高考物理一轮复习 第十一章 第62课时 专项强化：带电粒子在立体空间和交变电磁场中的运动

考点一带电粒子的螺旋式运动

空间中的匀强磁场和匀强电场（或重力场）平行时，带电粒子在一定的条件下就可以做螺旋式运动，这

种运动可分解为平行于磁场方向的匀变速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。

【例1】（I）如图甲所示，在空间中存在水平向右、沿x轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为8,在

原点。有一个质量为小、带电荷帚为夕的带正电的粒子以速度妙0垂直X轴射入磁场，不计粒子的重

力，分析粒子的运动情况，求粒子运动轨迹距离X轴的最远距离。

甲

（2）如弱乙所示，若粒子的速度方向与x轴正方向的夹角为仇

-------------------»B

一

____________X

乙

①试分析粒子的运动情况；

②求粒子运动的轨迹距X轴的最远距离及轨迹与X轴相邻交点之间的距离。

（3）如纽丙所示，若在空间再加上沿X轴正方向电场强度大小为£的匀强电场，粒子速度方向仍与x轴

正方向成。角。

--------

丙

①试分析粒子的运动情况；

②求粒子离X轴的最大距离；

③求粒子第三次（起始位置为第零次）与“轴相交时的位置坐标。

答案见解析

解析（1）粒子在垂直X轴的平面内做匀速圆周运动，距X轴最远距离等于粒子轨迹圆的直径

由仆必二〃片D\=2R\得。尸乂詈；

RiqtB

（2）①粒子初速度历沿4轴方向的分量Vo.v=V（jCOS仇

在垂立于x轴方向的分量vo.v=vosin仇

在垂立于x轴的平面内受洛伦兹力，粒子在垂直于x轴的平面内做匀速圆周运动，在平行于*轴方向做匀

速直线运动，即做等距螺旋式运动。

②由q\\hB=nr^-,得D2=2R2=2mV°^ntio

R?qB

粒子做匀速圆周运动的周期丁=空生=空詈

voyqB

轨迹与X轴相邻交点之间的距离

2被小陋3；

qB

(3)①将粒子的初速度小分解为沿工轴方向的分速度侬和垂直x轴方向的分速度voy,vo.v=v()cos0,vo)-=vosin

0

F户qv祖---------B

飞x

洛伦兹力方向与X轴垂直，粒子在垂直X轴的平面内做匀速圆周运动，在平行X轴方向在睛电力作用下做

匀加速直线运动，粒子做螺距逐渐增大的螺旋式运动。

②由如0、右二〃熠，得粒子做圆周运动的半径

R3

D_mp0y_mv0sinf?

3-qB-qB~~，

粒子离x轴的最大距离小=2尺尸即^誓。

qB

③在x轴方向，qE=ma,粒子第三次与x轴相交时的位置■坐标x=V[)xtI，

粒子从射出至第三次到x轴时间仁37二2二如"，

vOyqB

故x=^^(v()cos例3；E)。

拓展若电、磁场方向均沿X轴正方向，粒子射入磁场的方向与X轴垂直，如图所示，粒子与X轴的交点

坐标莺、闷、工3…满足什么关系？

---------

I-E一

一X

答案见解析

解析粒子做螺旋式运动，且到达X轴的时间间隔相等，在X轴方向做初速度为0的匀加速直线运动，故

即：用：、…=1:4:9…。

考点二带电粒子在立体空间中的运动

分析带电粒子在立体空间中的运动时，要发挥空间想象力，确定粒子在空间的位置关系。带电粒子依

次通过不同的空间，运动过程分为不同的阶段，只要分析出每个阶段上的运动规律，再利用两个空间

交界处粒子的运动状态和关联条件即可解决问题。一般情况下利用降维法，要将粒子的运动分解为两

个互相垂直的分运动来求解。

【例2】(2025•广东省六校联考)如图所示，三维坐标系。-町2内存在着正四棱柱空间区域，正四楂柱的

截面。PMN水平且与AC。广〃G”的两个底面平行，其中A点的坐标为(0,%,0),。点的坐标为

(0,5,L),正四棱柱ACDF-OPMN空间处于沿)，轴方向的匀强电场中，OPMN-/JG”空间处于沿y

6

轴负方向的匀强磁场中，质量为小电荷量为刊的粒子以速度比从A点沿A力方向射出，经电场偏转

后恰好从截面OP/WN的中心进入磁场区域，不计粒子的重力。

(1)求匀强电场的电场强度;

(2)若粒子恰好未从四棱柱的侧面飞出，求匀强磁场的磁感应强度8的大小。

答案(1)殁詈，方向沿)，轴负方向⑵纪祥

解析(1)粒子在电场中做类平抛运动，沿4。方向有告Gif

沿y轴方向有匹L=LF

62

沿y轴方向的加速度。=黑

解得匀强电场的电场强度大小为所也叱

3qL

方向沿)，轴负方向。

(2)粒子到达OPMN的中心，如图口所示，平行于正四棱柱底面的分速度大小始终为物，带也粒子在平行

于正四棱柱底面的方向上做匀速圆周运动，恰好不从四棱柱的侧面飞出，作出圆轨迹如图乙所示

由洛伦兹力提供向心力，有〃竽

解得口=空变出。

qL

考点三带电粒子在交变电磁场中的运动

解决带电粒子在交变电、磁场中的运动问题的基本思路

先读图看清并旦明臼场的变化情况

受力分析分析粒子在不同的变化场区的受力情况

过程分析分析粒子在不同时间段内的运动情况

找衔接点找出衔接相邻两过程的物理量

选规律联立不同阶段的方程求解

【例3】如图(a)所示的xO)，平面处于变化的匀强电场和匀强磁场中，电场强度E和磁感应强度B随时间

/做周期性变化的图像如图(b)所示，轴正方向为E的正方向，垂直于纸面向里为5的正方向，『0时

刻，带负电的粒子P(重力不计)由原点O以速度MO沿y轴正方向射出，它恰能沿一定轨道做周期性运

动。血、仇和行为已知量，且用二警，在07。时间内粒子P第一次离x轴最远时的坐标为心也，出今。

2

Bonnn

求：

(a)(b)

(1)粒子P的比荷；

(2)U2/。时刻粒子P的位置坐标；

(3)带电粒子在运动中距离原点。的最远距离L。

答案⑴wt(2)(平见5°)⑶等Wo

解析(l)O~/o时间内粒子P在匀强磁场中做匀速圆周运动，

当粒子所在位置的纵、横坐标相等时，粒子在磁场中恰好经过;圆周,

所以粒子P第一次离x轴的最远距离等于轨道半径R,即逆

又叫%=嗒，,翳

联立解得g=*-。

mnEoto

(2)设粒子P在磁场中运动的周期为T,

则T=—=4h

VO

即粒子P做工圆周运动后磁场变为电场，粒子以速度用垂直电场方向进入电场后做类平抛运动，

4

2

设加~2击时间内水平位移和竖直位移分别为朴yi,则Xi=voZo=y,y\=^at0

其中加速度斫血

m

联立解得y产二也二R

-1T

因此;=2/o时刻粒子P的位置坐标为("vVo,0),如图中的少点所示。

1T

(3)分析知，粒子P在2/o~3fo时间内，静电力产生的加速度方向沿y轴正方向，由对称关系知，在3")时刻

速度方向为X轴正方向，位移X2=Xl=V()f0；

在3/o~5/o时间内，粒子P沿逆时针方向做匀速圆周运动，往复运动轨迹如（2）中图所示，由图可知，带电粒

子在运动中距原点。的最远距离即。、d间的距离，则心=2/?+2用，解得竺竺i，oM。

7T

课时精练

［分值：50分］

1.（6分）如图所示，空间存在沿x轴正方向的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小为E,磁感应强度大小为

B。片0时刻，质子以初速度顼从坐标原点。沿y轴正方向射出，—知质子质量为/〃，电荷量为e,重力不

计，则（）

A.片中时刻，质子的速度沿z轴的负方向

B.片詈时刻，质子的坐标为（霖，0,鬻）

C.质子可多次经过x轴，且依次经过x轴的坐标值之比为1：4：9-

D.质子运动轨迹在）0z平面内的投影是以O点为圆心的圆

答案C

解析沿工轴方向，在静电力作用下做初速度为零的匀加速直线运动，根据左手定则，洛伦兹力初始时刻

沿z轴负方向，可判断质子在），Oz平面做匀速圆周运动，所以质子运动轨迹在），Oz平面内的投影是经过O

点的圆，且做圆周运动的周期及登，当U等弓了时刻，在.vOz平面质子分速度方向沿），轴负方向，沿x

轴方向分速度沿x轴正方向，所以质子的合速度方向不沿z轴的负方向，故A、D错误；仁登苫丁时刻，

沿x轴方向"〃口，后%尸二潦•噌尸苦嘉，在），Oz干面内，正好经过半个周期，则产0,Z=-2L-鬻，所

以质子的坐标为（霭，°，-鬻），故B错误；质子每经过一个周期可经过一次x轴，沿x轴方向在静电力

作用下做初速度为零的匀加速直线运动，根据比例关系可知依次经过x轴的坐标值之比为1：4：9…，故

C正确。

2.（14分）某质谱仪部分结构的原理图如图中所示。在空间直角坐标系Oxyz的）＞0区域有沿.z方向的匀强电

场，电场强度大小为E,在产（）区域有沿-z方向的匀强磁场，在x=-2d处有一足够大的屏，俯视图如图

乙。质量为小、电荷量为q的粒子从），轴上?（0,0）点以初速度如沿十），方向射出，粒子笫一次经过x

轴时速度方向与7•方向的夹角e60。。不计粒子的重力，粒子打到扉上立即被吸收。求：

甲

（1）（2分）粒子的电性；

（2）（4分）磁感应强度大小B；

⑶（8分）粒子打到屏上位置的z轴坐标zio

答案⑴正电⑵等（3）-竺手

2aqmv0

解析（1）粒子在磁场中的运动轨迹如图

由左手定则知粒子带正电;

（2）设粒子做圆周运动的半径为广，由几何关系有冗os64,根据洛伦兹力提供向心力>oB=/〃竽，解得

§二邛凹

-2dq

（3）设粒子经过X轴时的坐标为-X）,

则Xi+kin0=2d

粒子在y>0区域电场中做类平抛运动，在x0y平面内沿也）方向做匀速直线运动，设粒子碰到屏前做类平抛

运动的时间为人，

则vocosO't\=2d-x\,

粒子运动的力口速度a=—

m

在Z轴负方向运动的距离Zy-^at^

解得k四，吗

2

VOmv0

所以打到屏上位置的Z轴坐标Z产一始绊。

3.（15分）（2025・陕晋青宁卷・14）电子比荷是描述电子性质的重要物理量。在标准理想二极管中利用磁控法可

测得比荷，一般其电极结构为圆筒面与中心轴线构成的圆柱体系统，结构简化如图⑶所示，足够长圆柱形

筒半径为R。在圆筒中央。点有一电子源，向空间中各个方向发射速度大小为卬的电子，某时刻起筒内加

大小可调节且方向沿中心轴向下的匀强磁场，筒的横截面及轴截面示意图如图（b）所示，当磁感应强度大小

调至Bo时，恰好没有电子落到筒壁上，不计电子间相互作用及其重力的影响。求（R、即、8。均为己知

量）：

⑴。分）电子的比荷壬

（2）（10分）当磁感应强度大小调至，。时，筒壁上落有电子的区域面积S。

答案（1）舞（2）273兀2R2

解析（1）当磁场的磁感应强度为员时，恰好没有电子落到筒壁上。

则以速度如垂直轴线方向射出的电子，轨迹恰好与圆筒壁相切，轨迹半径R）音

根据洛伦兹力提供向心力可得eB（M=嗒

Ro

联立解得义二也

mBQR

（2）磁感应强度调整为手后，当电子速度与磁场不垂直时，将电子速度沿垂直轴线和平行轴线方向进行分

解，分别设女、Vy,电子将在垂直轴线方向上做匀速圆周运动，产行轴线方向上做勺速直线运动，电子击

中筒壁距离粒子源的最远点时，其垂直轴线方向的圆周运动轨迹与筒壁相切，则轨迹半径仍为R尸?

根据涔伦兹力提供向心力可得净・啜

联立解得匕=?

由射出到相切，经过半个周期，用时广工，义典/x2nm2nmTTR

22Vx2哼一e%~vQ

22

根据速度的合成与分解可知Vy-y/v^—Vx-^Vo

平行轴线方向运动距离y=vyt=^R

结合对称性，被也子击中的面积S=2X2TiRy=26WK。

4.（15分）（2024.广东卷.15）如图甲所示，两块平行正对的金属板水平放置，板间加上如图乙所示幅值为Uo、

周期为/o的交变电压。金属板左侧存在一水平向右的恒定匀强电场，右侧分布着垂直纸面向外的匀强磁

场，磁感应强度大小为儿--带电粒子在仁0时刻从左侧电场某处由静止释放，在U/O时刻从下板左端边

缘位置水平向右进入金属板间的电场内，在r=2io时刻第一次离开金属板间的电场、水平向右进入磁场，并

在片3/°时刻从下板右端边缘位置再次水平进