乃可判断④点〃运动的路径长为27正确即可・

【详解】

解:VZaAC=90°,A8=AC=6,点〃、E分别是/厉、力。的中点.

・•・/的后90°,AD-AEF-x6=3,

2

・・・/的班/刃尺90°,/%目/用090°,

:"DAF/EAC,

在△加8和△必。中，

AD=AE

NDAB=NEAC,

AB=AC

，△为侬△口。(SAS),

故①△/!£%△/［如正确；

A

p

E

B

作以点力为圆心，月£为半径的圆，当。，为。力的切线时，6r最大,

•：XAEC乌XADB,

:・/DBA=/ECK,

：.NPBA+/六/ECKNBA3

：・/六NBAC=90°,

•・・次为。/1的切线，

：.AE1CP,

・•・/〃眸N%4=N%后90°,

・•・四边形优岳〃为矩形，

•:AD-AE,

・•・四边形力及7为正方形，

・••峪心3,

在中，CE=yjsc2-AE1=>JAC2-AE2=762-32=373»

・・.）最大二阳除3+3月，

故②b存在最大值为3+36正确;

•：XAEC^XADB,

BD^CE^3\/3，

在Rt△“中，BP嫩小=4BC2-PCt&：=46G)2-(3+3@'=3后一3,

BI2BD~Ig6-3,

故③存在最小值为3\/5-3不正确；

取比'中点为0,连结力。0P,

•・"庐力俏6,ZBAC=90°,

：.^CO=AO=-BC=-yjAB2+AC2=-x6V2=3x/2,

222

AT31

当月反Lb时，h与以点力为圆心，四为半径的圆相切，此时sinN力".二二二，

AC62

・•・//绥30c,

・・・/力峪2/月860°,

当49J"勿’时，在,与以点力为圆心，力£为半径的圆相切，此时sin/4盼当=?二:，

ABb2

:・NA盼30°,

，/AOP'=2/ABA6G",

，点夕在以点0为圆心，勿长为半径，的圆上运动轨迹为叫P，

VZ/Vf^Z/JOA+ZAOP'=600+60°=120°,

120乃x3

・•・£「"，二=24.

180

故④点〃运动的路径长为2》正确;

正确的是①②④.

故选B.

【点睛】

本题考查图形旋转性质，线段中点定义，三角形全等判定与性质，圆的切线，正方形判定与性质，勾

股定理，锐角三角函数，弧长公式，本题难度大，利用辅助线最长准确图形是解题关键.

4、C

【分析】

根据。。的半径尸4,旦点力到圆心0的距离根5知M据此可得答案.

【详解】

解：:。。的半径尸4,且点力到圆心。的距离小5,

d>r.

，点力在。。外，

故选：C.

【点睛】

本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种.设。〃的半径为八点尸到圆心的距离

0片d,则有：①点夕在圆外=心小②点尸在圆上e片r；③点夕在圆内=dVr.

5、A

【分析】

根据三角形旋转得出。。=AC,ZEDC=Z^C=130°,根据点力，D,〃在同一条直线上利用邻补角关

系求出ZAZ)C=180。-N£Z)C=50。，根据等腰三角形的性质即可得到/的小50°,由此即可求解.

【详解】

证明：•・,48c绕点。逆时针旋转得到DEC,

：.DC=AC,/EDC=NBAC=13。。,

.\ZADOZDAC,

•.•点儿D,£在同一条直线二，

・•・ZADC=180°-ZEDC=50°,

：,ZDAC=50°,

・•.NBAANR4e/%e80°

故选A.

【点睛】

本题考查三角形旋转性质，邻补角的性质，等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于熟练掌握旋转

的性质.

6、A

【分析】

过点。作OE_LC。于点E,连接。0,根据已知条件即可求得。。。?，根据含30度角的直角三角形的

性质即可求得OE,根据勾股定理即可求得OE,根据垂径定理即可求得的长.

【详解】

解：如图，过点。作OE_LCO于点E,连接0。，

月8是的直径，4P=3,BP=7,

:.OD=^AB=5.OP=^AB-AP=5-3=2

OEA.CD,ZAPC=30°

OE=-OP=\

2

在心△OOE中，DE=ylOD2-OE2=V52-l2=276

OEA.CD

：.CD=IDE=4限

故选A

【点睛】

本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，亘径定理，掌握以上定理是解题的关键.

7、C

【分析】

过点,4作优Lx轴于点G设。。一，，则5。-6-々，根据勾股定理，可得八户BC:=OA2OC~.

从而得到OC=2,进而得到・・・AC=2G,可得到点A（2,2g）,再根据旋转的性质，即可求解.

【详解】

解：如图，过点/作轴于点C,

设OC=〃,贝IJ8C=6-4,

VAC2=OA2-OC2,AC2=Aff2-BC2,

/.AB2-BC2=OA2-OC\

v0A=4,AB=2出,

.,.（2x/7）2-（6-«）2=42-a2,

解得：〃=2,

：.OC=2,

,,AC=JOT_O€^=>/42—2*=2>/3»

・,•点42,2回,

，将498绕原点。顺时针旋转90°,则旋转后点力的对应点A"的坐标是QG,-2),

・••将..408绕原点。逆时针旋转90°,则旋转后点力的对应点4的坐标是(-26,2).

故选：C

【点睛】

本题考查坐标与图形变化一旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是求出点力的坐标，属于中考常

考题型.

8、D

【分析】

根据题意及旋转的性质可得△加。足等边二角形，则上"#-3伊，ZDFC-90°,根据含30度角的直

角三角形的性质，即可求得D/L由勾股定理即可求得CF’,进而求得阴影部分的面积.

【详解】

解：如图，设AC与OE相交于点产，

NAC8=90。，ZA=30°,

.-.ZB=60°,

旋转，

/.BC=CD/FDC=/B=60°,

△OBC是等边三角形，

:.CD=BC=2,ZDCB=60°,

ZACB=90°,Z£>CB=60°,

/.ZDCF=30°,

：.ZDFC=\S0-ZDCF-ZFDC=90°f

:.DF=-CD=\

2t

FC=x/CD2-DF2=G，

・•・阴影部分的面积为'。/xFC=』xlxG=@

222

故选D

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质，利用含30

度角的直角三角形的性质是解题的关键.

二、填空题

1、(-3,2)

【分析】

关于原点对称的点坐标特征为：横坐标、纵坐标都互为相反数：进而求出点4坐标.

【详解】

解：由题意知点B横坐标为()-3=-3；纵坐标为0-(-2)=2；

故答案为：(-3,2).

【点睛】

本题考查了关于原点对称的点的坐标知识.解题的关键在于熟练记忆关于原点对称的点坐标中相对应

的坐标互为相反数.

9

2、0.9—

10

【分析】

根据题意可得长方形的面积，然后依据骰子落在会徽图案上的频率稳定在0.15左右，总面积乘以频率

即为会徽图案的面积.

【详解】

解：由题意可得：长方形的面积为3x2=6,

•・•骰子落在会徽图案上的频率稳定在0.15左右，

，会徽图案的面积为：6X0.15=0.9W2»

故答案为：0.9.

【点睛】

题目主要考查根据频率计算满足条件的情况，理解题意，熟练掌握频率的计算方法是解题关键.

3、百

【分析】

如图，取的中点EV,连接£/；,EM,AM,PM，证明-6MN丝_EMQ,进而证明。在以'上运

动，且反垂直平分PM，根据AQ+PQ=AQ+MQNAM,求得最值，根据正方形的性质和勾股定理

求得AM的长即可求得AQ+PQ的最小值.

【详解】

解.：如图，取8P,尸C的中点瓦尸，连接石尸，EM,AM,PM，

D

将线段MV绕点"顺时针旋转60°得到线段嫄,

MN=MQ,NNMQ=60°

P8C是等边三角形，

:.PB=BC、NPHC=60。

E,F是BRPC的中点,M是的中点

BM=BE

BEM是等边三角形

."ME=60。，BM=BE

/NMQ=NBME

/BME-NNME=NNMQ-NNME

即4BMB=4EMQ

在△8MV和BEMQ中，

BM=EM

,/BMN-EMQ

MN=MQ

BMN-EMQ

NMEQ=NMBN="）。

又NEMB=60。

/MEQ=/EMB

EQ//BC

E.F是BRPC的中点

:.EF//BC

，。点在斯上

•.♦M是/3C的中点，./AC是等边三角,

PM1BC

:.EFVPM

又EP=、PB,EM=EB=>PB

22

:.EP=EM

二.£/垂直平分PM

:.QP=QM

AQ+PQ=AQ+MQ>AM

即4Q+PQ的最小值为4M

••・四边形ABC。是正方形，且A8=2

AQ+PQ的最小值为行

故答案为：75

【点睛】

本题考查了正方形的性质等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，垂

直平分线的性质与判定，根据以上知识转化线段是解题的关键.

4、5

【分析】

由〃边形的对角线有：吗»条，再把〃=5代入计算即可得.

2

【详解】

解：〃边形共有正2条对角线，

2

•••五边形共有维2=5条对角线.

故答案为：5

【点睛】

本题考查的是多边形的对角线的条数，掌握〃边形的对角线的条数是解题的关键.

5、5

【分析】

直接利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解.

【详解】

解：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，

即可知道点。到点儿B,「的距离相等，

如下图：

：.OA=OB=OC=-AB=5

2f

a=5,

故答案是：5.

【点睛】

本题考查了直角三角形的外接网的外心，解题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

即可求解.

6、5

【分析】

直角三角形外接圆的直径是斜边的长.

【详解】

解：由勾股定理得：力庐病主二10,

VZJ67>90°,

・••历是。〃的直径，

・•・这个三角形的外接圆直径是10,

・••这个三角形的外接圆半径长为5,

故答案为：5.

【点睛】

本题考查了三角形的外接圆与外心，知道直角三角形外接圆的直径是斜边的长是关键；外心是三边垂

直平分线的交点，外心到三个顶点的距离相等.

7、65

【分析】

根据切线的性质得到如_L/R根据直角三角形的两锐角互余计算，得到答案.

【详解】

解：•・•力是。。的切线，

・，.OA±AP,

，ZAPO+ZAOP=90o,

VZAPO=25°,

/.ZAOP=90°-ZAPO=90°-25°=65°,

故答案为：65.

【点睛】

本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键.

三、解答题

1、（1）将；（2）AD=2Z）尸；证明见解析；（3）—

3

【分析】

（1）过点。作8J.AB于点，，根据等边三角形的性质与等腰的性质以及勾股定理求得CH=X/5,进

而求得BD=6,在R_EHC中,HE=AH+AE=2,CH=6勾股定理即可求解；

（2）延长。产至K,使得尸K=",连接EK,KC,过点。作力?〃8C,交A3于点P,根据平行四边

形的性质可得，NEDA=/KCA,证明△4PO是等边三角形，进而证明尼dCK,即可证明“他

是等边三角形，进而根据三线合一以及含30度角的直角三角形的性质，可得AZ）=2£>F；

（3）过点。作于点过点。作ONJ.A8,连接M/L交AC于点，，过点。作ON_LAB,

交BE于点、R,过点R作于点。，先证明NEM产=45。，结合中位线定理可得NEBC=45。，进

而可得NNBD=45。,设AN=O产=1,分别勾股定理求得AF,NDARMA,进而根据

CD+AB=CD+AC=CD+CD+AI）=2CD+2DF求得CO+AA,即可求得空三竺的值

【详解】

(1)过点C作c〃J■八8于点〃，如图

将8。绕点。顺时针旋转120°,得到DE,

/.BD=DE,NBDE=120。

:./DBE=NDEB=30。

一ASC是等边三角形

O

/.ZABC=6(),AB=ACtAH=-AB=\

2

，CH=逐

•.・NCBD=ZAI3C-ZABD=30。

：.I3DLACAD=DC=-AB=\

f2

BD=y/3

N£MC=6O0

J.ZE4D=120°

ZADE=1800-ZEAD-ZAED=30°

:.ZAED=ZADE

,.AE=AD=\

在RQEHC中,HE=AH+AE=2,CH=6

EC=y/HE2+HC2=y/22+(V3)2=不

(2)如图，延长。/至K,便得bK=OF,连接EK,KC,过点。作DP〃/?C,交AB于点P,

.点厂是CE的中点

:.FE=FC

又FK=DF

二•四边形CO产K是平行四边形

:.ED=KC,ED//KC

・••4EDA=4KCA

将8。绕点。顺时针旋转120°,得到。E,

BD=DE,4BDE=120°

:.BD=KC

一ABC是等边三角形

：.AB=AC

PD//BC

:.^APD=^ABC=ar,Z.CBD=zLPDB,

是等边三角形

AD=AP

-AB=AC

:.DC=PB

设NC8O=。，则=

/.ZABD=ZAPD-ZPDB=60°-«,ZADB=60°+a

ZADE=ZfiDE-ZADB=120c-(60+a)=60°-«

ED//KC

：.ZACK=AADE=O)0-a

ZABD=ZACK

・•..ABD^.,ACK

：.AK=AD,ZKAC=ZDAB=O)°

.•._4Q是等边三角形

DF=FK

ZFAD=-^KAD=3O°,AF1DF

2

DF=-AD

2

即A。=2。产

（3）如图，过点。作于点过点。作ONJL48,连接“尸，交4c于点H,过点。作

DN1AB,交BE于点、R,过点R作RQ_LB。于点Q,

/.NGMD=NGFD=90°

8,£>,EG四点共圆

:.NFGD=4FMD

由（2）可知A尸_1_力产，ZE4D=3O°

ZADF=60°

FG=FD

:.NFDG=NFGD=45。

4FGD=4FMD=45°

将8。绕点拉顺时针旋转120°,得到OE,

；,BD=DE,NBDE=l20。

:.MB=ME=-BE

2

・••尸是女的中点，

.•.M尸是.所。的中位线

MF//BC

:"EBC=/EMF=45。

・・ZABC=60°

ZABE=ZA4C-ZEBC=60°-45°=l5°

zLNBD=ZABE+UEBD=15"+3（F=45c

.••.N8。是等腰直角三角形

:.ND=NB

NH4C=60。

4BAF=ZBAD+ZDAF=90°

/AFD=90°,DNA.AB

二四边形AND尸是矩形

;.ND=AF,AN=DF

设人"=。/=1

在用“。后中，AD=2DF=2

：.AF7AU-DF?=6

:.AB=AN+NB=AN+ND=AN+AF=\+y/3,

DC=AC-AD=AB-AD=\+y/3-2=y/3-1

在Ri_NBD中,ND=NB=AF=y/i

BD=五NB=瓜

在册MBD•|«MB=y）BD2-MD2=—BD=—

22

/.BE=2BM=3五

.\CD+^=CD+>AC=CD+CD4-AD=2CD+2DF=2(X/3-1+1)=2X/3

.CD+AB2g卡

"BE~yj2~~

【点睛】

本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，同弧

所对的圆周角相等，四点共圆，三角形全等的性质与判定，等腰三角形的性质与判定；掌握旋转的性

质，等边三角形的性质与判定是解题的关键.

2、

(1)4

⑵g

【分析】

(1)由旋转知：4聆力俏1,B2B3将△47。的周长转化为JW；

(2)由产=270°,得N"氏9(T,利用勾股定埋列方程即可.

(1)

解：由旋转知：力JU4G4,B归BO3-x,

，△力砥的周长为：AC+AB+B8伸4；

故答案为：4；

(2)

解：•・・a+£=270°,

：.ZCAB+ZCBA=^0°-270°=90°,

・・・N力叱180°-1/CAB^/CBA)

=180°-90°

=90°,

:・AC+BC=A#,

即i2+（3-x）2=y,

解得x=:.

J

【点睛】

本题主要考查了旋转的性质，勾股定理等知识，证明/力止90°是解题的关键.

3、（1）①比工牛证明见详解；②见详解；（2）2力必=4力1+函.证明见详解.

【分析】

（1）①如图所示，BCVCF.根据将线段/应逆时针旋转90°得到线段//,得出力6/出/创户90°,

可证△砌陛（SAS）,得出N4除N/67M5。，可得Na户/戊Z+N力说45°+45°=90°即可：

②根据力刃_比；BCLCF.可得力〃〃6E可证△协叱△叱；可得空=婴，得出即可；

BCBF2

（2）2力/=44为阴，延长应交成延长线于"根据等腰三角形性质可得力〃平分/砌C,可得/协氏

ZCAD=^BAC=45°t可证△物E△为正，得出止2/1G,再证△四屋△/1/月（AAS）,得出除小2/1G,

利用勾股定理得出EF2=AE2+AF-=2AE2，EF2=EC2+CF1即2AE2=4AG2+BE2即可.

【详解】

解：（1）①如图所示，BC±CF.

;将线段力后逆时针旋转90°得到线段/伊，

：.AE=AF,/胡片90°,

：.ZEAC+ZCA^0°,

VAB=ACfZBAC=9O°,

：・/BAE+/EAC=9Q0,/ABC=/ACS,

:"BAE=/CAF,

在△创£'和中,

AB^AC

<ZBAE=^CAF,

AE=AF

:、XBAaXCAFkSg、

:・NA循NAC片45°,

:/Ee/AC卅/Ad5。+45°=90°,

:.BCICR

②•・•/〃_!_笈GBCVCF.

:.AD〃CF,

・•・/8RN6诉90°,4BGF4BFC,

:ABDGSXBCF,

.BD_BG

VAB=AC,ADLBC,

：.BD=DC=-BC,

2

・・・把上

BC~BF

.BGI

••---=—，

BF2

:.BG'BF,

2

:.B小G比

(2)2AE=4AG+B「延长以交b'延长线于"

VADIBC,AB=AC,

:・AD平分/EAC,

・•・ZBAD=ZCAD=-/BAC=45"

2

•:BG^GF,AG〃HF,

・・・/的•/沪45°,4AGB=4HFB,

:•△BAGSRBHF,

.AG_BG_\

••诉一定一5'

：.HF-2AG,

VZJ6^=45°,

：・4ACE=4H,

•：ZEAC+ZCA/^90°,NOaN科庐90°,

:./EAO/FAH,

在△1弘和△力77/中，

ZACE=ZAHF

,NEAC=NFAH,

AE=AF

:.△AEC^XAFH(AAS),

：.EC=F!i=2AG,

在Rt△/必尸中，根据勾股定理EF2=AE2+A尸=2AE2，

在Rt△的中，EF1=EC2+CF2BP2AE2=4AG2+BE2.

【点睛】

本题考查图形旋转性质，三角形完全判定与性质，等腰直角三角形性质，三角形相似判定与性质，勾

股定理，掌握图形旋转性质，三角形完全判定与性质，等腰直角三角形性质，三角形相似判定与性质，

勾股定理是解题关键.

4、(1)15°；(2)DF=y/5

【分析】

(1)根据旋转的性质得AC=A£,AB=AD,ZACB=ZAED=90°,N3AC=NZME=45。，通过等量

代换及三角形内角和得NAEC=NA£>8,根据四点共圆即可求得；

(2)连接两先证明出△长1陛△OEF(SAS),根据全等三角形的性质得N8£F=N8FE=45。，在.BDE

中利用勾股定理，即可求得.

【详解】

解：⑴由旋转可知:

AC=AEfAB=AD,NAC8=NAED=90。，N3AC==45。，

z：BAD=Z.CAE.ZACE=ZA£：C,

由三角形内角和定理得=

・,•点/D,F,£共圆.

:・NBFE=NDAE=45。.

(2)连接EB,

•:AC=AEt

・•・ZACE=ZAEC.

,/ZACB=ZAED=90°,

/.ZBCE=^DEF.

又,：CE=EF,CB=ED,

・•.△BCE^ADEF(SAS).

:・/BEC=4DFE,BE=DF.

：.Z1BEF=Z1BFE=45°.

在，BDE中，ZDBE=90°,BF=BE=DF,DE=5,

•:BE2+BD?=DE?，

：.DF=>/5.

【点睛】

本题考查了旋转的性质、三角形全等判定及性质、勾股定理、三角形内角和等，解题的关键是掌握旋

转的性质.

5、

【分析】

(1)直接根据概率公式即可得出答案；

(2)根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可

得出答案.

(1)

解：在“2”中已选择了地理，从剩下的化学、生物，思想品德三科中选一科，

因此选择生物的概率为

故答案为：：；

(2)

解：用树状图表示所有可能出现的结果如下：

开始

/K/T\/N/N

思品生物化学地理生物化学地理思品化学地理生物思品

共有12种等可能的结果数，其中选中“化学”“生物”的有2种,

21

贝化中像)=豆=不・

在“1”中选择物理的概率=3,

••・同时选择物理、化学、生物的概率

2612

故答案为：

【点睛】

本题考杳的是用列表法或树状图法求概率，解题的关键是掌握列表法可以不重复不遗漏的列出所有可

能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为：概

率=所求情况数与总情况数之比.

6、图见解析.

【分析】

根据左视图和俯视图的画法即可得.

【详解】

解：画图如下：

【点睛】

本题考查了左视图和俯视图，熟练掌握左视图(是指从左面观察物体所得到的图形)和俯视图(是指

从上面观察物体所得到的图形)的画法是解题关键.

7、(1)R；(2)-x/2<x;(3)1</?<2>/5«£--

p22

【分析】

(