二控制系统状态空间表达式的解PPT课件

1、第二章控制系统状态空间表达式解，2.1线性平稳齐次状态方程解(自由解)，2.2矩阵指数函数状态转移矩阵2.3线性平稳系统非齐次方程解，2.4线性时变系统解，2.5离散时间系统状态方程解，2.6连续时间状态空间表达式离散化，2.2本章要求理解和掌握的内容：正确理解连续时间状态空间表达式的离散化。求解线性时不变系统状态方程的方法需要理解的内容有：求解线性离散系统和时变系统状态方程的方法。焦点：状态转移矩阵和状态方程的求解。本章通过求解系统方程来研究系统性能。由于系统的状态方程是矩阵微分方程，输出方程是矩阵代数方程。因此，只要得到状态方程的解，就可以很容易地得到系统的输出，进而研究系统的性能。自由运

2、动：当没有控制作用，即u=0时，由线性稳定系统的初始状态引起的运动称为自由运动。受迫运动：线性稳定系统在控制器u作用下的运动称为受迫运动。非齐次状态方程的解：2.1线性定常齐次状态方程的解(自由解)，1，线性定常系统的运动，5，2，齐次状态方程：满足初始状态的解：满足初始状态的解：线性稳态齐次状态方程(自由解)的2.1解。6，线性定常系统的齐次状态方程，(1)，将方程(3)代入方程(2)，此时，系统的输入为零，2.1线性定常齐次状态方程的解(自由解)和方程两边的t的同次幂的系数相等，因此，存在着将方程(5)代入方程(1)，2.1线性定常齐次状态方程的解(自由解)的解(自由解)。8，2.1线性常

3、数齐次状态方程，以及。9，如果是，(8)，将等式(8)代入等式(1)进行验证，并且矩阵指数函数也被称为状态转移矩阵，它们被记录为。因此，此时的移动被称为自由移动。的形式是由，也就是说，矩阵A是唯一的一个。2.1线性稳态齐次方程的解(自由解)。10，1。状态转移矩阵，线性稳定系统的齐次状态方程：满足初始状态的解：满足初始状态的解：已知：线性稳定系统的状态转移矩阵，2.2矩阵指数函数状态转移矩阵，11，描述1:状态转移矩阵必须满足以下两个条件：1)状态转移矩阵的初始条件：2)状态转移矩阵满足状态方程本身：说明2:对于线性时不变系统，状态转移矩阵本身是矩阵指数函数。说明3:状态转移矩阵的物理意义：从

4、时间的角度来看，状态转移矩阵使状态向量随着时间的推移在状态空间中不断地进行坐标变换和转移，所以称之为状态转移矩阵。2.2矩阵指数函数状态转移矩阵，12.2，2.2矩阵指数函数状态转移矩阵，自由运动是零输入响应的属性：1。几何表示是状态空间中的一条轨迹，由不同时刻的初始状态点和变换点组成；2.运动属性状态随时间的演化轨迹属于初始状态偏离系统平衡状态引起的自由运动。(典型例子：末级火箭脱落后人造卫星的运动轨迹属于自由运动，脱落时的运动状态为初始状态。)，13，2.2矩阵指数函数状态转移矩阵，3，形状的自由运动轨迹的形状由且仅由系统的矩阵指数函数决定。不同的系统矩阵导致不同形式的矩阵指数函数，从而导

5、致不同形式的轨迹。这表明矩阵指数函数，即系统矩阵，包含了自由运动形式的所有信息。4.当且仅当矩阵指数函数最终趋于0时，属性x=0的自由运动轨迹趋于系统的平衡状态；(渐近稳定)，14，2，状态转移矩阵的基本性质，2.2矩阵指数函数状态转移矩阵，15，3)可逆性，即2.2矩阵指数函数状态转移矩阵，6)时间性。16，3，几个特殊的矩阵指数函数，(1)如果，即，A是对角矩阵并且具有相互不同的元素，则有，2.2矩阵指数函数状态转移矩阵，17，(2)如果A可以通过非奇异变换转换成对角矩阵，即，2.2矩阵指数函数状态转移矩阵，18，则有，(3)设A为Jordan矩阵，即2.2矩阵指数函数状态转移矩阵，19，

6、则有，(4)设A为Jordan矩阵，即2.2矩阵指数函数状态转移矩阵，20，4。状态转移矩阵的计算，直接解法：根据定义标准方法：对角标准形式和约当标准形式拉普拉斯逆变换方法待定系数法：凯利-哈密顿定理，2.2矩阵指数函数状态转移矩阵。21岁。得到的解不是解析形式，适合计算机求解。根据状态转移矩阵的定义，这个无穷级数对于所有有限t值都是收敛的。2.2矩阵指数函数状态转移矩阵。22，2，求解的标准方法：思路：根据状态转移矩阵的性质，进行非奇异线性变换得到：同时结合以上两个公式，得到：有两种标准形式：对角矩阵，Jordan矩阵，2.2矩阵指数函数状态转移矩阵，23，其中：t是将a转换为对角标准的非奇

7、异变换矩阵。(1)当A的特征值互不相同时：对角标准型，求状态转移矩阵的步骤：1)首先求A矩阵的特征值。2)找到相应的特征向量，得到t矩阵和t的逆矩阵。3)代入上述公式，得到状态转移矩阵的值。2.2矩阵指数函数状态转移矩阵。24，(2)当A有N重特征根时：约当标准型，其中：T是将A变换成约当标准型的非奇异变换矩阵。求矩阵的指数函数的过程与求对角标准形的过程相同：求特征值、特征向量和变换矩阵。所解释的是，对于所有的多个特征值，构造了Jordan块，Jordan矩阵与非多个特征值一起形成，并根据状态转移矩阵的性质获得。2.2矩阵指数函数状态转移矩阵。25，3，待定系数法：用转化为a的有限项多项式来求

8、解：让nn维矩阵a的特征方程为：(1) Kelley-Hamiltonian(以下简称C-H)定理：则矩阵a满足其自身的特征方程，即：2.2矩阵指数函数状态转移矩阵，26岁。从定理中可以看出，所有高于a的(n-1)次幂都可以用a的0(n-1)次线性度来表示。我们可以把这个公式代入定义中得出以下结论：其中：t的标量函数可以由a的特征值来确定，2.2矩阵指数函数状态转移矩阵。27，(2)将有限项多项式转换成a可以求解，根据C-H定理，将有限项表达式转换成a，即封闭形式：其中：t的标量函数可以根据a的特征值来确定，2.2矩阵指数函数当状态转移矩阵的特征值，28，1)A互不相同，推导：采用一种可转换成

9、对角矩阵的矩阵指数函数法。注：在推导时，我们可以看到：2.2矩阵指数函数的特征值状态转移矩阵，29，2)A是(n个多重根)。推导：此时，只有一个方程：没有n-1个独立的方程，所以我们需要对上述方程进行n-1次求导，得到剩余的n-1个方程。这表明，无论特征值不同还是有多个根，我们只需要记住方程(3)。对于不同的特征值，可以直接得到每个特征值的方程。对于特征值m的多个根，m-1阶2.2矩阵指数函数状态转移矩阵。31，例：求下列矩阵a的状态转移矩阵，解: 1)直接算法(略)，2.2矩阵指数函数状态转移矩阵，32，2)用拉普拉斯变换法求解，2.2矩阵指数函数状态转移矩阵，33，3)用标准方法求解，得到

10、：用不同的特征根，用对角标准方法。A是伴随矩阵的形式。首先，计算特征值：2.2矩阵指数函数状态转移矩阵。34，2.2矩阵指数函数状态转移矩阵。35，4)用待定系数法求解。在第三种方法中，已经获得了特征值，因此获得了：矩阵指数函数如下：2.2矩阵指数函数状态转移矩阵。36或：通过求和获得：从而获得系数，2.2矩阵指数函数状态转移矩阵，37，由凯莱-哈密尔顿定理计算，由凯莱-哈恩定理得到解，因此，2.2矩阵指数函数状态转移矩阵的特征值，2.2矩阵指数函数状态转移矩阵，所以。39，状态转移矩阵，2.2矩阵指数函数状态转移矩阵，40，补充：矩阵A可以通过线性变换转换成模态矩阵。计算表明，如果矩阵A的特

11、征值是共轭复数并经过线性变换，它可以被变换成模态矩阵M，其中2.2矩阵指数函数状态转移矩阵，41岁。如果线性常数系统的非奇异状态方程存在解，解的形式如下：1 .线性系统的运动规律、初始状态引起的响应、零输入响应、输入诱导响应、零状态响应表明，与线性时不变系统齐次状态方程的解不同，齐次状态方程的解仅由初始状态引起的响应组成。2.3线性定常系统的非齐次方程的解。42、证明:1)首先写出状态方程，3)在区间内积分上述公式，得到：2)两边的左乘法，利用的性质，2.3线性定常系统的非齐次方程的解。43、系统的运动由两部分组成。第一部分是由输入矢量为零时的初始状态引起的，这相当于自由运动。第二部分是初始状

12、态为零时输入矢量引起的强迫运动。正是因为第二部分的存在，系统才有可能通过选择合适的输入向量来满足期望的形状。2.3线性定常系统非齐次方程的解。例线性定常系统的状态方程是，2.3线性定常系统的非齐次方程解。45，系统的输出方程是，那么，或者，显然，系统的输出由三部分组成。当得到系统状态转移矩阵时，可以得到不同输入状态向量下的系统输出，进而分析系统性能。2.3线性定常系统非齐次方程的解。46，2.3线性定常系统的非齐次方程的解，解：47，2.3线性定常系统非齐次方程的解。48，2，特定输入下的状态响应，1，脉冲响应，2，阶跃响应，3，斜率响应，2.3线性定常系统非齐次方程的解。49、线性时变系统方

13、程是，一、时变系统状态方程解的特征，2.4线性时变方程解，其，50，齐次状态方程，初始状态是，其中，是状态转移矩阵，并且满足下面的方程：满足初始条件，假设线性时变齐次系统的解具有下面的形式，然后证明，2.4线性时变方程的解，2.2线性时变齐次矩阵微分方程的解，(1)。51，证明，(1)方程的两边都微分t和时间，即2.4线性时变方程的解，52，1)满足它们自己的矩阵微分方程和初始条件，即2)可逆性，2.4线性时变方程的解，3)状态转移矩阵的基本性质，3)传递性，4)，53，2.4线性时变方程的解，4)线性时变系统的非齐次状态方程的解，(参见第73页的证明)，因此，54、用级数逼近法计算，2.4线

14、性时变方程的解，5、状态转移矩阵的计算，一般为：55，解，将被代入计算公式，其中：2.4线性时变方程解，56，或，2.4线性时变方程解，6，系统输出。57，系统的齐次状态方程是：其中x(k)是n维状态向量，系统的齐次状态方程的解可以通过迭代法得到，2.5离散时间系统状态方程的解，1，线性常值离散系统的齐次状态方程的解。58、如果系统的初始状态是，那么，系统将是线性不变离散时间系统的形式。1)基本性质，(1)满足自己的矩阵差分方程和初始条件，(2)传递性，(3)可逆性，离散系统状态方程的2.5解，2，状态转移矩阵，59，2)状态转移矩阵的计算，状态转移矩阵有四种计算方法：1)按定义计算；(2)采

15、用Z逆变换计算；(3)应用凯哈定理计算；(4)通过线性变换计算。2.5离散时间系统的状态方程的解。60，讨论了求解线性定常离散系统的两种方法：1 .递归方法(迭代法):适用于线性稳态和时变系统；2.z变换法：仅适用于线性稳定系统。2.5离散时间系统状态方程的解。61，给定时间的初始状态x(0)，以及任何时间的u(k)。初始状态诱导响应的状态轨迹表达式，输入诱导响应，2.5离散时间系统状态方程解，62，1)是状态空间中的离散轨迹。它非常类似于连续系统状态的解。解的第一部分只与系统的初始状态有关，即由初始状态引起的自由运动分量。解决方案的第二部分是由输入子采样信号引起的强制分量，其值与控制动作U的

16、大小、性质和结构有关。在由输入引起的响应中，第k时刻的状态仅取决于该时刻之前的所有输入采样值，而与第k时刻的输入采样值无关。2.5、离散时间系统状态方程的求解。64，3)与连续时间系统相比，在离散时间系统中，状态转移矩阵定义为：使用状态转移矩阵，解可以写成：离散时间系统状态方程的2.5解。65，离散时间系统的状态方程：z-变换上述公式的两边：z-逆变换上述公式的两边，比较上述公式和迭代法的结果，2，z-变换方法：2.5，离散时间系统的状态方程解，66，get:证明：2.5离散时间系统状态方程解，67，在单位阶跃输入下找到离散时间系统状态方程的解。在该公式中，给定的初始状态是，并且常数离散时间系

17、统的状态方程被称为，因为输入是单位阶跃函数，所以，1)迭代法，2.5离散时间系统的状态方程的解，68，2.5离散时间系统的状态方程的解，69，因为输入是单位阶跃函数，有，2)Z变换方法，并且x(k)的Z变换是，将g，h，U(z)，x(0)代入Z变换公式，70，整理出：上述公式z的逆变换有：2.5离散时间系统状态方程解，71，输入和输出信号requi(1)离散化的必要性，(2.6)连续时间状态空间表达式的离散化，(72，2)离散化方法：(采样器保持器)，零阶保持器：将离散信号r*(t)转换成步进信号u(t)，采样器：将连续信号r(t)调制成离散信号r*(t)。2.5离散时间系统状态方程的求解，2.6连续时间状态空间表达式的离散化。73，2，3基本假设：1)离散化方法是常见的周期性采样。采样间隔相等，采样周期为t；采样脉冲宽度比采样周期小得