勾股定理的各类题型

1、勾股定理各种题型：一：勾股定理面积相等法：方法1：方法2：方法3：二：方程思想和勾股定理结合的题目1.（2016春宜春期末）一旗杆在其的b处折断，量得ac=5米，则旗杆原来的高度为（）a米b2米c10米d米【考点】勾股定理的应用菁优网版权所有【分析】可设ab=x，则bc=2x，进而在abc中，利用勾股定理求解x的值即可【解答】解：由题意可得，ac2=bc2ab2，即（2x）2x2=52，解得x=，所以旗杆原来的高度为3x=5，故选d【点评】能够利用勾股定理求解一些简单的直角三角形2.（2016春防城区期中）如图，在abc中，b=40，efab，1=50，ce=3，ef比cf大1，则ef的长为（

2、）a5b6c3d4【考点】勾股定理；平行线的性质菁优网版权所有【分析】由平行线的性质得出a=1=50，得出c=90，设cf=x，则ef=x+1，根据勾股定理得出方程，解方程求出x，即可得出ef的长【解答】解：efab，a=1=50，a+b=50+40=90，c=90，设cf=x，则ef=x+1，根据勾股定理得：ce2+cf2=ef2，即32+x2=（x+1）2，解得：x=4，ef=4+1=5，故选：a【点评】本题考查了平行线的性质、直角三角形的判定、勾股定理；熟练掌握平行线的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键3.（2015春蚌埠期中）已知，如图长方形abcd中，ab=3cm，ad=9

3、cm，将此长方形折叠，使点b与d重合，折痕为ef，则be的长为（）a3cmb4cmc5cmd6cm【考点】翻折变换（折叠问题）菁优网版权所有【分析】根据折叠的性质可得be=ed，设ae=x，表示出be=9x，然后在rtabe中，利用勾股定理列式计算即可得解【解答】解：长方形折叠点b与点d重合，be=ed，设ae=x，则ed=9x，be=9x，在rtabe中，ab2+ae2=be2，即32+x2=（9x）2，解得x=4，ae的长是4，be=94=5，故选c【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，根据勾股定理列出关于ae的长的方程是解题的关键4.（2008秋奎文区校级期末）在我国古代数学

4、著作九章算术中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如图所示，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面那么水深多少？芦苇长为多少？【考点】勾股定理的应用菁优网版权所有【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答【解答】解；设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，根据勾股定理得：，解得：x=12（尺），芦苇的长度=x+1=12+1=13（尺），答：水池深12尺，芦苇长13尺【点评】此题是一道古代问题，体现了我们的祖先对勾股定理的理解，也体现了我国古代数学的辉煌成就三：勾股定理应

5、用：求最短距离问题1.（2014秋环翠区期中）如图，长方体的底面边长为1cm和3cm，高为6cm如果用一根细线从点a开始经过4个侧面缠绕一圈到达b，那么所用细线最短需要（）a12cmb11cmc10cmd9cm【考点】平面展开-最短路径问题菁优网版权所有【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果【解答】解：将长方体展开，连接a、b，则aa=1+3+1+3=8（cm），ab=6cm，根据两点之间线段最短，ab=10cm故选c【点评】本题考查了平面展开最短路径问题，本题就是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，用勾股定理解决2.（2016春繁昌县期末）

6、如图，是一长、宽都是3cm，高bc=9cm的长方体纸箱，bc上有一点p，pc=bc，一只蚂蚁从点a出发沿纸箱表面爬行到点p的最短距离是（）a6cmb3cmc10cmd12cm【考点】平面展开-最短路径问题菁优网版权所有【分析】将图形展开，可得到安排ap较短的展法两种，通过计算，得到较短的即可【解答】解：（1）如图1，ad=3cm，dp=3+6=9cm，在rtadp中，ap=3cm；（2）如图2，ac=6cm，cp=3+3=6cm，rtadp中，ap=6cm综上，蚂蚁从点a出发沿纸箱表面爬行到点p的最短距离是6cm故选a【点评】本题考查了平面展开最短路径问题，熟悉平面展开图是解题的关键3.（20

7、16大悟县二模）如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从a点绕到正上方b点共四圈，已知易拉罐底面周长是12cm，高是20cm，那么所需彩带最短的是（）a13cmb4cmc4cmd52cm【考点】平面展开-最短路径问题菁优网版权所有【分析】要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理【解答】解：由图可知，彩带从易拉罐底端的a处绕易拉罐4圈后到达顶端的b处，将易拉罐表面切开展开呈长方形，则螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长，易拉罐底面周长是12cm，高是20cm，x2=（124）2+202，所以彩带最短是52cm故选d【点评】本题考

8、查了平面展开最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决4.（2016游仙区模拟）长方体敞口玻璃罐，长、宽、高分别为16cm、6cm和6cm，在罐内点e处有一小块饼干碎末，此时一只蚂蚁正好在罐外壁，在长方形abcd中心的正上方2cm处，则蚂蚁到达饼干的最短距离是多少cm（）a7bc24d【考点】平面展开-最短路径问题菁优网版权所有【分析】做此题要把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算【解答】解：若蚂蚁从平面abcd和平面cdfe经过，蚂蚁到达饼干

9、的最短距离如图1：he=7，若蚂蚁从平面abcd和平面bceh经过，则蚂蚁到达饼干的最短距离如图2：he=故选b【点评】考查了平面展开最短路径问题，此题的关键是明确两点之间线段最短这一知识点，然后把立体的长方体放到一个平面内，求出最短的线段5.（2015秋宜兴市校级期中）如图，一圆柱高8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点a爬到点b处吃食，要爬行的最短路程是10cm【考点】平面展开-最短路径问题菁优网版权所有【分析】此题最直接的解法，就是将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答【解答】解：底面圆周长为2r，底面半圆弧长为r，即半圆弧长为：2=6（cm），展开得：bc=8cm，ac=6cm，根据勾

10、股定理得：ab=10（cm）故答案为：10【点评】此题主要考查了立体图形的展开和两点之间线段最短，解题的关键是根据题意画出展开图，表示出各线段的长度四：网格问题（简单）1、在边长为1的小正方形组成的网格中，abc的三个顶点均在格点上，则abc中bc边上的高为 答案：设abc中bc边上的高为hab 2 =5，ac 2 =20，bc 2 =25，bc 2 =ab 2 +ac 2 ，a=90，s abc = abac= bch，即 =5h解得，h=2故答案是：22. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”如图（一）中四边形abcd就是一个“格点四

11、边形”（1）求图（一）中四边形abcd的面积；（2）在图（二）方格纸中画一个格点三角形efg，使efg的面积等于四边形abcd的面积且为轴对称图形图（一） 图（二）答案：解：（1）方法一：s6412方法二：s462141342312（2）（只要画出一种即可）3、如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，abc的三个顶点均在格点上请按要求完成下列各题：（1）画adbc（d为格点），连接cd；（2）试判断abc的形状？请说明理由；答案：（1）图象如图所示；（2）由图象可知ab=1+2=5，ac=2+4=20，bc=3+4=25，bc=ab+ac，abc是直角三角形。4、如图，是一块由边长为20cm

12、的正方形地砖铺设的广场，一只鸽子落在点a处，它想先后吃到小朋友撒在b、c处的鸟食，则鸽子至少需要走多远的路程？答案：ab=5cm，bc=13cm所以其最短路程为18cm（难题）5、如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。 （1）直接写出单位正三角形的高与面积。 （2）图中的平行四边形abcd含有多少个单位正三角形？平行四边形abcd的面积是多少？ （3）求出图中线段ac的长（可作辅助线）。 【答案】（1）单位正三角形的高为，面积是。 （2）如图可直接得出平行四边形abcd含有24个单位正三角形，因此其面积。 （3）过a作a

13、kbc于点k（如图所示），则在rtack中， ，故五：方位角问题1、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地a点出发，沿北偏东60方向走了m到达b点，然后再沿北偏西30方向走了500m到达目的地c点（1）求a、c两点之间的距离；（2）确定目的地c在营地a的什么方向？2、甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？ 答案：如图,甲从上午8：00到上午10：00一共走了2小

14、时,走了12千米,即oa=12乙从上午9：00到上午10：00一共走了1小时,走了5千米,即ob=5在rtoab中,ab2=122十52=169,ab=13,因此,上午10：00时,甲、乙两人相距13千米1513,甲、乙两人还能保持联系答：上午10：00甲、乙两人相距13千米,两人还能保持联系3、如图，甲乙两船从港口a同时出发，甲船以16海里/时速度向北偏东40航行，乙船向南偏东50航行，3小时后，甲船到达c岛，乙船到达b岛.若c、b两岛相距60海里，问乙船的航速是多少？答案：从两船航行的方向看,北偏东40度和南偏东50度的夹角为90acab甲船速度每小时16海里,所以ac=163=48海里ab=bc-ac=3600-2304=1296ab=36所以乙船速度为每小时：363=12海里4、如图，北海海面上，一艘解放军军舰正在基地a的正东方向且距a地40海里的b处训练，突然接基地命令，要该舰前往c岛，接送一病危渔民到基地医院救治，已知c岛在a的北偏东60方向，且在b北